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厦门第二中学2024-2025学年(上) 九年级数学12月月考阶段性检测
班级 姓名 班级座号___________
（满分:150分 时间:120分钟）
注意事项:
1．全卷三大题,25小题,另有答题卡；
2．答案必须写在答题卡上,否则不能得分；
3．可以直接使用2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有8小题,每小题4分,共分32.每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确）
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录,下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”,其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
把一元二次方程2x(x-1) =(x-3)+4化成一般式之后,其二次项系数与一次项分别是( )
A. 2, - 3 B. - 2, - 3 C. 2, - 3x D. - 2, - 3x
3. 如图, ED为⊙O直径, 弦AB⊥CD于点 E, CE=1, AB=6, 则CD长为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 5
4. 在平面直角坐标系中,若抛物线 的图象经过A ( - 1, 2), B (3, 2), C (4, - 3) 三点, 则下列关于抛物线性质的说法正确的是( )
A. 开口向上 B. 与y轴交于负半轴 C. 顶点在第二象限 D. 对称轴在y轴右侧
5.如图,将△ABC绕点A 逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°), 得到△ADE, 这时点 B旋转后的对应点 D 恰好在直线 BC 上,则下列结论错误的是( )
A. ∠ABC=∠ADB B. ∠ACD=∠EAD C. ∠EAC=α D. ∠EDC=180° -α
6. 生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验,培育结果统计如下：
总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率 黄色子叶粒数与青色子叶粒数的理论比率
246 187 59 3.16: 1 3: 1
3658 2738 920 2.98: 1 3: 1
7679 5781 1898 3.06: 1 3: 1
31213 23436 7777 3.01: 1 3: 1
根据上述培育结果,下列说法正确的是( )
A. 只要增加试验的粒数,黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于3：1
B. 随着试验粒数的增加,黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于3：1
C. 培育该大豆杂交品种时,出现青色子叶粒数的概率为
D. 培育该大豆杂交品种时,出现黄色子叶数的概率为
7. 如图,已知抛物线 的对称轴是直线x=-1, 直线l∥x轴, 且交抛物线于点 P (x , y ),Q(x , y ), 下列结论错误的是( )
B.若实数m≠-1,则
C. 3a-2>0 D. 当y>-2时,
8. 关于x的一元二次方程： , 当c=t 时, 方程有两个相等的实数根;若将c的值在t 的基础上增大,则此时方程根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 两个相等的实数根 C . 两个不相等的实数根 D. 一个实数根
二、填空题(本大题有8小题,每小题4分,共32分)
9. 抛物线 的顶点坐标是 .
10.《易经》是中华民族聪明智慧的结晶. 如图是《易经》中的一种卦图,每一卦由三根线组成(线形为“一”或“一”),如正北方向的卦为“≡”.从图中任选一卦,这一卦中恰有1根“一”和2根“一”的概率是 .
11. 已知扇形 AOB的半径为6cm,圆心角的度数为 ,若将此扇形围成一个圆锥的侧面,则围成的圆锥的底面圆的半径为 . cm.
2. 如图,点A, B,C, D 都在⊙O上, C是BD的中点, 若 则 的度数为 .
13. 如图, 直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点,把 绕点A 旋转 ’后得到 则点 的坐标是 .
如图,是一个竖直放置的钉板,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子, 分别表示相邻两颗钉子之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口A 处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中总是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内. 则圆球落入③号槽内的概率为 .
在△ABC中, AC=3, BC=2, 将△ABC绕C点按逆时针旋转, 旋转角为α(0°≤α≤360°) 得到△DEC, A与D对应, B与E对应, 则线段AE长度的取值范围 .
对于一个函数, 如果它的自变量x与函数值y满足: 当-1≤x≤1时, - 1≤y≤1,则称这个函数为“闭函数”.
例如: y=x, y= -x均是“闭函数”. 已知. (a≠0) 是“闭函数”, 且抛物线经过点A (1, - 1) 和点 B (-1,1), 则a的取值范围是 .
三、解答题(本大题有9小题,共86分)
17. (本题满分8分)
解下列方程：
18. (本题满分8分)
如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=5,将矩形ABCD绕点 A 旋转得到四边形 AB' C' D' , 当 B'C'经过点 D,连接DD', 求线段 DD'的长度.
19. (本题满分8分)
先化简,再求值： 其中
20. (本题满分8分)
某百货商场经销一种儿童服装,每件售价50元,每天可以销售80件,为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取降价措施以扩大销售量,经市场调查发现：每件童装每降价1元,平均每天就可多销售10件. 那么每件童装降价多少元时,每天该童装的营业额是5850元
21. (本题满分8分)
为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源租赁汽车”. 每次租车收费的标准由两部分组成：
①里程计费：1元/公里;
②时间计费：0.1元/分. 已知陈先生的家离上班公司20公里,每天上、下班租用该款汽车各一次. 一次路上开车所用的时间记为t(分),现统计了 50次路上开车所用时间,在各时间段内频数分布情况如表所示：
时间t(分) 25≤t<35 35≤t<45 45≤t<55 55≤t<65
次数 10 28 8 4
将各时间段发生的频率视为概率,一次路上开车所用的时间视为用车时间,范围为25≤t<65.
(1) 估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于35分钟的概率；
(2) 若公司每月发放1000元的交通补助费用,请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车
(每月按22天计算),并说明理由.(同一时段,用该区间的中点值作代表)
22. (本题满分8分)
如图, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, 连接AC, BC, CD平分 与⊙O交于另一点D.
(1) 尺规作图: 过点 D作直线EF平行于 BA, 分别交CB, CA于点 E、F.(保留作图痕迹, 不写作法)；
(2) 求证: EF是⊙O 的切线.
23. (本题满分10分)
对于平面直角坐标系xOy 中的图形 P,Q,给出如下定义：M为图形P上任意一点,N为图形Q 上任意一点,如果 M,N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形 P, Q 间的“非常距离”, 记作d(P,Q).
已知点A(-2,2), B(2,2), 连接AB.
(1) d (点O, AB) = ;
(2) ⊙O半径为r, 若d(⊙O,AB)=0,直接写出r的取值范围： ；
(3) ⊙O半径为r, 若将点 A 绕点 B逆时针旋转 得到点A′.
①当α= 30°时 时d(⊙O,A’)=0求出此时r的值；
②对于取定的r值,若存在两个α使d(⊙O,A’)=0,直接写出r的范围： .
24. (本题满分12分)
我们曾经研究过：如图1,点 P在⊙O外或点 P 在⊙O 内,直线PO分别交⊙O于点A、B,则线段 PA 是点 P到⊙O 上各点的距离中最短的线段,线段 PB是点 P到⊙O上各点的距离中最长的线段.
【运用】在 中, 点 E 是AC的中点.
(1) 如图2, 若F是 BC边上一动点, 将 沿EF所在的直线翻折得到 连接C'B, 则 C'B的最小值是 .
(2) 如图3, 若取AB的中点 D, 连接DE, 得等腰 将 绕点A 旋转,点 P 为射线 BD, CE的交点, 点Q是AE的中点.
①BD与CE的位置关系是 .
②连接PQ,求 PQ 的最大值和最小值.
【拓展】(3) 喜欢研究的小梧把上述第(2) 问图中的 绕点A 旋转,而 不动,记点 P为射线 BD,CE的交点(如图4),他发现在旋转过程中线段 PB的长度存在最值,请直接写出 PB的最小值
25.(本题满分14分)
随着时代的进步,我国交通出行结构发生根本性变化.汽车出行成为交通常态. 某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现,很多车尾部贴上了保持车距的贴纸. 小组成员产生了一个困惑———“保持怎样的车距才能保障道路安全 ”为解决这一困惑. 小组成员分工开展活动：
成员小梧查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度x(m/s) 与刹车距离y(m)的关系如表. (刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离.)
某型号汽车行驶速度x(m/s) 与刹车距离y(m) 的关系
行驶速度x(m/s) 0 5 10 15 20 25 30
刹车距离y(m) 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57
任务1：小梧认为该型号汽车的行驶速度x(m/s) 与刹车距离y(m) 之间存在函数关系,请你协助小梧求出该函数解析式；
任务2：成员小杭发现小区门口路段限速60km/h. 请你帮小杭计算,如果该型号汽车以最高限速60km/h行驶,至少保持多少车距才能保障道路安全 实际驾驶过程中,驾驶员难以预估与前车的距离,且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离. 是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案 小组成员带着困惑与陈老师进行交流,陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物,前车超越参照物后,后车如果在两秒内到达该参照物,说明与前车的距离不足,反之距离充足；
任务3：你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶(30km/h~120km/h) 如果适用, 说明理由;如果不适用, 请求出“2秒定律”的适用范围.厦门第二中学 2024-2025学年(上)九年级数学 12月月考阶段性检测
班级 姓名 班级座号___________
（满分:150分 时间:120分钟）
注意事项:
1．全卷三大题,25小题,另有答题卡；
2．答案必须写在答题卡上,否则不能得分；
3．可以直接使用 2B铅笔作图．
一、选择题（本大题有 8小题,每小题 4分,共分 32.每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确）
1.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录,下列四幅作品分别代表“立春”
“立夏”“芒种”“大雪”,其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.把一元二次方程 2x(x-1) =(x-3)+4化成一般式之后,其二次项系数与一次项分别是( )
A. 2, - 3 B. - 2, - 3 C. 2, - 3x D. - 2, - 3x
3.如图, ED为⊙O直径,弦 AB⊥CD于点 E, CE=1, AB=6,则 CD长为( )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 5
4.在平面直角坐标系中,若抛物线 = + + 的图象经过 A ( - 1, 2), B (3, 2), C (4, - 3)三点,则下列关于抛
物线性质的说法正确的是( )
A.开口向上 B.与 y轴交于负半轴 C.顶点在第二象限 D.对称轴在 y轴右侧
5.如图,将△ABC绕点 A逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<180°),得到△ADE,这时点 B旋转后的对应点 D恰好在直
线 BC上,则下列结论错误的是( )
A.∠ABC=∠ADB B.∠ACD=∠EAD C.∠EAC=α D.∠EDC=180° -α
1
{#{QQABYQKEggigQABAARhCAwFCCgCQkgECAQgGwBAAIAABiANABAA=}#}
6.生物兴趣小组对某大豆杂交品种进行育苗试验,培育结果统计如下：
黄色子叶粒数与青色子叶 黄色子叶粒数与青色子叶
总粒数 黄色子叶粒数 青色子叶粒数
粒数的实际比率 粒数的理论比率
246 187 59 3.16: 1 3: 1
3658 2738 920 2.98: 1 3: 1
7679 5781 1898 3.06: 1 3: 1
31213 23436 7777 3.01: 1 3: 1
根据上述培育结果,下列说法正确的是( )
A.只要增加试验的粒数,黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率就更加接近于 3：1
B.随着试验粒数的增加,黄色子叶粒数与青色子叶粒数的实际比率稳定于 3：1
C.培育该大豆杂交品种时,出现青色子叶粒数的概率为
D. 1培育该大豆杂交品种时,出现黄色子叶数的概率为
4
7.如图,已知抛物线 = + 2 的对称轴是直线 x=-1,直线 l∥x轴,且交抛物线于点 P (x , y ),Q(x , y ),下
列结论错误的是( )
. > 8 B.若实数 m≠-1,则 < +
C. 3a-2>0 D.当 y>-2时, < 0
8.关于 x的一元二次方程： 5 + = 0,,当 c=t 时,方程有两个相等的实数根;若将 c的值在 t 的基础上增
大,则此时方程根的情况是( )
A.没有实数根 B.两个相等的实数根 C .两个不相等的实数根 D.一个实数根
二、填空题(本大题有 8小题,每小题 4分,共 32分)
9.抛物线 = + 3 的顶点坐标是 .
10.《易经》是中华民族聪明智慧的结晶.如图是《易经》中的一种卦图,每一卦由三根线组成(线形为“一”或
“一”),如正北方向的卦为“≡”.从图中任选一卦,这一卦中恰有 1根“一”和 2根“一”的概率是 .
11.已知扇形 AOB的半径为 6cm,圆心角的度数为 120°,,若将此扇形围成一个圆锥的侧面,则围成的圆锥的底面圆
的半径为 . cm.
2
{#{QQABYQKEggigQABAARhCAwFCCgCQkgECAQgGwBAAIAABiANABAA=}#}
2.如图,点 A, B,C, D都在⊙O上, C是 BD的中点, = .若 ∠ = 50°,则 ∠ 的度数为 .
13.如图,直线 = 3 + 3 与 x轴、y轴分别交于 A、B两点,把 △ 绕点 A旋转 90°’后得到 △ ' ',则点 '
2
的坐标是 .
14.如图,是一个竖直放置的钉板,其中,黑色圆面表示钉板上的钉子, 1、 1、 2 3、 4分别表示相邻两颗钉子
之间的空隙,这些空隙大小均相等,从入口 A 处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球,圆球下落过程中总
是碰到空隙正下方的钉子,且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等,直至圆球落入下面的某个槽内.则
圆球落入③号槽内的概率为 .
15.在△ABC中, AC=3, BC=2,将△ABC绕 C点按逆时针旋转,旋转角为α(0°≤α≤360°)得到△DEC, A与 D对应, B
与 E对应,则线段 AE长度的取值范围 .
16.对于一个函数,如果它的自变量 x与函数值 y满足:当-1≤x≤1时, - 1≤y≤1,则称这个函数为“闭函数”.
例如: y=x, y= -x均是“闭函数”.已知. = + + (a≠0)是“闭函数”,且抛物线经过点 A (1, - 1)和点 B (-1,1),
则 a的取值范围是 .
三、解答题(本大题有 9小题,共 86分)
17. (本题满分 8分)
解下列方程： + 4 = + 4.
3
{#{QQABYQKEggigQABAARhCAwFCCgCQkgECAQgGwBAAIAABiANABAA=}#}
18. (本题满分 8分)
如图,矩形 ABCD中,AB=3,BC=5,将矩形 ABCD绕点 A旋转得到四边形 AB' C' D' ,当 B'C'经过点 D,连接 DD',求线
段 DD'的长度.
19. (本题满分 8分)
1
先化简,再求值： 2 ÷ 1+ ,其中 = 2 + 1. 2 +1 1
20. (本题满分 8分)
某百货商场经销一种儿童服装,每件售价 50元,每天可以销售 80件,为了迎接“六一”国际儿童节,商场决定采取降
价措施以扩大销售量,经市场调查发现：每件童装每降价 1元,平均每天就可多销售 10件.那么每件童装降价多
少元时,每天该童装的营业额是 5850元
4
{#{QQABYQKEggigQABAARhCAwFCCgCQkgECAQgGwBAAIAABiANABAA=}#}
21. (本题满分 8分)
为响应绿色出行,某市在推出“共享单车”后,又推出“新能源租赁汽车”.每次租车收费的标准由两部分组成：
①里程计费：1元/公里;
②时间计费：0.1元/分.已知陈先生的家离上班公司 20公里,每天上、下班租用该款汽车各一次.一次路上开车
所用的时间记为 t(分),现统计了 50次路上开车所用时间,在各时间段内频数分布情况如表所示：
时间 t(分) 25≤t<35 35≤t<45 45≤t<55 55≤t<65
次数 10 28 8 4
将各时间段发生的频率视为概率,一次路上开车所用的时间视为用车时间,范围为 25≤t<65.
(1)估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于 35分钟的概率；
(2)若公司每月发放 1000元的交通补助费用,请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车
(每月按 22天计算),并说明理由.(同一时段,用该区间的中点值作代表)
22. (本题满分 8分)
如图, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点,连接 AC, BC, CD平分 ∠ 与⊙O交于另一点 D.
(1)尺规作图:过点 D作直线 EF平行于 BA,分别交 CB, CA于点 E、F.(保留作图痕迹,不写作法)；
(2)求证: EF是⊙O的切线.
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{#{QQABYQKEggigQABAARhCAwFCCgCQkgECAQgGwBAAIAABiANABAA=}#}
23. (本题满分 10分)
对于平面直角坐标系 xOy中的图形 P,Q,给出如下定义：M为图形 P上任意一点,N为图形 Q上任意一点,如果 M,
N两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形 P, Q间的“非常距离”,记作 d(P,Q).
已知点 A(-2,2), B(2,2),连接 AB.
(1) d (点 O, AB) = ;
(2)⊙O半径为 r,若 d(⊙O,AB)=0,直接写出 r的取值范围： ；
(3)⊙O半径为 r,若将点 A绕点 B逆时针旋转 °(0° < < 180°),得到点 A′.
①当α= 30°时 = 30°时 d(⊙O,A’)=0求出此时 r的值；
②对于取定的 r值,若存在两个α使 d(⊙O,A’)=0,直接写出 r的范围： .
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{#{QQABYQKEggigQABAARhCAwFCCgCQkgECAQgGwBAAIAABiANABAA=}#}
24. (本题满分 12分)
我们曾经研究过：如图 1,点 P在⊙O外或点 P在⊙O内,直线 PO分别交⊙O于点 A、B,则线段 PA是点
P到⊙O上各点的距离中最短的线段,线段 PB是点 P到⊙O上各点的距离中最长的线段.
【运用】在 △ 中, ∠ = 90°, = = 2,点 E是 AC的中点.
(1)如图 2,若 F是 BC边上一动点,将 △ 沿 EF所在的直线翻折得到 △ ' ,连接 C'B,则 C'B的最小
值是 .
(2)如图 3,若取 AB的中点 D,连接 DE,得等腰 △ ,将 △ 绕点 A旋转,点 P为射线 BD, CE的
交点,点 Q是 AE的中点.
①BD与 CE的位置关系是 .
②连接 PQ,求 PQ的最大值和最小值.
【拓展】(3)喜欢研究的小梧把上述第(2)问图中的 △ 绕点 A旋转,而 △ 不动,记点 P为射线 BD,
CE的交点(如图 4),他发现在旋转过程中线段 PB的长度存在最值,请直接写出 PB的最小值
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{#{QQABYQKEggigQABAARhCAwFCCgCQkgECAQgGwBAAIAABiANABAA=}#}
25.(本题满分 14分)
随着时代的进步,我国交通出行结构发生根本性变化.汽车出行成为交通常态.某数学兴趣小组观察校门口
的汽车发现,很多车尾部贴上了保持车距的贴纸.小组成员产生了一个困惑———“保持怎样的车距才能保
障道路安全 ”为解决这一困惑.小组成员分工开展活动：
成员小梧查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度 x(m/s)与刹车距离 y(m)的关系如表. (刹车距离：从
发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离.)
某型号汽车行驶速度 x(m/s)与刹车距离 y(m)的关系
行驶速度 x(m/s) 0 5 10 15 20 25 30
刹车距离 y(m) 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57
任务 1：小梧认为该型号汽车的行驶速度 x(m/s)与刹车距离 y(m)之间存在函数关系,请你协助小梧求出该
函数解析式；
任务 2：成员小杭发现小区门口路段限速 60km/h.请你帮小杭计算,如果该型号汽车以最高限速 60km/h行
驶,至少保持多少车距才能保障道路安全 实际驾驶过程中,驾驶员难以预估与前车的距离,且难以实时计算
不同行驶速度对应的安全距离.是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案 小组成员带着困惑与
陈老师进行交流,陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物,前车超
越参照物后,后车如果在两秒内到达该参照物,说明与前车的距离不足,反之距离充足；
任务 3：你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶(30km/h~120km/h) 如果适用,
说明理由;如果不适用,请求出“2秒定律”的适用范围.
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{#{QQABYQKEggigQABAARhCAwFCCgCQkgECAQgGwBAAIAABiANABAA=}#}

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