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2024-2025学年重庆八中高二（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，且满足，则等于( )
A. B. C. D.
3.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
4.若双曲线：的离心率为，则其两条渐近线的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知为直线：上的动点，点满足，记的轨迹为，则( )
A. 是一个半径为的圆 B. 上的点到的距离均为
C. 是两条平行直线 D. 是一条与相交的直线
6.我国古代数学典籍四元玉鉴中有如下一段话：“河有汛，预差夫筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府派人前往修筑堤坝，第一天派出人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多人已知最后三天一共派出了人，则一共派出了多少天，派出了多少人？”( )
A. 天人 B. 天人 C. 天人 D. 天人
7.已知数列满足，，等于的个位数，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，垂直于点，直线与相交于、两点若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.曲线：，下列结论正确的有( )
A. 若曲线表示椭圆，则 B. 若曲线表示双曲线，则
C. 若，则渐近线为 D. 若，则短轴长为
10.过抛物线：焦点的直线交抛物线于，两点点在第一象限，过，分别向的准线作垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为，则下列说法正确的是( )
A. B. 直线的斜率为
C. D. 的面积为
11.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为坐标原点过的直线交双曲线的右支于，两点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，点、均在第一象限，则( )
A. 当垂直于轴时， B. 的最小值为
C. 点到两条渐近线的距离之积为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆：关于点对称的圆的方程为______．
13.已知点，分别为双曲线：的右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为______．
14.已知椭圆：的离心率为，其右焦点和上顶点分别为点和点，直线：交椭圆于、两点，若恰好为的重心，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过，两点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相交于，两点，且为直角三角形，求的方程．
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，公差，，，．
求及数列的通项公式；
记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列．
17.本小题分
已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且．
求抛物线的方程；
若直线与抛物线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
18.本小题分
已知双曲线：的实轴长为，右焦点到双曲线的渐近线距离为．
求双曲线的方程；
过点作直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线左支于点为坐标原点，求的面积的最小值．
19.本小题分
已知椭圆：，圆：，，为圆上任意一点动点为线段的中点，设点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
过点作曲线的两条切线分别交椭圆于、，记两切线斜率分别为，．
求的值；
判断直线与曲线的位置关系，并说明理由．
参考答案
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15.解：因为圆经过，两点，且圆心在直线上，
设圆心为，半径为，
此时，
解得，
所以圆心为，半径，
则圆的标准方程为；
因为圆的方程为，
此时圆的圆心，半径为，
因为为直角三角形，
所以且，
此时圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线过圆心，不符合题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
即，
此时直线到点的距离，
解得．
则直线的方程为或．
16.解：等差数列的前项和为，公差，，，，设首项为，
所以，解得或舍去，
故，
所以．
证明：由得：，由于，
所以，，，
由于，，成等差数列，
所以，解得或，
当时，故，
所以常数，所以为等差数列；
当时，故，所以常数，所以为等差数列．
17.解：由题意得：，
解得，所以抛物线的方程为；
证明：设，，设直线的方程为，
联立，
所以，，
又因为，
所以，
得，
所以：，过定点．
18.解：因为椭圆的实轴长为，右焦点到双曲线的渐近线距离为，
所以，
解得，，
则双曲线的标准方程为；
设直线的方程为，，，
联立消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
又原点到直线的距离，
所以，
令
设，
易知函数在上单调递增，
所以当，即时，取得最小值，最小值为．
则的面积的最小值为．
19.解：设，
易知，
因为点在圆上，
所以，
整理得，
则曲线的方程为；
易知直线，的斜率均存在，
设过且与圆相切的直线方程为，
此时，
整理得，
则；
联立得，消去并整理得，
由韦达定理得，
解得，
所以，
即，
同理得，
此时，
所以直线的方程为，
即，
因为圆心到直线的距离．
则直线与曲线相切．
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