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浙江省杭州市文华中学、紫金港中学、十五中崇德校联考2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个不透明的袋子中装有个黄球、个白球、个红球和个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出个球，摸到球的可能性最大．
A. 黄 B. 白 C. 红 D. 黑
2.已知，，下列变形正确的是( )
A. B.
C. D.
3.的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是( )
A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定
4.若将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则所得抛物线的表达式为( )
A. B. C. D.
5.对于二次函数的图象，下列说法不正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而减小
6.如图，点都在方格纸的格点上，若点的坐标为，点的坐标为，现将绕点按顺时针方向旋转后，点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.若点都在二次函数的图象上，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接和，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
9.如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点不与重合，点为的中点，若在运动过程中的最大值为，则的值为( )
A. B. C. D.
10.将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线有两个交点，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如表是某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果：
每批粒数
发芽的频数
发芽的频率
根据以上数据，该种绿豆发芽的概率的估计值为 结果精确到．
12.已知点是线段上的黄金分割点，且，，则 ．
13.如图，正五边形内接于，为劣弧上的动点，则的大小为 ．
14.二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ．
15.已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为 ．
16.如图，在中，点、、均在圆上，连接、、、、，若，且，，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知抛物线上是常数经过点．
求二次函数解析式；
判断点是否在这个二次函数图象上，并说明理由．
18.本小题分
某校开展以“我和我的祖国”为主题的大合唱活动，九年级准备从小明、小东两名男生和小红、小慧两名女生中随机抽选学生担任领唱．
若只选一名学生担任领唱，则选中女生的概率是 ；
若随机选出两名学生担任领唱，请用树状图或列表法求选中一男一女的概率．
19.本小题分
如图，在中，．
求证：平分．
若，试求的度数．
20.本小题分
如图，在中，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接交于点，且．
求证：；
若，求图中阴影部分的面积．
21.本小题分
如图，二次函数的图象经过、、三点．
求该抛物线的顶点坐标；
结合图象，当时，求出的取值范围；
点是该抛物线对称轴上一点，当周长最小时，求点的坐标．
22.本小题分
某公司销售一种商品，成本为元件，公司规定售价不能低于元件，物价局核定该商品的售价不能高于元件，经过市场调查发现，该商品的日销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表：
销售单价元
日销售量件
求出与之间的函数关系式并写出的取值范围；
该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为元？
该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？
23.本小题分
在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，
若，函数图象顶点坐标为，求函数图象与轴的交点坐标；
若，函数图象与轴有两个交点，，且，求证：；
若函数图象经过点，当时，；当时，，求的值．
24.本小题分
如图，是的弦，，点是圆上不与重合的点，则 ；
如图，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形；直尺为无刻度直尺；不写作法，保留作图痕迹
如图，已知，在中，，且，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】度
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题】
解：将点坐标代入得，
，
解得，
所以二次函数解析式为；
【小题】
解：不在，理由如下：
将代入得，
，
所以点不在这个二次函数图象上．

18.【答案】【小题】
【小题】
解：画树状图得：
共有种等可能的结果，选中一男一女的有种情况，
选中一男一女的概率为．

19.【答案】【小题】
证明：延长半径交于，
．
，
．
．
．
【小题】
，，
，
．

20.【答案】【小题】
证明：连接，
，
，
，
，
，
为直径，
，
；
【小题】
解：连接，
，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
．

21.【答案】【小题】
解：，
抛物线的顶点坐标为；
【小题】
当时，，
解得或，
抛物线的顶点坐标为，
观察图象可知，当时，；
【小题】
如图，连接交抛物线的对称轴于点，连接．
抛物线的对称轴是直线
又，关于直线对称，
，此时，此时的值最小，即的周长最小，
，，
设的解析式为，
则
解得：
直线的解析式为，
当时，，
．

22.【答案】【小题】
解：设与之间的函数关系式为，
将代入得，
解得，
与之间的函数关系式为；
【小题】
解：设公司日销售此商品获得的利润为元，
根据题意得，
，
当时，
解得舍去，
答：该商品的销售单价定为元，公司日销售此商品获得的利润为元；
【小题】
解：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：该商品的销售单价定为元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是元．

23.【答案】【小题】
解：，函数图象顶点坐标为，
解析式为：，
当，则，
解得：或，
与轴的交点坐标为；
【小题】
证明：，
二次函数开口向下，
函数图象与轴有两个交点，，且，
当时，函数值大于，
即，
；
【小题】
解：函数图象经过点，
，
当时，；
当时，，
当时，，
，对称轴为直线，
，
，取得最大值，
当时，，
，
联立方程得，
解得：．

24.【答案】【小题】
或
【小题】
如图，优弧不包括端点即为满足条件的点所组成的图形；
以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，交点为，
为等边三角形，
，
以点为圆心，为半径作，则
满足的点在优弧上不包括端点
【小题】
延长至点，使，过点作于点，连接
，
，
，
，
，且，
，
，
，
，
，，
，，
，
点在以为圆心，为半径的圆弧上，
当为直径时，取得最大值，即取得最大值，最大值为．

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