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山东省名校考试联盟 2025 届高三上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1.若集合 = { 2, 1,0,1,2}， = { | < < 2}，则 ∩ =( )
2
A. { 1,0,1} B. { 2, 1,0,1} C. { 1,0,1,2} D. { 2, 1,0,1,2}
2.若 = ( , 1)， = (2, 1)，则“ = 2”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数 ( ) = 在[ 1,1]上的最小值为( )
1
A. 0 B. 1 C. + 1 D. 1

1
4.函数 = 的图象大致为( ) +1
A. B.
C. D.
,当 为偶数时,
5.已知数列{ }满足： 1 = ， 为正整数， +1 = {
2 若 4 = 2，则 所有可能的取
3 + 1,当 为奇数时.
值的集合为( )
A. {2} B. {16} C. {2,16} D. {2,4,16}
2+3
6.已知 ∈ ，则 的最小值为( )
√ 2+2
3√ 2
A. 1 B. √ 2 C. 2 D.
2

7.已知 > 0，若函数 ( ) = sin( + )在(0, )上有且只有两个极值点，则 的取值范围是( )
6
4 7 4 7 7 10 7 10
A. ( , ] B. [ , ] C. ( , ] D. [ , ]
3 3 3 3 3 3 3 3
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8.祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突
出的贡献，他在实践的基础上，提出了祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两
个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积
2
总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线 ： 2

= 1，若直线 =
3
0与 = 2在第一象限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕
轴旋转一周所得几何体的体积为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， ∈ ，若 | | > 0，则下列结论正确的是( )
A. > 0 B. + > 0 C. 2 2 > 0 D. 3 + 3 > 0
10.设 1， 2为复数，则下列结论中正确的是( )
1
A. 若 为虚数，则 1也为虚数 B. 若| 1 + | = 1，则| 1|的最大值为√ 2 1

C. | 1 2| = | 1 2| D. | 1 2| ≤ | 1| + | 2|
11.已知函数 ( )的定义域为 ， ( )的图象关于 = 对称，且 ( + 1)为奇函数，则( )
A. (1) + (0) = 2 B. ( ) + ( ) = 2
C. ( ( )) = D. (2024) = 2024
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
√ 3
12.若sin( + ) = ，则cos( ) = ______．
3 3 6
13.在等腰直角△ 中，已知 = = 6，若 ， 满足 = 2 ， = ， 与 交于点 ，则 在
上的投影向量的模为______．
1
14.已知函数 ( ) = (1 ) ( + 1)，若对任意的 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 2 1 < 2，都有
1 ( 1) 2 ( 2) > 0成立，则正实数 的取值范围是______．
1 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知正项数列{ }满足

+1 = 2 +1 ( ∈ )，且 1 = 1．
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1
(1)证明：数列{ }为等差数列，并求数列{ }的通项公式；
1
(2)证明： 1 2 + 2 3 + + +1 < ． 2
16.(本小题15分)
sin( )
记△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = ．

(1)求 ；
(2) 是 上的点， 平分∠ ，且 = 2， = 3，求△ 的面积．
17.(本小题15分)
如图，已知等腰梯形 ， = 4， = 6， = √ 5， ， 分别为 ， 的中点，沿线段 将四边
2
形 翻折到四边形 的位置，点 为线段 上一点，且满足 = ．
3
(1)证明： //平面 ；
(2)设二面角 的平面角为 (0 < < )，在四边形 翻折过程中，是否存在 ，使得 与平
3√ 10
面 所成角的正弦值为 ，若存在，请说明理由．
10
18.(本小题17分)

已知函数 ( ) = + (1 + ) (1 + )ln(1 + )．
2
(1)若曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线与 轴平行，求 的值；
1
(2)设函数 ( ) = ( )，给出 ( )的定义域，并证明：曲线 = ( )是轴对称图形；

1 1
(3)证明：(1 + ) < (1 )( ∈ )．
2 +2
19.(本小题17分)

对于一个 元正整数集 = {1,2, … , }，如果它能划分成 个不相交的二元子集{ , }( = 1,2, , )的并集，2 2
即 = { 1, 1} ∪ { 2, 2} ∪ … ∪ { , }，且存在 ∈ ，使得 + = 3
，则称这个偶数 为可分数.例如，
2 2
由于二元子集{1,2}满足1 + 2 = 3，则称2为可分数．
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(1)判断4和6是否为可分数，并说明理由；
(2)求小于81的最大可分数；
3
(3)记小于3 ( ∈ )的可分数的个数为 ，令 = ，记 为数列{ }的前 项和，证明： < ． 3 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 3
12.【答案】
3
13.【答案】3
14.【答案】(0, ]
15.【答案】证明：(1)正项数列{ }满足

+1 = 2 +1 ( ∈ )，且 1 = 1，
1 1
可得 = 2，
+1
1
则数列{ }是首项为1，公差为2的等差数列，

1 1
可得 = 1 + 2( 1) = 2 1，即有 = ；
2 1
1 1 1 1
(2)由 +1 = = ( )， (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
可得 1 2 + 2 3+. . . + +1 = (1 + +. . . + ) = < ． 2 3 3 5 2 1 2 +1 2 2(2 +1) 2
sin( ) sin( )
16.【答案】解：(1)由 = 可得， = ，

所以 = sin( )，
即sin( + ) = ，
所以 + = ，
所以2 = ，
又因为 ∈ (0, )，所以 > 0，
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1
所以 = ，
2
又因为 ∈ (0, )，

所以 = ；
3

(2)因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ = ，
6
所以 △ + △ = △ ，
1 1 1
所以 × × sin∠ + × × sin∠ = ∠ ，
2 2 2
1 1 1
即 × 2 × × sin + × 2 × × sin = ，
2 6 2 6 2 3
√ 3
整理得 + = ，
2
2
+ 2 2
在△ 中，由余弦定理得cos∠ = ，
2
2
+ 2 9
所以cos = ，
3 2
整理得 2 + 2 9 = ，
即( + )2 = 3 + 9，
√ 3
所以( )2 = 3 + 9，
2
解得 = 6或 2(舍去)，
1 1 3√ 3
所以 △ = ∠ = × 6 × sin = ． 2 2 3 2
17.【答案】(1)证明：取 的靠近点 的三等分点 ，连
接 ， ，
2
因为 = ，即点 是 的靠近点 的三等分点，
3
2
所以 // ， = = 2，
3
而 // ， = 2，
所以 // ， = ，即四边形 是平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：在等腰梯形 中，因为 ， 分别为 ， 的中点，
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所以 ⊥ ， = √ 2 ( )2 = √ 5 (3 2)2 = 2，
翻折后， ⊥ ， ⊥ ，
所以∠ 就是二面角 的平面角，即∠ = (0 < < )，
又 ∩ = ， 、 平面 ，所以 ⊥平面 ，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,3,0)， (0,2,2)， (0,0,2)，
因为 = 3， = 2，所以 (3 , 3 , 0)， (2 , 2 , 2)，
设 ( , , 0)，
因为
1 1
= ，所以( , 3,0) = (3 , 3 3,0)，
3 3
解得 = ， = + 2，即 ( , + 2,0)，
所以 = (2 , 2 , 2)， = (0,2,0)， = ( , + 2, 2)，
= 2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ ，
= + ( + 2) 2 = 0
取 = 2，则 = 0， = ，所以 = (2,0, )，
因为 与平面 所成角的正弦值为3√ 10，
10
| | |4 +2 | 3√ 10
所以|cos < ， > | = = =| | | | 10 ，解得 = ±1(舍负)，
√ 4 2 +4 2 +4×√ 4+sin2
3√ 10 故存在 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ，此时 = ．
10 2

18.【答案】解：(1)因为 ( ) = + (1 + ) (1 + )ln(1 + )，
2
+2
可得 ′( ) = + ln + 1，
+2 2 +2
因为曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线与 轴平行，
所以 ′(0) = 1 = 0，
解得 = 1；
1 1 1
(2)证明：设 ( ) = ( ) = + ln(1 + ) ( + 1)ln(1 + )，函数的定义域为( ∞, 1) ∪ (0, +∞)，
2
1
易知该定义域关于直线 = 对称，
2
1 1 2 +1
又 ( 1 ) = + ln(1 + ) + (1 ) = + ln +
2 2 1+ 2 +2 1+
1
= + ln(1 + ) ln( + 1) + ( + 1) ( + 1)
2
1 1
= + ln(1 + ) ( + 1)ln(1 + ) = ( )，
2
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1 1
所以曲线 = ( )关于直线 = 对称，是轴对称图形；
2

(3)证明：当 = 1时， ( ) = + (1 + ) (1 + )ln(1 + )，
2
+2
可得 ′( ) = + ln ，
+2 2 +2
+2
设 ( ) = + ln ，
+2 2 +2

可得 ′( ) = 2，
( +1)( +2)
当 ≥ 0时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 0，
则当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) > (0) = 0，
1 1 1 1 1 1
取 = ，此时 + ln(1 + ) (1 + )ln(1 + ) > 0，
2
1 1
所以1 + ln(1 + ) ( + 1)ln(1 + ) > 0，
2
1 1
则ln[ (1 + )] > ln[(1 + ) +1]．
2
1 1
故(1 + ) < (1 )( ∈ )．
2 +2
19.【答案】解：(1)由于4 + 5 = 32，但5 {1,2,3,4}，则4不是可分数；
由于1 + 2 = 3，3 + 6 = 32，4 + 5 = 32，则6是可分数；
(2)可将集合{1,2, … ,80}划分成以下40个二元子集：{1,80}，{2,79}，…，{40,41}，且1 + 80 = 2 + 79 = =
40 + 41 = 34，故80是可分数．
因此小于81的最大可分数是80；
(3)证明：设偶数 为可分数，则存在 ∈ 使得3 < < 3 +1，
由 + ( 1) < 2 × 3 +1 < 3 +2可知二元子集中两元素和的最大值为3 +1，
于是集合 中所有大于等于3 的整数所在二元子集中两元素之和均为3 +1，
于是 必定与3 +1 在同一个二元子集中， 1必定与3 +1 ( 1)在同一个二元子集中，…，
3 +1 1 3 +1+1
必定与 在同一个二元子集中．
2 2
3 +1 1
若 ≤ ，由3 +1 ≥ + 1可知3 +1 不属于集合 ，故无法对 进行分组，此时 不是可分数；
2
3 +1+1
若 ≤ < 2 3 ，则分组之后还剩下大于等于3 的整数3 +1 1，此时 不是可分数；
2
若2 × 3 ≤ < 3 +1 1，则分组之后还剩下1，2，3，…，3 +1 1，因为3 +1 1 < 3 < ，则 是
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可分数等价于3 +1 1也是可分数．
+1 +1 +1 3
+1 1 3 +1+1
若 = 3 1，则可将 划分成以下各组：{1, 3 1}，{2, 3 2}，…，{ , }，每组中两元
2 2
素之和均为3 +1，因此此时 是可分数．
由于小于3 的可分数的个数为 ，则 +1 = 2 + 1．
于3的可分数只能为2，则 1 = 1，于是 +1 + 1 = 2( + 1)，故{ + 1}是首项为 1 + 1 = 2，公比为2的
等比数列，
则 + 1 = 2
，于是 = 2
1，
2 1
又 =
= ( ) ( ) ， 3 3 3
2 2 1 1
[1 ( ) ] [1 ( ) ]
因此 = 3 3 3 3
2 1 1 1 3 1 4 2 1 3
2 1 = 2 2( )
+ ( ) = < ．
1 1 3 2 2 3 2 2 3 2
3 3
第 9 页，共 9 页

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