资源简介

河南省七校 2025 届高三上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = {0, }， = {1, 2,3 4}，若 ∩ = ，则 =( )
4
A. 2 B. 1 C. D. 2
3
+1 1
2.已知等差数列{ }的前项和为 ， 1 = 3，
= ，则∑99 =1 =( ) 2
33 99 297 200
A. B. C. D.
50 100 200 303
4
3.在单位圆中，已知角 是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 ( , )，则sin( ) =( )
5
4 3 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
4.在( + 1)( 2)( + 3)( 4)( + 5)( )展开式中，含 5的项的系数是6，则 =( )
A. 6 B. 3 C. 3 D. 6
5.已知平面向量 = (1,2), = ( , 1)，则“ < 2”是“ 与 的夹角为钝角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知过抛物线 2 = 2 ( > 0)的焦点 作直线交抛物线于 、 两点，若| | = 3| |， 的中点到 轴的
5
距离为 ，则 的值为( )
2
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观
察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件 =“得
到的点数为偶数”，记事件 =“得到的点数不大于4”，记事件 =“得到的点数为
质数”，则下列说法正确的是( )
A. 事件 与 互斥， 与 相互对立
5
B. ( ∪ ) =
8
C. ( ) = ( ) ( ) ( )但不满足 ， ， 两两独立
D. ( ) = ( ) ( ) ( )且 ， ， 两两相互独立
8.若 ( ) = {|2 3|,3 2 2}， ( ) = {|2 + 3|,3 2 2}， ( ) = { ( ), ( )}，其中
{ , , }表示 ， ， 中的最大者， { , , }表示 ， ， 中的最小者，下列说法不正确的是( )
第 1 页，共 11 页
A. 函数 ( )为偶函数
B. 当 ∈ [1,3]时，有 ( ) ≤
√ 2 √ 2
C. 不等式 [ ( )] ≤ 1的解集为[ 1, ] ∪ [ , 1]
2 2
D. 当 ∈ [ 3, 2] ∪ [2,3]时，有 [ ( )] ≤ ( )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 在复平面内对应的点为 ，任意复数 都可以表示为三角形式 ( + )，其中 为复数 的模，
是以 轴的非负半轴为始边，以 所在的射线为终边的角(也被称为 的辐角).利用复数的三角形式可以进
行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[ ( + )] = ( + )( ∈ )，我们称这个
结论为棣莫佛定理.根据以上信息，若复数 满足 5 = 32，则 可能的取值为( )
2 2
A. 2(cos + ) B. 2(cos + )
10 10 5 5
6 6
C. 2(cos + ) D. 2(cos + )
2 2 5 5
10.已知函数 ( ) = 2 + 3 + ，下列说法正确的是( )
A. 若关于 的不等式 ( ) < 0的解集是{ | < 2或 > 8}，则 2 =
4
B. 若集合{ | ( ) = 0}有且仅有两个子集，则 2 2的最大值为
9
1 17 1 1 √ 2+1
C. 若 ( ) = ，则 + 的最大值为
3 9 2+1 2 +1 2
7 8
D. 若 = 4 6 ，且关于 的不等式 ( ) > 0的解集中有且仅有三个正整数，则实数 的取值范围是( , ]
3 3
11.已知菱形 的边长为2，∠ = 60°，将△ 沿 翻折，使点 与点 重
合，如图所示.记点 为翻折过程中点 的位置(不包含在点 处的位置)，则下列结
论正确的是( )
A. 不存在点 ，使得 ⊥
B. 无论点 在何位置，总有 ⊥面
√ 10
C. 当三棱锥 的体积最大时，直线 与平面 所成角的余弦值为
5
D. 当 = 2时， 为 上一点，则 + 的最小值为2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知数列{ }满足 1 = 1, +1
= ，设 为数列{ }的前 项和，则 = ______． 2 2
第 2 页，共 11 页
2 + + 1, ≤ 0
13.若函数 ( ) = { 1 的最小值为 (0)，则实数 的取值范围为______．
+ + , > 0

14.小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有 和1张标有 的卡片，爸爸有3张标有 的卡片，现两人各随
机取一张交换，重复 次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张 卡片的概率记为 ，则 2 = ______， =
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
+ 1, 为奇数
已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = { ．
2 + 2, 为偶数
(1)记 = 2 ，写出 1， 2，并证明数列{ + 3}为等比数列；
(2)求{ }的前2 项和 2 ．
16.(本小题15分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知√ 3 = ( + 1), = 5√ 3，△ 外接圆的
半径为 ．
(1)求△ 外接圆的面积；
(2)圆 经过 (0,4)，且与圆( 1)2 + ( 2)2 = 2关于直线 1 = 0对称，圆 被直线 截得弦长
为8，求直线 的方程．
17.(本小题15分)
2+ 1
已知函数 ( ) = ， ∈ ．
(1)当 = 0时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)求 ( )的单调区间；
1 1
(3)当 > 0时，若对于任意 ∈ [1,3]，不等式 ≤ ( ) ≤ 1 + 2成立，求 的取值范围． 2
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥面 ， = = 4， 为棱 上的动点．
(1)若 为棱 中点，证明： //面 ；
2
(2)在棱 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明
3
理由；
(3) ， ， 分别在棱 ， ， 上， = = 1，求三棱锥 的体积的最大值．
第 3 页，共 11 页
19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．
(1)求椭圆方程；
(2)设直线 1： = + 与椭圆 相切于第一象限内的点 ，不过原点 且平行于 1的直线 2与椭圆 交于不
同的两点 ， ，点 关于原点 的对称点为 .记直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2．

①求 1的值；
2

②若 ， ， ， 四点围成的四边形为平行四边形，求 △ 的值．
△
第 4 页，共 11 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
+2
12.【答案】4
2 1
13.【答案】[ 1,0]
16 1 1 3
14.【答案】 ( ) 1 +
27 15 9 5
+ 1, 为奇数
15.【答案】解：(1)已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = { ．
2 + 2, 为偶数
则 2 +1 = 2 2 + 2， 2 +2 = 2 +1 + 1．
所以 2 +2 = 2 2 + 3，
即 +1 = 2 + 3 +1 + 3 = 2( + 3)．
且 1 + 3 = 2 + 3 = 1 + 4 = 5．
所以{ + 3}是以5为首项，2为公比的等比数列，
则 + 3 = 5 2
1，
于是 1 = 2， 2 = 7， = 5 2
1 3．
(2)记 = 2 1，
则 = 2 = 2 1 + 1 = + 1，
从而数列{ }的前2 项和为：
2 = ( 1 + 3 + 5 + + 2 1) + ( 2 + 4 + 6 + + 2 )
第 5 页，共 11 页
= ( 1 + 2 + ) + ( 1 + 2 + ) = 2( 1 + 2 + )
= 2 × [5 (1 + 21 + + 2 1) 3 ] = 5 2 +1 7 10．
16.【答案】解：(1) △ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
由√ 3 = ( + 1)，
根据正弦定理，得√ 3 = ( + 1)，
∵ ∈ (0, )，∴ > 0，
1
则√ 3 = + 1，即2 ( ) = 1，即sin( ) = ， 6 6 2
5
又 ∈ (0, )，则 ∈ ( , )，∴ = ，即 = ，
6 6 6 6 6 3
5√ 3
则2 = = = 10 √ 3 ，即 = 5，
2
∴△ 外接圆的面积为 2 = 25 ．
(2)由圆( 1)2 + ( 2)2 = 2 = 25，圆心为(1,2)，半径为 = 5，
圆 经过 (0,4)，且与圆( 1)2 + ( 2)2 = 2关于直线 1 = 0对称，
+1 +2
1 = 0
设 ( , )，由题意得{ 2 2 2 ，
× 1 = 1
1
解得 = 3， = 0，即 (3,0)，
则圆 的方程为( 3)2 + 2 = 25，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 0，
此时 (0,4)， (0, 4)，则| | = 8，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 4 = ，即 + 4 = 0，
|3 +4|
(3,0)到直线 距离为 =
√ 2
，
+1
|3 +4|
| | 2 2 2
由 2 + ( )2 = 2，得( ) + 4 = 5 ，
2 √ 2 +1
7 7
解得 = ，则直线 的方程为 + 4 = 0，即7 + 24 96 = 0．
24 24
综上所述，直线 的方程为 = 0或7 + 24 96 = 0．
17.【答案】解：(1)因为 = 0，
1
所以 ( ) = ，定义域为 ，
+2
可得 ′( ) =

，
所以 ′(0) = 2，
第 6 页，共 11 页
又 (0) = 1，
所以曲线 ( )在点(0, (0))处的切线方程为 + 1 = 2 ，
即2 1 = 0；
2+ 1
(2)因为 ( ) = ，定义域为 ，
2 2 + 2 ( +1)( 2)
可得 ′( ) = = ．
当 > 0时，
令 ′( ) = 0，
1
解得 1 = ， 2 = 2，
1
此时 < 0 < 2，

1
当 < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；

1
当 < < 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增；

当 > 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
当 = 0时， ′( ) = ，易知 ∈ ( ∞, 2)时， ′( ) > 0， ∈ (2,+∞)， ′( ) < 0，
1
当 < 0时，0 < < 2，

1
即 < 时，
2
1
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；

1
当 < < 2时， ′( ) < 0， ( )单调递减；

当 > 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
1 1
若 = 2，即 = 时， ′( ) ≥ 0恒成立， ( )在 上单调递增，
2
1 1
若 > 2，即 < < 0时，
2
当 < 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
1
当2 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；

1
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，

1 1 1
综上，所以当 < 时， ( )的单调递增区间为( ∞, )和(2,+∞)，单调递减区间为( , 2)；
2
第 7 页，共 11 页
1 1 1
当 < < 0时， ( )的单调递增区间为( ∞,2)和( ,+∞)，单调递减区间为(2, )；
2
1 1
当 > 0时， ( )的单调递减区间为( ∞, )和(2,+∞)，单调递增区间为( , 2)；

(3)当 > 0，
由(2)知， ( )在[1,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减，
1 1
因为对于任意 ∈ [1,3]，不等式 ≤ ( ) ≤ 1 + 2成立， 2
1 1 1
所以 (1) ≥ ， (3) ≥ ， (2) ≤ 1 + 2， 2 2
1 9 +2 1 4 +1 1
所以 (1) = ≥ ， (3) = 3 ≥ ， (2) = 2 ≤ 1 + 2， 2 2
3 4 2
解得 ≥ ， ≥ ， ≤ ，
2 18 4
3 4 9 3+4 9 3
因为 = > > 0，
2 18 18 18
3 4
所以 > ．
2 18
2
故 的取值范围为[ , ]．
2 4
18.【答案】解：(1)证明：连接 交 于 ，则 为三角形中位线，易知 // ，
又因为 平面 上， 面 ，
所以 //面 ；
(2)以 为原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，可得 (0,0,0), (4,0,0), (4,4,0), (0,0,4), = (4,0, 4)，
由 为棱 上一点，设 = = (4 , 0, 4 ),0 ≤ ≤ 1，
= + = (4 , 0,4 4 ), = (4,4,0)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{ ⊥
，由{ = 0，
⊥ = 0
4 + (4 4 ) = 0
可得{ ，
4 + 4 = 0
第 8 页，共 11 页
令 = ，则 = 1，
则 = ( 1,1 , )，
取平面 的法向量为 = (0,1,0)，
则二面角 的平面角 满足：
| | |1 | 2
| | = = =
| | | | 2 2 2 3， √ ( 1) +(1 ) +
1
化简得：3 2 + 2 1 = 0，解得： = 或 = 1(舍去)，
3
1
故存在满足条件的点 ，此时 = ．
3
(3)因为 = ，
可知三棱锥 体积最大时，即 △ 最大，在△ 中，由余弦定理有：
2 = 2 + 2 2 ∠ ，
可得 2 √ 2 + 2 1 = 0，
设 = ，则 2 √ 2 + 2 1 = 0，
由题可知：该方程有实根，
则 = 2 2 4( 2 1) ≥ 0，
解得 ≤ √ 2，
同理可得 ≤ √ 2．
设点 到平面 的距离为 ，
则由等体积法得到： = ，
1 1 √ 3 1 1
× × 4√ 2 × 4√ 2 × × = × × 4 × 4 × 4，
3 2 2 3 2
解得： 4√ 3 = ．
3
当 △ 最大时三棱锥 体积最大，即三棱锥 体积最大，
最大体积为： 1 1 √ 3 4√ 3 2 = √ 2 √ 2 = ．
3 2 2 3 3
第 9 页，共 11 页
19.【答案】解：(1)由题意 = 2 = 2，从而 = 2， = 1， = √ 3
2 2
所以椭圆方程为 + = 1；
4 3
= +
(2)①由{ 2 2 ，化简得(4 2 + 3) 2 + 8 + 4 2 12 = 0( )，
+ = 1
4 3
则 = (8 )2 4(4 2 + 3)(4 2 12) = 0，解得： 2 = 4 2 + 3，
此时方程( )可化为： 2 2 + 8 + 16 2 = 0，
4
解得： = (由条件可知： ， 异号)，设 ( 0, 0)，
2 24 4 4 3
则 0 = ， 0 = 0 + = ( ) + = = ，
3
4 3 3所以 ( , )，所以 1 = 4 = ， 4

因为 1// 2，所以可设直线 2： = + ( ≠ 0, ≠ )， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立{ 2 2 ，化简得(4 2 + 3) 2 + 8 + 4 2 12 = 0，
+ = 1
4 3
当 > 0时，方程有两个不相等的实根，
8 4 2 12
则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
4 +3 4 +3
因为 ， 两点关于原点对称，所以 ( 1, 1)，
2+ 1 2+ + 则 = = 1
+
2 2+ 1 2+ 1
2
2 2 4 +3 3
= + = + 8 = = ， 2+ 1 4 4 2
4 +3

所以 1 = ,即
1
2 = 1； 2
②设直线 1与 轴交于点 ，直线 2与 轴交于点 ，则 △ = △ ，
| |
于是 △ = △ = = | |，
△ △ | |
由①可知： // ，若 ， ， ， 四点围成的四边形为平行四边形，
则还需| | = | |，即| |2 = | |2，
2
4 3 16 +9
由①可知： ( , )，所以| |2 = 2 ，
又 ( 2, 2)， ( 1, 1)，
8 6
所以| |2 = ( 2 2 2 21 + 2) + ( 1 + 2) = ( 2 ) + ( 2 )
4 +3 4 +3
第 10 页，共 11 页
4 2
2
(16 +9)
= 2 2 ，
(4 +3)
由| |2 = | |2可得：4 2 2 = (4 2 + 3)2，
又 2 = 4 2 + 3，所以 2 = 4 2，即 = ±2 ，
| |
当 = 2 时， △ = △ = = | | = 1，
△ △ | |

当 = 2 时， △

= △
| | 1
= = | | = ，
△ △ | | 3
1
综上， △ = 或 1．
△ 3
第 11 页，共 11 页

展开更多......

收起↑