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安徽省安庆市大观区石化一中2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，、相交于点，由下列条件不能判定与相似的是( )
A. B. C. D.
4.在函数，，中，图象开口大小顺序用序号表示应为( )
A. B. C. D.
5.下面四条线段中成比例线段的是( )
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，
6.一个羽毛球发出去秒时的高度为米，且与之间的函数关系式为如果这个羽毛球在第秒与第秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是( )
A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒
7.将一副三角板按图叠放，则与的面积之比为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
8.若无论取何值，代数式的值恒为非负数，则的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在边长为的正方形网格中，点、、、、都在小正方形顶点的位置上，联结相交于点，根据图中提示添加的辅助线，可以得到的值等于( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.抛物线的对称轴为直线______．
12.在中，，，，则 ______．
13.如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，则的周长为______．
14.如图，在矩形中，，，，分别是，上的动点，连接，交于点，且．
______．
连接，则的最小值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
15.计算：．
16.某市人民广场上要建一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子，柱子顶端处装上喷头，由处向外喷出的水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下如图所示若已知米，喷出的水流的最高点距水平面的高度是米，离柱子的距离为米．
求这条抛物线的解析式；
若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
四、解答题：本题共7小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点处用高的测角仪测得塔顶的仰角为，然后沿方向前行到达点处，在处测得塔顶的仰角为请根据他们的测量数据求塔高的长度大约是多少参考数据：，，，，，
18.本小题分
如图，中，，，为内部一点，且．
求证：∽；
求证：；
19.本小题分
知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行周末，小强一家到，两处景区游玩，他们从家处出发，向正西行驶到达处，测得处在处的北偏西方向上，出发时测得处在处的北偏西方向上．
填空： ______度；
求处到处的距离即的长度结果保留根号．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，点在双曲线上，且满足，连接．
求双曲线的表达式；
若，求的值．
21.本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
结合函数图象，当时，直接写出的取值范围：______；
若点是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值．
22.本小题分
已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
求抛物线的解析式；
平移抛物线，平移后的图象记为图象，其顶点在抛物线上，直线分别与抛物线和图象交于点和点，求线段长的最大值．
23.本小题分
如图，中，，于，点在边上，，交于，过点作于点．
求证：；
如图，当时，求的长；
连接，若，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】或
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：
．
16.【答案】解：
设这条抛物线解析式为
由题意知：顶点为，为
，，．
所以这条抛物线的解析式为．
令，则，
解得，
所以若不计其它因素，水池的半径至少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
17.【答案】解：由题意得：，，
在中，，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
答：塔高的长约为．
18.【答案】证明：，，
，
又，
，
，且，
∽；
∽
；
在 中，，
，
，，
．
19.【答案】
20.【答案】解：点在双曲线上，
，
；
分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示：
，，
，
，
，
∽，
，
的坐标为，
，．
中，
，
，，
的坐标为，
将代入，得：．
21.【答案】
22.【答案】解：将点和点，代入抛物线，得：
，
解得，
抛物线的解析式；
由知：抛物线的解析式，
平移前后二次项系数不变，还是，其顶点，
设平移后解析式：，
当时，，
，
当时，，
，
点在上，
，
，
，
，
令，
，
取得最大值，时，；时，，
，
，
，
当时，取得最大值为．
23.【答案】证明：如图，，
，
于，于点，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
解：如图，由得≌，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得或不符合题意，舍去，
，
的长是．
解：如图，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
或不符合题意，舍去，
，
，
的值是．
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