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4.1　数列的概念（第二课时）（同步训练）
一、选择题
1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　)
A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2
2.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n3，则a5＋a6的值为(　　)
A.27 B.91
C.152 D.218
3.已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，此数列的第3项是(　　)
A.1　　　 　B.　　　　
C.　　 　　D.
4.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4an＋3，则a4＝(　　)
A.67 B.115
C.31 D.127
5.在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋n，则a9等于(　　)
A.20 B.30
C.36 D.28
6.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lg，则an的值为(　　)
A.2＋lg n　 B.2＋(n－1)lg n
C.2＋n lg n　 D.1＋n lg n
7.(多选)已知数列{an}满足(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，Sn为其前n项和，且a1＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.a2＝3 B.a3＝6
C.S4＝20 D.an＝2n－1
8.(多选)由1，3，5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则(　　)
A.b3的值是5 B.b4的值是9
C.b5的值是15 D.b6的值是33
二、填空题
9.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则a1＝________
10.已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝_______
11.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋10n－21，前n项和为Sn，若n＞m，则Sn－Sm的最大值是________
12.已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n－5，那么它的通项公式是_____________
三、解答题
13.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，求an．
14.已知函数f(x)＝x－．数列{an}满足f(an)＝－2n，且an＞0．求数列{an}的通项公式．
15.设在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
参考答案及解析：
一、选择题
1.B 解析：由题可知an－an－1＝n(n∈N*，n≥2)．故选B．
2.C 解析：因为数列{an}的前n项和为Sn＝n3，所以a5＋a6＝S6－S4＝63－43＝152．故选C．
3.C 解析：a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝．故选C．
4.D 解析：因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4an＋3，所以a2＝4a1＋3＝7，a3＝4a2＋3＝31，a4＝4a3＋3＝127．故选D．
5.A 解析：因为a1＝2，2an＋1＝2an＋n，所以an＋1－an＝．所以a9＝(a9－a8)＋(a8－a7)＋…＋(a2－a1)＋a1．所以a9＝＋＋…＋＋2＝＋2＝20．故选A．
6.A 解析：因为an＋1－an＝lg ，
所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lg ＋lg ＋…＋lg ＋2
＝lg ＋2＝lg n＋2．故选A．
7.AD 解析：由(n－1)an＝nan－1＋1(n≥2)，得(n－1)an＋(n－1)＝nan－1＋n(n≥2)，又a1＝1，所以当n≥2时，＝，所以an＋1＝(a1＋1)×××…×＝2×××…×＝2n，从而an＝2n－1．当n＝1时，也满足上式，所以an＝2n－1．所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，a4＝2×4－1＝7．所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋3＋5＋7＝16．故选AD．
8.ABD 解析：因为bn＝abn－1，所以b2＝ab1＝a2＝3，b3＝ab2＝a3＝5，b4＝ab3＝a5＝9，b5＝ab4＝a9＝17，b6＝ab5＝a17＝33．故选ABD．
二、填空题
9.答案：－1
解析：因为Sn＝2an＋1，故当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1．
10.答案：－
解析：由a1＝0，可求a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…，可知周期为3，所以a20＝a2＝－．
11.答案：10
解析：an＝－n2＋10n－21＝－(n－3)(n－7)，则当3≤n≤7时，an≥0，当n≤2或n≥8时，an＜0，所以Sn的最大值为S6或S7，Sm的最小值为S2或S3，故Sn－Sm的最大值为S6－S3＝a4＋a5＋a6＝3＋4＋3＝10．
12.答案：an＝
解析：①当n＝1时，a1＝S1＝2＋1－5＝－2；②当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n－5)－[2(n－1)2＋(n－1)－5]＝4n－1．当n＝1时，4n－1＝4－1＝3≠－2，综上，an＝
三、解答题
13.解：由题意得an＋1－an＝ln ，
所以an－an－1＝ln (n≥2)，
an－1－an－2＝ln ，
…，
a2－a1＝ln ．
所以当n≥2时，an－a1＝ln ＝ln n，所以an＝2＋ln n(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2也符合上式，
所以an＝2＋ln n(n∈N*)．
14.解：因为f(x)＝x－，所以f(an)＝an－，
因为f(an)＝－2n，所以an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0．
所以an＝－n±．
因为an＞0，所以an＝－n．
15.解：因为a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
所以＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝．
又因为当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝(n∈N*)．4.1　数列的概念（第一课时）（同步训练）
一、选择题
1.已知数列1，，，，，…，则3是它的(　　)
A.第30项 B.第31项
C.第32项 D.第33项
2.在数列{an}中，an＝，则{an}(　　)
A.是常数列 B.不是单调数列
C.是递增数列 D.是递减数列
3.已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的(　　)
A.第9项 B.第10项
C.第11项 D.第12项
4.数列{an}：－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　)
A.an＝(－1)n(n∈N*) B.an＝(－1)n(n∈N*)
C.an＝(－1)n+1(n∈N*) D.an＝(－1)n+1(n∈N*)
5.已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　)
A. B.－
C. D.－
6.已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　)
A. B.－
C. D.－
7.`(多选)下列式子中不能作为数列1，0，1，0，1，0，1，0，…的通项公式的有(　　)
A.an＝ B.an＝
C.an＝ D.an＝
8.(多选)费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有如下形式：Fn＝22n＋1(n＝0，1，2，…)．若bn＝(n∈N*)，则(　　)
A.数列{bn}的最大项为b1 B.数列{bn}的最大项为b6
C.数列{bn}的最小项为b1 D.数列{bn}的最小项为b5
二、填空题
9.若数列{an}的通项公式为an＝n2(n－2)，其中n∈N*，则a5＝________
10.已知数列{an}的通项公式为an＝n－，则an的最小值为________
11.数列{an}的通项公式an＝2n2－10n＋3，则数列{an}的最小项等于________
12.函数f(x)＝x2－2x＋n(n∈N*)的最小值记为an，设bn＝f(an)，则数列{an}，{bn}的通项公式分别是an＝________，bn＝________
三、解答题
13.已知数列{an}的通项公式是an＝．
(1)求数列的第10项．(2)是不是数列中的项？(3)判断数列{an}的增减性．
14.已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n．
(1)写出此数列的第4项和第6项．
(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
15.已知无穷数列，，，，…．
(1)求出这个数列的一个通项公式．
(2)该数列在区间内有没有项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
参考答案及解析：
一、选择题
1.C 解析：因为3＝＝，所以3是数列的第32项．故选C．
2.D 解析：在数列{an}中，an＝＝1＋，由反比例函数的性质得{an}是n∈N*时的单调递减数列．故选D．
3.C 解析：由n2＋1＝122得n2＝121，所以n＝11．故选C．
4.B 解析：该数列的前几项可以写成－，，－，，…，故可以归纳为an＝(－1)n(n∈N*)．故选B．
5.D　解析：易知数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5×＝－．
6.D　解析：易知数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5×＝－．
7.ACD 解析：对于A，当n＝1时，a1＝0，故A错误；对于B，奇数项为1，偶数项为0，故B正确；对于C，当n＝1时，a1＝，故C错误；对于D，当n＝1时，a1＝0，故D错误．故选ACD．
8.BD 解析：bn＝＝，因为函数f(n)＝2n－36单调递增，且当n≤5时，bn＜0，当n≥6时，bn＞0，所以数列{bn}的最大项为b6，最小项为b5．
二、填空题
9.答案：75
解析：因为an＝n2(n－2)，所以a5＝25×3＝75．
10.答案：1－
解析：因为an＝n－＝＝－，易知数列{an}为递增数列，则数列{an}的最小项为a1，即最小值为1－．
11.答案：9
解析：因为an＝2n2－10n＋3＝2－，且n∈N*，所以当n＝2或3时，an为最小项，最小项a2＝2×4－20＋3＝－9．
12.答案：n－1，n2－3n＋3　
解析：f(x)＝x2－2x＋n＝(x－1)2＋n－1．当x＝1时，f(x)min＝n－1，∴an＝n－1，bn＝f(an)＝(n－1)2－2(n－1)＋n＝n2－3n＋3，即bn＝n2－3n＋3．
三、解答题
13.解：(1)数列的第10项为a10＝＝．
(2)令an＝，即＝，解得n＝7．
∴是数列中的项，且是数列的第7项．
(3)(方法一，比较an＋1与an的大小)
∵an＋1－an＝－＝－＝＞0，
∴an＋1＞an．∴数列{an}为递增数列．
(方法二，从函数角度判断)
an＝＝，
∵f(n)＝1＋为关于n的减函数且其值恒正，
∴an＝为关于n的增函数，故数列{an}为递增数列．
14.解：(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60．
(2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
由3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
15.解：(1)因为数列的分子依次为4，9，16，25，…，可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1．所以数列的一个通项公式为an＝(n＝1，2，…)．
(2)当≤an≤时，可得≤≤．
由≥，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2．
由≤，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5．
所以2≤n≤5．综上所述，该数列在内有项，并且有4项．

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