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贵州省黔南州 2025 届高三上学期一模数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = {1,2,3,4,5,6,7}，集合 = { |( 1)( 3) = 0}，则 =( )
A. {1,3} B. {2,4,5,6,7} C. {1,3,5,7} D. {2,4,6}
2.已知向量 = ( 1,4)， = (3, ).若 ⊥ ，则 =( )
3 3
A. 12 B. C. D. 12
4 4
3.样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是( )
A. 16 B. 19 C. 20 D. 22
4.曲线 ( ) = 在点(1, (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
1
A. B. 1 C. D.
2 2
5.若 为圆( + 1)2 + 2 = 2上的动点，则点 到直线 + 3 = 0的距离的最小值为( )
A. √ 2 B. 3 √ 2 C. 2√ 2 D. 3√ 2
3
6.若cos( + ) = ，则cos(2 ) =( )
3 5 3
24 7 7 24
A. B. C. D.
25 25 25 25
7.三次函数 ( ) = 3 + 2 + + 的图象如图所示.下列说法正确的
是( )
A. < 0， < 0， > 0， > 0
B. < 0， > 0， < 0， < 0
C. > 0， < 0， < 0， < 0
D. > 0， > 0， < 0， < 0
8.通常用24小时内降水在平地上的积水厚度(单位： )来判断降雨量的大小，
如下表：
降雨等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨
积水厚度( ) (0,10) [10,25) [25,50) [50,100) [100,250) [250,+∞)
某同学用如图所示的圆台形容器接了24小时雨水，则这24小时内降雨的等级是
( )
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A. 中雨 B. 大雨 C. 暴雨 D. 大暴雨
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的前 项和为 ，等比数列{ }的前 项和为 .下列说法正确的是( )

A. 数列{ }为等差数列 B. 若 2 = 2， 6 = 12，则 4
= 7
1
C. 数列{ }为等比数列 D. 若 6 = 9 3，则数列{ }的公比为2

10.函数 ( ) = ( + )( > 0, | | < )的部分图象如图所示.下列说法
2
正确的是( )
7 3
A. 函数 = ( )在区间( , )上单调
6 2
7
B. 函数 = ( )在区间( , 2 )上有两个极值点
6
11
C. 函数 = ( )的图象关于点( , 0)中心对称
6
17
D. 函数 = ( )的图象与直线 = 1在区间[ , ]上有两个公共点
2 12
11.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点.若抛物线 在点 ， 处的切
线的斜率分别为 1， 2，且抛物线 的准线与 轴交于点 ，则下列说法正确的是( )
A. | |的最小值为4
B. 若| | = 4，则 ⊥
C. 若 1 + 2 = 4，则直线 的方程为 + 1 = 0

D. 直线 的倾斜角 的最小值为
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知 是虚数单位，复数 满足 (1 ) = 1 + ，则 = ______．
2
13.(√ + )6的展开式中，常数项为______. (用数字作答)

14.已知集合 = { | 为不超过 的正整数}， ∈
.若 ∈ ，∑

=1 = 60，则 的最大值与最小值之和
为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 + √ 3 = 0， = 7， = 3．
(1)求 和 ；
(2)已知点 在线段 上，且 平分∠ ，求 的长．
16.(本小题12分)
已知函数 ( ) = + 1( ∈ )．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若当 > 0时，函数 ( )有两个不同的零点，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
如图，四棱锥 的底面 为平行四边形， ⊥底面 ，∠ = 90°．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = = ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1( √ 3, 0)， 2(√ 3, 0)，且椭圆 经过点 (√ 3, ).过 2
点 ( , 0)( > 2)且斜率不为0的直线交椭圆 于 ， 两点，过点 和 (1,0)的直线 与椭圆 的另一个交点
为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 的倾斜角为90°，求 的值．
19.(本小题12分)
若无穷正项数列{ }同时满足下列两个性质：
①{ }为单调数列；
②存在实数 > 0，对任意 ∈ 都有 < 成立，则称数列{ }具有性质 ．
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1
(1)若 = 2 + 1， = ( ) ，判断数列{ }，{ }是否具有性质 ，并说明理由； 2
1
(2)已知离散型随机变量 服从二项分布 ( , )， ∈ ， ∈ (0, )，记 为奇数的概率为 ． 2
1
(ⅰ)当 = 时，求 2， 3； 4
(ⅱ)求 ，并证明数列{ }具有性质 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】60
14.【答案】71
15.【答案】解：(1)已知△ 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 + √ 3 = 0， = 7，
= 3，
在△ 中，由 + √ 3 = 0，得 = √ 3，
2
而0 < < ，则 = ，
3
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ，
即49 = 9 + 2 + 3 ，即 2 + 3 40 = 0，
而 > 0，所以 = 5；
2
(2)由(1)知， = ，由 平分∠ ，
3
得 △ + △ = △ ，
1 1 1 2
即 + = ，
2 3 2 3 2 3

则 ( + ) = = ，即8 = 15，
+
15
所以 = ．
8
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16.【答案】解：(1)函数 ( ) = + 1的定义域为 ， ′( ) = 1，
当 > 0时，由 ′( ) > 0，得 > ，
′( ) < 0，得 < ；
即函数 ( )在( ∞, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
当 ≤ 0时， ′( ) < 0，函数 ( )在 上单调递减；
所以当 ≤ 0时，函数 ( )的单调递减区间是( ∞,+∞)；
当 > 0时，函数 ( )的单调递减区间是( ∞, )，单调递增区间是( , +∞)．
(2)由(1)知，当 > 0时， ( ) = ( ) = 2 + ，
当 → ∞时， ( ) → +∞；当 → +∞时， ( ) → +∞，
要函数 ( )有两个不同的零点，当且仅当2 + < 0，解得0 < < 2，
所以实数 的取值范围(0, 2).
17.【答案】解：(1)证明：在四棱锥 中，由 ⊥底面 ， 底面 ，
得 ⊥ ，
由∠ = 90°，得 ⊥ ，而 ∩ = ， ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)过 作直线 // ，由 ⊥底面 ，得 ⊥底面 ，直线 ， ， 两两垂直，
以点 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
令 = 1，又 为平行四边形，则 (0,0,0)， (1,0,0)， (1, 1,0)， (0,1,1)，
= (1,0,0), = (0,1,0), = ( 1,1,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{ ⊥
，则{ = = 0 ，
⊥ = + + = 0
取 = 1，得 = (0, 1,1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
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⊥ = = 0则{ ，则{ ，
⊥ = + + = 0
取 = 1，得 = (1,0,1)，
| | 1 1
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为：|cos , | = = = ．
| || | √ 2 √ 2 2
1
18.【答案】解：(1)因为椭圆 经过点 (√ 3, )且左、右焦点分别为 1( √ 3, 0)， 2(√ 3, 0)， 2
所以 1 12 = | 1| + | 2| = √ ( 2√ 3)
2 + ( )2 + = 4，
2 2
解得 = 2，
所以 = √ 22 (√ 3)2 = 1，
2
则椭圆 的标准方程为 + 2 = 1；
4
(2)易知点 ， 不在 轴上，
即直线 不垂直于 轴，且直线 不垂直于 轴，否则 ， 重合，
设直线 方程为 = + 1， ≠ 0， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
可得 ( 2, 2)，
= + 1
联立{ ，消去 并整理得( 2 + 4) 22 2 + 2 3 = 0， + 4 = 4
显然 > 0，
2 3
由韦达定理得 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
+4 +4
所以3( 1 + 2) = 2 1 2，
+
直线 的方程为 = 1 21 ( 1)， 1 2
( ) ( ) 2
当 = 0时， = 1
1 1 2 = 1 + 1
1 1 2 = 1 + 1 22 = 4 + + 1 2 ． 1 2 1 2
3
所以 = 4．
19.【答案】解：若无穷正项数列{ }为单调数列，存在实数 > 0，对任意 ∈
都有 < 成立，
(1)由 = 2 + 1，得 +1 = 2 > 0，即{ }是递增数列，而随着 的增大， 无限增大，
不存在正数 ，对任意 ∈ 都有 < 成立，数列{ }不具有性质 ；
1 1由 = ( ) ，得 +1 = < 1，又 2 > 0，则 +1 < ，数列{ }是递减数列， 2
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1 1
对任意 ∈ ， ≤ 1 = ，即存在实数 > ，对任意 ∈
都有
2 2
< 成立，
所以{ }具有性质 ．
1
(2)(ⅰ)当 = 时，
4
1 1 1 7 1 1 3
3 = ( = 1) + ( = 3) =
1
3 (1 )
2 + 33 ( )
3 = ， = ( = 1) = 1(1 ) = ，
4 4 4 16 2 2 4 4 8
(ⅱ)随机变量 的所有可能取值为0，1， ， ，( ∈ )，
若 为奇数的概率为 ， 为偶数的概率为 ，
+ = 1 = [(1 ) + ]
= 0 0 1 1 1 2 2 2 0 (1 ) + (1 ) + (1 ) + + (1 ) ，
+ = [(1 ) ] = 0( )0(1 ) + 1( )1(1 ) 1 + 2( )2(1 ) 2 + +
( ) (1 )
0，

1 (1 2 ) 1
两式相减得 = ，当0 < < 时，0 < 1 2 < 1，数列{(1 2 )
}单调递减，
2 2
1
因此数列{ }单调递增，且 < ，所以数列{ 2 }具有性质 ．
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