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成都七中 2024～2025 学年度(上)12月阶段性考试
数 学
注意事项:
1．答卷前，请务必将自己的姓名、考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题的答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用黑色字迹
的签字笔或钢笔将答案写在答题卡相应位置上．
3．考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管．
4．试卷满分：150分，考试时间：120分钟．
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
z 1 i1.已知 z
1 i，则
A.1 B. 2 C. 3 D.2
1
2. 1是 x 1的（ ）
x
A.充要条件 B.必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知向量 a (0,4)，b ( 3， 3)，则 a在b方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. ( 2, 2) B. (0,3) C. (0, 3) D. (2,2)
f (x) 3x cos x4. 函数 2 的部分图象大致为（ ）x 1
A. B.
C. D.
5.已知等差数列 an 的前 n
S S
项和为 S 6n ,且 3 3，则 a6 a3 （ ）6 3
A.3 B.6 C.9 D.18
6.已知 cos( ) 3cos( ),则 sin 2 （ ）
4 4
3 4 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
14. x(ln x 2) ax2 2 ln x对 x e恒成立，则实数 a的取值范围是_________.
a
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13 分）在三角形 ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足
a2 b2 2ab c2 .
（1）求角C的大小.
（2）若b 1， c 2bcosB,求 ABC的面积.
16.（15 分）如图 1，在矩形 ABCD中， AB 2,BC 2 3 ,连接 AC， DAC 沿 AC折
起到 PAC 的位置，如图 2，PB 10 .
（1）求证：平面PAC 平面ABC .
（2）若点M 是线段 PA 的中点，求 PC与平面MBC所成角的正弦值.
17.（15 分）在今年法国巴黎奥运会网球女子单打决赛中，中国选手郑钦文夺得金牌，这也
是中国选手获得的首枚奥运会网球女单金牌。网球相比于其他球类，有一套自己的计分规则,
计分系统分为分、局、盘三级，一般是三盘两胜制。
1.分——Point 代表一颗球之间的胜负，得 1 分计 15（即显示 15-0），得 2 分计 30，得 3
分计 40.
2.局——Game 每赢 1 颗球得 1 分，先赢 4 分者胜 1 局。双方各得 3 分(即显示 40-40)时为
平分（deuce），平分后一方需净胜两分为胜 1 局，此时局数加 1。每一局都是由其中一方发
球，称为该方的发球局，下一局换另一方发球。
3.盘——Set 一方先胜 6局且至少领先对手 2 局，则胜一盘。若局分为 6-5 时，领先方需
再赢一局即 7-5，才能赢得一盘。若局分为 6-6 时，需要通过 Tie-break（抢七）的方式决
出胜负，胜利方会显示以 7-6 的局分赢得该盘。在“抢七”中，双方轮流发球，先得 7 分（Point）
且领先对手 2 分（Point）者赢得该局即该盘。
每位球员在发球时都有两次机会，第一次发球称为一发，一发失误后进行的第二次发球称为
二发（一发失误对手不得分）。在一场网球比赛中，甲乙两球员进行激烈角逐。球员甲一发
2 4 3
成功率为 ，在一发成功的条件下一发得分率为 ，二发成功率为 ，在二发成功的条件
5 5 5
2
下二发得分率为 ，一发二发相互独立.
3
（1）求由球员甲发球时得 1 分的概率；
2
（2）已知球员乙发球得 1 分的概率为 ，该场比赛进行到决胜盘的“抢七”阶段，此时比
3
分为 6—6，下一球轮到甲发球，若球员甲希望在接下来的比赛中最多再打 4颗球便赢得该
23
场比赛的概率不低于 ，则他需要将自己的一发成功率提升至多少？
75
x2 y2
18.（17 分）已知椭圆 E: 2 2 1(a b 0)
3
,长轴长为 4，离心率为 .
a b 2
（1）求椭圆 E 的方程；
2 2 4
（2）如图，设T（x0 , y0）是椭圆 C 上一动点，由原点向圆C（: x x0 ) （y y0 ) 引5
两条切线，分别交椭圆于M、N，若直线OM、ON 的斜率存在，并分别记为 k1、k2 ，
（ⅰ）求证： k1 k2为定值；
1
（ⅱ）延长 NT S、OM 交于点 R ,若OM OR ,求 ORT 的值.
2 S ONT
y
R
T
M
N
O x
f (x) x 119.（17 分）已知函数
ln x
（1）判断并证明 f (x)的单调性；
（2）若数列 an 满足对 n N ， an 1 an ，则称 an 为递减数列，若满足对 n N
an 2 an 1 a
an 1 an
n 1 an ，则称 an 为差缩数列.已知数列 an 满足 e f (e )，且 a1 1
（ⅰ）判断 an 是否为递减数列？是否为差缩数列？并说明理由；
（ⅱ）设数列 an 的前 n项和为 Sn，证明 S2024 3.
{#{QQABLQSEgggIABBAARhCAw3CCkKQkhAACSgOgEAIoAABiRNABAA=}#}
成都七中 2024～2025 学年度(上)12月阶段性考试答案
一、单项选择题：
二、多项选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C D B B B C D BC ABD ACD
三、填空题
2 2
12. 2 13. y2 2(x 4) 14. a 2 或a e e
四、解答题：
a2cosC b
2 c2 2ab 2
15. （1）由余弦定理 ,且C （0， ）， （3 分）
2ab 2ab 2
3
所以C . （6 分）
4
（2）由正弦定理， c 2bcosB即sinC 2sin B cosB sin 2B
所以C 2B或C 2B ， （8 分）
C 3 3 当 2B时，C ，B ,此时B C ，不成立， （10 分）
4 8
C 2B 当 时，此时A B ,则a b 1, （12 分）
8
S 1 1 ABC ab sinC 1 1
2 2
. （13 分）
2 2 2 4
16. （1）过点 P、B分别向直线 AC作垂线，垂足分别为点O,E . （1 分）
因为 AB 2, BC 2 3,所以 AC 4, PO BE 3, OE 2, （2 分）
因为 PB PO OE EB,PO OE OE EB 0
2 2 2 2
所以 PB PO OE EB 2PO OE 2OE EB 2PO EB
2 2 2
PO OE EB 2PO EB
（4 分）
即10 3 4 3 2PO EB，
所以 PO EB 0，所以 PO EB （5 分）
因为 PO AC, AC BE E
所以 PO 平面ABC ,
因为 PO 平面PAC
所以平面PAC 平面ABC （7分）
（2）如图：以（1）中点O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz
则C(0, 1,0),B( 3,2,0),P(0,0, 3),M (0, 3 , 3 ) （9 分）
2 2
所以MB ( 3, 1 , 3 ),BC ( 3, 3,0) ,CP (0,1, 3)（11 分）
2 2
n MB 0 3x 1 3 y z 0
设平面MBC的法向量为n x, y, z （ ），则 ,即 2 2
n BC 0 3x 3y 0
y 2 40
所以 k1 k2 54 （8 分）x 20 5
x 22
又因为圆心C(x , y )在椭圆 E上，满足 y 1 00 0 0 （9分）4
1 x
2
0 4 1
所以 k 4 51 k2 4 （10 分）x 2 40 5
（ⅱ)法一：设M（x1, y1），N（x2 , y2），T（x0 , y0），令RT TN （11 分）
则OT OR (ON OT ) ,
整理得 (1 )OT ON OR OT ，即 ON 1 OR
1 1
1 2
又因为OM OR ,可得OT ON OM
2 1 1
2
即（x0 , y0） （x1, y1） （x2 , y2） （13 分）1 1
又T（x0 , y0）在椭圆 E 上
x 0 x
2
1 1
x
1 2
将 代入椭圆方程可得：
y 2
0
y y
1 1 1 2
1
（ x 2 2 2 2
4 1 1
x2） （ y1 y2） 1，整理得1 1 1
x 2 2 2 x 2 2 2 x x
（ ）2 ( 1 y1 ） （ ）
2 ( 2 y2 ) 2 ( 1 2 y y ) 1，（ ）1 4 1 4 1 1 4 1 2
（15 分）
y y 1 x x
由（ⅰ）知， k1 k 1 22 ，即 1 2 y y 0（1）x1 x2 4 4
1 2
x 2 21 y 2 x同时 1，21 y
2
2 1，（2），将（1）（2）式代入（ ）式得：4 4
2 4
1 3 S，解得： 所以 ORT
RT 3
. （17 分）
（1 ）2 2， S ONT TN 2
法二：OT OM ON ,代入坐标得（x0 , y0） （x1, y1） （x2 , y2） （11 分）
x0 x1 x2
即 ，代入椭圆方程：
y0 y1 y2
1
可得： （ x 21 x2） （ y1 y
2
4 2
） 1
2 2
2 ( x1 y 2 x x x 1 ）
2 ( 2 y 22 ) 2 ( 1 2 y1y2 ) 1，（ ） （13 分）4 4 4
k y y 1 x x由（ⅰ）知， 1 k 1 22 ，即 1 2 y y 0（1）x1 x2 4 4
1 2
x 21 y 2 x
2
同时 2 2 2 2
4 1
1， y2 1，（2），将（1）（2）式代入（ ）式得： 14
（15 分）
令 RT tTN ，即：OT OR t(ON OT )
1
，又因为OM OR
2
所以OT t ON 2 OM 2 2，由 1可得：
1 t 1 t
t 2 2 3 S RT 3（ ） （ ）2 1 ，解得 t 所以 ORT （17 分）
1 t 1 t 2 S ONT TN 2
19.解：（1）由已知定义域为（0,1） （1， ）
ln x x 1 1 ln x 1
f (x) x x （1 分）
（ln x）2 （ln x）2
令 h(x) ln x 1 1 h (x) 1 1 x 1 ，则
x x x2 x2
当 x （0,1）时， h (x) 0， h(x)单调递减，
当 x （1， ）时，h (x) 0，h(x)单调递增， （3 分）
所以 h(x) h(1) 0 ，即 f (x) 0 恒成立 （5 分）
所以 f (x)在 x （01）和x （1， ）上分别单调递增
（注：如果学生答在（0,1） （1， ）上单调递增亦可得分）
eanea 1（2） （ⅰ） 由已知 n 1 ， （6 分）
an
设 h(x) e x x 1 ，h (x) e x 1 ，x ( ,0)时，h (x) 0,h(x)单调递减，
x (0，, )时，h (x) 0,h(x)单调递增，所以 h(x) h(0) 0
x 0 e
x 1
故当 时， 1,
x
a ea1 1 e 1
又因为 a1 1，所以 e 2 1,则a2 0，同理 a3 0，...a 0a n1 1
（7 分）
设 g(x) e x 1 xe x，则 g (x) e x e x xex xex
当 x ( ,0)时，g (x) 0, g(x)单调递增，
当 x (0，, )时，g (x) 0, g(x)单调递减，
所以 g(x) g(0) 0，所以 xex e x 1 a，所以 a e nn e
an 1
eana 1 a
因为 a 0，所以 e n e n 1n ，所以 an an 1，故 an 为递减数列（8 分）an
又 a a ln(eann 1 n 1) ln an an , 设 an x, x (0,1],
设 F (x) ln(e x 1) ln x x, x （0,1]
e x 1 1 1
则 F (x) x 1 x 0，所以函数 F (x)单调递减，e 1 x e 1 x
随着 an减小，从而 an 1 an 增大，又因为 an 1 an 0 ，所以 an 1 an 减小
即 an 2 an 1 an 1 an 成立，从而 an 是差缩数列 （11 分）
2
（ⅱ）由（ⅰ）得0 an 1 an 1.下证 an 1 a3 n
eanln 1 2 e
an 1 2an a
即证 an ，即证 e 3 ，令 x e n，x (1,e]an 3 an
x 1 2 1 2
即证 x 3，亦即证 x 3 x 3 ln x 0， （13 分）
ln x
1 2

令H (x) x 3 x 3 ln x 0，1 x e
则H (x) 1 (1 1 )(3 x 2 2),
3x 3 x 3 x
1
因为1 x e ，所以1 0, 3 x 2 2 3 x 2 0
3 x 3 x
即H (x) 1 1 2 (1 )(3 x 2) 0,
3x 3 x 3 x
所以H (x)在x (1,e]单调递减，
H (x) 2 H (1) 0 a a ，n N 所以 成立，所以 n 1 n （15 分）3
2 2 1 (
2
)2024
S a a 2023 3 2 20242024 1 3 1
... （ ） a1 3[1 ( ) ] 3，证毕. （17 分）3 1 2 3
3

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