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浙江省杭州市六校联考2024-2025学年九年级（上）期中考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的半径为，点在外，则的长可能是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 小明买彩票中奖
B. 在一个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球
C. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
D. 三角形两边之和大于第三边
3.一条弧所对的圆心角为，那么这条弧所对的圆周角为( )
A. B. C. D.
4.把二次函数先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得二次函数的解析式是( )
A. B.
C. D.
5.如图，点在上，是的直径．若，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.已知二次函数，下列说法正确的是( )
A. 对称轴为 B. 顶点坐标为
C. 函数图象经过点 D. 当时，随的增大而减小
7.的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是( )
A. B. 或 C. D. 或
8.已知，，是拋物线上的点，则( )
A. B. C. D.
9.如图，已知是的直径，弦与交于点，设，，，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，二次函数的图像过点和，有以下结论：；；；；其中正确的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知二次函数，当时， ．
12.在，，，四个数中，随机取一个数分别作为函数中的值，使该二次函数图像开口向上的概率为 ．
13.正六边形每个内角的度数是 ．
14.半径为，圆心角为的扇形面积是 ．
15.在“探索函数的系数，，与图像的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为 ．
16.如图，在中，半径为，若的度数为，的度数为，的度数为，点为弦的中点，点为弦的中点，则线段 ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知二次函数．
求二次函数图像与轴的交点坐标．
求二次函数的顶点坐标．
18.本小题分
一个盒子里装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球．
若只从盒子里摸出一个球，直接写出摸出一个白球的概率是 ．
若从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出一个球，求两次摸出都是红球的概率．
19.本小题分
如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点．
求的长；
求点经过的路径长．
20.本小题分
已知二次函数的图像经过点，．
试确定此二次函数的解析式；
时，求的取值范围．
21.本小题分
如图，是的直径，四边形内接于，交于点，．
求证：；
若，，求的长．
22.本小题分
【问题背景】
水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．
【实验操作】
为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离单位：与飞行时间单位：的数据，并确定了函数表达式为：同时也收集了飞行高度单位：与飞行时间单位：的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：
飞行时间
飞行高度
【建立模型】任务：求关于的函数表达式．
【反思优化】
图是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台距离地面的高度为，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，．
任务：探究飞行距离，当水火箭落地高度为时，求水火箭飞行的水平距离．
任务：当水火箭落到内包括端点，，求发射台高度的取值范围．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，函数图象过点，
当时，求该函数的表达式
证明该函数的图像必过点
求该函数的最大值
24.本小题分
如图，为的直径，点、都在上，且平分，交于点．
求证：；
若，，求的半径；
于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】度
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题】
解：，
当时，或，
二次函数图象与轴的交点坐标为，；
【小题】
解：，
该函数的顶点坐标为．

18.【答案】【小题】
【小题】
解：列表如下：
红 红 白
红 红，红 红，红 红，白
红 红，红 红，红 红，白
白 白，红 白，红 白，白
共有种等可能的结果，其中两次摸出都是红球的结果有种，
两次摸出都是红球的概率为．

19.【答案】【小题】
解：连接，如下图，
根据题意，可知，，
，
，
，，
即是等腰直角三角形，
，
；
【小题】
根据题意，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，
则有，
答：点经过的路径长为．

20.【答案】【小题】
解：把，代入中得：
二次函数解析式为；
【小题】
解：二次函数解析式为，
二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
在对称轴右侧，随增大而增大，在对称轴左侧，随增大而减小，
当时，，当时，，
当时，．

21.【答案】【小题】
解：，是半径，
，，
又，
，
【小题】
，，
，，
又在中，，
，
，
，，

22.【答案】【小题】
解：设函数表达式为：，
将原点代入上式，
解得：，
则．
【小题】
由，得，
将代入，得．
令，
解得舍去或，
即水火箭飞行的水平距离为；
【小题】
设发射台弹射口高度为，
则此时的函数表达式为：，
当时，，
解得，
当时，
，
解得，即，
故发射台高度范围为．

23.【答案】【小题】
解：把代入得：、
解得
故函数表达式为，
【小题】
由题意得，
把代入得：，
该函数的图像必过点；
【小题】
由知，
当时，函数最大值为：．

24.【答案】【小题】
证明：平分，
，
，
；
【小题】
解：如图，过点作于点，
为的直径，
，，
，
，
，
，
，
；
【小题】
理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
四边形内接于圆，
，
，，平分，
，，
≌，
，，
，
，
．
即．

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