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四川省成都市教育科学研究院附中 2024-2025 学年高二上学期期中数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为1500的
样本，三个年级学生数之比依次为 ：3：5，已知高一年级共抽取了300人，则高三年级抽取的人数为( )
A. 750 B. 300 C. 450 D. 150
2.某校在运动会期间组织了20名啦啦队队员，她们的身高(单位： )数据按从小到大排序如下：
162 162 163 165 165 165 165 167 167 167
168 168 170 170 171 173 175 175 178 178
则这20名队员身高的第75百分位数为( )
A. 171 B. 172 C. 173 D. 174
3.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概
率是( )
2 1 1 1
A. B. C. D.
3 2 3 4
4.到直线 ： + 2 1 = 0的距离为√ 5的点的坐标是( )
A. ( 1,0) B. ( 1,3) C. (4,1) D. (6, 2)
5.在平行六面体 1 1 1 1中， 为 1 1与 1 1的交点，若 = ，
= ， = ，则与 1 相等的向量是( )
1 1
A. + +
2 2
1 1
B. + +
2 2
1 1
C. +
2 2
1 1
D. +
2 2
6.设 ， 为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若 ， 是对立事件，则 ( ) = 1
1 1 1
B. 若 ， 是互斥事件， ( ) = , ( ) = ，则 ( + ) =
3 2 6
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1 2 1
C. 若 ， 是独立事件， ( ) = , ( ) = ，则 ( ) =
3 3 9
1 1 1
D. 若 ( ) = , ( ) = ，且 ( ) = ，则 ， 是独立事件
3 2 3
√ 2
7.若向量 = (1, , 1)， = (2, 1, 2),且 与 的夹角余弦为 ，则 等于( )
6
A. √ 2 B. √ 2 C. √ 2或√ 2 D. 2
8.如图，某电子元件由 ， ， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试， ，
1 1 1
， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常
5 4 3
工作的概率是( )
18 7 64 11
A. B. C. D.
25 25 75 75
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中，已知 (1,2, 1)， (0,1,1)，下列结论正确的有( )
A. | | = 4
B. = 1
C. 若 = (4,2, )，且 ⊥ ，则 = 3
D. 若 = (1,1, )且 // ，则 = 2
10.已知直线 1： + 3 = 0，直线 2：2 + ( 1) 6 = 0，则( )
A. 当 = 3时， 1与 2的交点为(3,0) B. 直线 1恒过点(3,0)
1
C. 若 1 ⊥ 2，则 = D. 存在 ∈ ，使 1// 3 2
11.疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产
品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同
的脐橙(数量均为1)，进行标号为1～6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个

脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为 1，第二次为 2，设 = [
1]，其中[ ]表示不超过 的最大整数，则( )
2
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1
A. ( 1 + 2 = 5) = B. 事件 1 = 6与 = 0互斥 4
5
C. ( 1 > 2) = D. 事件 2 = 1与 = 0对立 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是9，10，9，8，9，则该组数据的方差______．
13.已知空间向量 = (2,2,2)， = (2, 1,2)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______．
14.空间直角坐标系 中，过点 ( 0, 0, 0)且一个法向量为 = ( , , )的平面 的方程为 ( 0) +

( 0) + ( 0) = 0，过点 ( 0, 0, 0)且方向向量为 = ( , , )( ≠ 0)的直线 的方程为
0 =

0 = 0，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面 的方程为 + + 1 = 0，直线 是两个平面

+ 2 = 0与2 + 1 = 0的交线，则平面 的法向量为______；直线 与平面 所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求：
(1)点数之和是7的概率；
(2)点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率．
16.(本小题15分)
△ 的三个顶点分别是 (4,0)， (0,2)， (3,1)．
(1)求边 上的中线所在直线的方程；
(2)求△ 的外接圆 ( 为圆心)的标准方程．
17.(本小题15分)
2024年10月27日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.当时成都
市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组
[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方
图．
(1)求 的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；
(2)若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任了本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的
面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此
估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
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(附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ， ， 21 1； ，
2
2， 2，记两组数据总体的样
2 2 2 2 本平均数为 .则总体样本方差 = [ 1 + ( 1 ) ] + [ + ( )
2])．
+ + 2 2
18.(本小题17分)
在四棱锥 中， ⊥面 ，且 = 2，四边形 是直角梯形，且 ⊥ ， // ， =
= 2， = 4， 为 中点， 在线段 上，且 = 1．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
19.(本小题17分)
球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球 的半径为 . ， ， 为球面上三点，劣
弧 的弧长记为 ，设 0表示以 为圆心，且过 ， 的圆，同理，圆 3， 2的劣弧 ， 的弧长分别记为
， ，曲面 (阴影部分)叫做球面三角形.若设二面角 ， ， 分别为 ， ，
2
，则球面三角形的面积为 球面△ = ( + + ) ．
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(1)若平面 ，平面 ，平面 两两垂直，求球面三角形 的面积；
(2)若平面三角形 为直角三角形， ⊥ ，设∠ = 1，∠ = 2，∠ = 3，
①求证： 1 + 2 3 = 1；

②延长 与球 交于点 ，若直线 ， 与平面 所成的角分别为 , ， 4 3 =
， ∈ (0,1]， 为 中
点， 为 中点，设平面 与平面 的夹角为 ，求 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2
12.【答案】
5
4 2 4
13.【答案】( , , )
3 3 3
√ 2
14.【答案】(1, 1,1)
3
15.【答案】解：(1)列表可得：
1 2 3 4 5 6
1 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ √
2 ╳ ╳ ╳ ╳ √ ╳
3 ╳ ╳ ╳ √ ╳ ╳
4 ╳ ╳ √ ╳ ╳ ╳
5 ╳ √ ╳ ╳ ╳ ╳
6 √ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳
设样本空间为 ，则 ( ) = 36，
记“点数之和是7”为事件 ，可知 ( ) = 6，
( ) 6 1
所以 ( ) = = = ；
( ) 36 6
(2)列表可得：
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1 2 3 4 5 6
1 ╳ √ ╳ √ ╳ √
2 √ ╳ √ ╳ √ ╳
3 ╳ √ ╳ √ ╳ √
4 √ ╳ √ ╳ √ ╳
5 ╳ √ ╳ √ ╳ √
6 √ ╳ √ ╳ √ ╳
记“点数中恰有一个奇数和一个偶数”为事件 ，可知 ( ) = 18，
( ) 18 1
所以 ( ) = = = ．
( ) 36 2
16.【答案】解：(1)设线段 的中点为 ，又 (4,0)， (0,2)，
由中点坐标公式，可得 的中点 (2,1)，
又因为 (3,1)，
所以 边上的中线所在的直线方程为 = 1；
(2)法( )设圆 的方程为( )2 + ( )2 = 2， > 0，
因为 (4,0)， (0,2)， (3,1)三点都在圆上，
(4 )2 + (0 )2 = 2
所以{(0 )2 + (2 )2 = 2，解得 = 0， = 3， 2 = 25，
(3 )2 + (1 )2 = 2
所以即 2 + ( + 3)2 = 25．
法( )设圆 的方程为 2 + 2 + + + = 0(其中 2 + 2 4 > 0)，
因为 (4,0)， (0,2)， (3,1)三点都在圆上，
4 + + 16 = 0
可得{2 + + 4 = 0 ，解得 = 0， = 6， = 16，
3 + + + 10 = 0
满足 2 + 2 4 > 0，
所以所求圆的方程为 2 + 2 + 6 16 = 0，
即 2 + ( + 3)2 = 25．
17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可知，(0.005 + + 0.045 + 0.02 + 0.005) × 10 = 1，
解得 = 0.025，

所以估计这100名候选者面试成绩的平均数为 = 0.05 × 50 + 0.25 × 60 + 0.45 × 70 + 0.2 × 80 + 0.05 ×
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90 = 69.5；

(2)设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为 2 21 = 62, 2 = 80， 1 = 40, 2 = 50，
0.25 5
两组的频率之比为 = ，
0.2 4
5×62+4×80
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为 = = 70，
9
所以第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为：
2 5 2 4 5 4 520 600 = [ 1 + ( 1 )
2] + [ 22 + ( )
2
2 ] = [40 + (62 70)
2] + [50 + (80 70)2] = + =
9 9 9 9 9 9
1120
．
9
18.【答案】(1)证明：因为 ⊥底面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，同理可证 ⊥ ，
又因为 ⊥ ，所以 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
依题意可得， (0,0,0)， (2,0,0)， (2,4,0)，
(0,2,0)， (0,0,2)， (2,1,0)， (1,2,1)，
则 = (1,0,1)，
不妨取 = (0,2,0)是面 的一个法向量，
因为 = 1 × 0 + 0 × 2 + 1 × 0 = 0，所以 ⊥ ，
又因为 平面 ，所以 //平面 ；
(2)解： = (2,0, 2)， = (0,2, 2)， = (2, 1,0)，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，则由 ⊥ ， ⊥ ，
2 2 = 0
可得{ = 0，即{ ，取 = 1，则 = = 2，
= 0 2 = 0
所以平面 的一个法向量 = (1,2,2)，
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设直线 与平面 所成角为 ，
| | | 2| √ 2
则 = |cos , | = = = ，
| || | √ 8×√ 9 6
所以直线
√ 2
与平面 所成角的正弦值为 ；
6
(3)解：因为 = (2,2,0)，
平面 的一个法向量为 = (1,2,2)，
| | |6|
所以点 到平面 的距离为 = = 2．
| | √ 9

19.【答案】解：(1)若平面 ， ， 两两垂直，有 = = = ，
2

所以球面三角形 面积为 2 2球面△ = ( + + ) = ． 2
2 = 2 + 2 2 2 1
(2)①证明：由余弦定理有：{ 2 = 2 + 2 2 2 ，且 2 2 22 + = ，
2 = 2 + 2 2 2 3
消掉 2，可得 1 + 2 3 = 1；
②由 是球的直径，则 ⊥ ， ⊥ ，
且 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，且 平面 ，则 ⊥ ，
且 ∩ = ， ， 平面 ，可得 ⊥平面 ，

由直线 ， 与平面 所成的角分别为 , ，所以∠ = ,∠ = ，
4 3 4 3
不妨先令 = √ 3，则 = 2√ 3, = = √ 6, = √ 2, = 2，
由 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
以 为坐标原点，以 ， 所在直线为 ， 轴，过点 作 的平行线为 轴，建立如图空间直角坐标系，
设 = , ∈ (0,√ 6]，则 (0,2,0), (√ 2, 0,0), (0,0,0), (√ 2, 0, √ 6)，
可得 √ 2 √ 2 √ 6 (0,1,0), ( , 0,0)， (√ 2, 0, ), ( , 1, )，
2 2 2
则 √ 2 √ 6 √ 2 √ 2 = (√ 2, 0,0), = ( , 1, )， = ( , 1,0), = ( , 0, )
2 2 2 2
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= √ 2 1 = 0
设平面 法向量 = ( 1, 1, 1)，则{ √ 2 √ 6 ，
= + + = 0
2 1 1 2 1
取 1 = 2，则 1 = √ 6, 1 = 0，可得 = (0, √ 6, 2)，
√ 2 = 2 2 = 0
设平面 法向量 = ( 2, 2, 2)，则{
2 ，
√ 2
= 2 + 2 = 02
取 2 = √ 2 ，则 2 = ， 2 = 1，可得 = (√ 2 , , 1)，
要使 取最小值时，则| |取最大值，
| | |√ 6 +2| 1 √ 3 +√ 2
因为| | = |cos , | = = = ×| || | √ 5
√ 10 √ 3 2+1 √ 3 2+1
2
1
= × √
(√ 3 +√ 2) 1 2√ 6 +1
= × √ 1 + ，
√ 5 3 2+1 √ 5 3 2+1
2
令 = 2√ 6 + 1, ∈ (1,13]，则
1 ( 1)
= , 3 2 = ，
2√ 6 8
2√ 6 +1 8 8 8
可得 = = = ≤ = 23 2+1 2( 1) 2 2 +9 9 + 2 6 2 ， +1
8
1
当且仅当 = 3, = 取等．
√ 6
| | √ 3则 取最大值 ， √ 10 = √ 1 cos2 = 为最小值，
√ 5 5
即 的最小值为√ 10．
5
第 10 页，共 10 页

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