资源简介

2024～2025学年度第一学期九年级12月份考试
数学试题
本试题分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷共3页，为选择题，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答案写在试卷上无效．满分为40分；
第II卷共5页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将学校、姓名、准考证号填写在试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（　　）
A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴
3．平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（　　）
A．B． C． D．
4．为了缅怀革命先烈，清明节假期强强从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．若点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosA＝ D．tanB＝
7．如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　）
A．37° B．74° C．53° D．63°
8.《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为10cm，像距为18cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm．
A． B．4 C． D．5
第6题 第7题 第8题 第9题
9.如图所示，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线EF，分别交AC、AB于点P、Q，则D、P两点之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
10．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（其中x是自变量），当0≤x≤3时对应的函数值y均为正数，则a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a＜0 B．a＞3
C．a＜﹣1或a＞3 D．﹣1＜a＜0或0＜a＜3
第II卷（非选择题共110分）
注意事项：
1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题:（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11.在一个不透明的袋中装有个红、紫两种颜色的球，除颜色外其他都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到紫球的频率稳定在左右，则袋中紫球大约有 个．
12.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ．
13.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是y1和y2，设点M在y1上，MA⊥x轴于点A，交y2于点N，若△MON的面积为1，则k的值为　 　．
14.如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，圆的半径为1，则图中阴影部分的面积为　 　．
第13题 第14题 第15题
15.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，P为DF的中点，连接PB，则线段PB的最小值为 　 　．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．（本小题满分7分）
17．（本小题满分7分）
如图，在菱形中，点E，F分别在边上，．
求证：．
18．（本小题满分7分）
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是 ．
（2）以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是 ．
（3）的面积是 ．
19．（本小题满分8分）
如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝10，，求⊙O的半径．
20．（本小题满分8分）
如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长60m的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为x m，面积为S m2．
（1）S与x之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）；
（2）求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；
（3）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
21．（本小题满分9分）
为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
22．（本小题满分10分）
如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF．
（1）当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1m）；
（2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度（结果精确到0.1m）．
（参考数据：）
23．（本小题满分10分）
探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y＝的图象并探究该函数的性质．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣3 ﹣6 a b …
（1）列表，写出表中a，b的值：a＝　 　，b＝　 　；
观察表格中数据的特征，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确，在横线上打“√”或“×”
①函数y＝的图象关于y轴对称． 　 　
②当x＝0时，函数y＝有最小值，最小值为﹣6． 　 　
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． 　 　
④函数y＝的图象不经过第一、二象限． 　 　
（3）若将横、纵坐标都为整数的点称为整点，直接写出直线y＝a与函数y＝围成的封闭图形的内部恰有六个整点时，a的取值范围．
24．（本小题满分12分）
如图，抛物线过点轴上的和点，交轴于点，点是该抛物线上第一象限内的一动点，且．
（1）抛物线的解析式为：　　 ；
（2）过点作轴交直线于点，求点在运动的过程中线段长度的最大值；
（3）若，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（本小题满分12分）
如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．
（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是　 　；
（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）
（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．参考答案及评分标准
一、选择题
ACDBB BCACD
二、填空题
11．45 12. 2 13．8 14． 15．
16．1-2+2+3-4·······5分
=0 ·······7分
17.证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，········4分
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），········6分
∴BE＝DF． ········7分
18．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．········2分
（2，﹣2）． ········3分
（2）如图，△A2B2C2即为所求．········5分
（1，0）． ········6分
（3）10． ········7分
19.（1）证明：连接OC，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴OC⊥DC， ········1分
又∵AE⊥DC，垂足为E，
∴OC∥AE， ········2分
∴∠EAC＝∠ACO，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，········3分
∴∠EAC＝∠OAC，
∴AC平分∠BAE；········4分
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，· ·······5分
又∵AE⊥DC，
由（1）得：∠EAC＝∠OAC，
∴∠ABC＝∠ACE， ········6分
在Rt△ABC中，，
∴，
∴， ········7分
在Rt△ABC中，，
∵AB是直径，∴半径，即⊙O的半径为．········8分
20.解：（1）二次； ········2分
S＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x， ········4分
∵0＜60﹣2x≤25，
∴， ········5分
∴；
（3）由（1）知，S＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450， ········6分
∵﹣2＜0，内y随x的增大而减小
∴当时，S有最大值，最大值为﹣2（17.5﹣15）2+450＝437.5，········8分
21．解：（1）100． ········2分
选择“足球”的人数为35%×100＝35（名）．
补全条形统计图如下： ········4分
（2）36°． ········6分
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种， ········8分
∴甲和乙同学同时被选中的概率为． ········9分
22．解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，
∴∠AGO＝90°，
由题意得：AC∥OD，
∴∠DOG＝∠AGO＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOG＝∠AOD﹣∠DOG＝30°，·······2分
∵O为AB的中点，
∴OAAB＝3（米）， ·······3分
在Rt△AOG中，
∴AGAO＝1.5（米），OGAG＝1.52.6（米），
∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6米；·······4分
（2）设OG交A1C1于点H，
由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1＝OA＝3米，
∴∠A1＝180°﹣∠A1OD＝180°﹣143°＝37°，·······6分
在RtΔOA1H中，A1H＝OA1 cos37°＝3×0.8≈2.4（米），
∵AG＝1.5米， ······8分
∴A1H﹣AG＝2.4﹣1.5＝0.9（米），
∴点A上升的高度约为0.9米．······10分
23．（1）﹣3，；········2分
描点、连线，在画出该函数的图象如下：········4分
（2）√，√，×，√．········8分
（3）﹣2＜a≤﹣1．········10分
24．（1）把点A的坐标（﹣6，0）代入抛物线y＝ax2+4ax﹣3，
得36a﹣24a﹣3＝0，求出a，
∴抛物线的函数表达式为y； ········3分
（2）①如图1，过点D作DN⊥AB于点N，
∵DN∥OE，
∴，
∴ON＝2OB＝4，
∴点D的坐标为（﹣4，﹣3）， ········4分
设直线DB的函数关系式为y＝kx+b，
把D（﹣4，﹣3）和点B（2，0）代入得，
∴k，b＝﹣1，
∴DB的函数关系式为y， ········5分
∵点P的坐标为（m， ），
∴点M的坐标为（m， ），
∴PH＝﹣（ ），MH＝﹣（ ），
∵CM将△CHP的面积分为1：2两部分，
∴或，
∴PH＝3HM或PHHM，
∴﹣（ ）＝﹣3（ ）或﹣（ ）（ ），
解得m＝0或2（都不合题意舍去），m＝﹣3或2（2不合题意舍去）， ········7分
∴点P的坐标为（﹣3，）； ········8分
②分两种情况，
第一种情形，如图2，将点D绕点B顺时针旋转45°得D′，DD′与直线PH交于点Q，
构造K型全等△BD′R≌△DBS，
∴RD′＝BS＝3，RB＝DS＝6，
∴点D′的坐标（﹣1，6），
设DD′的函数关系式为y＝kx+b，
把D（﹣4，﹣3）和D′（﹣1，6）两点坐标代入
得，
求得k＝3，b＝9，
∴直线DD′的函数关系式为y＝3x+9，
∵点Q的横坐标为﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，3）； ········10分
第二种情形，如图3，将点D绕点B逆时针旋转45°得D′，DD′与直线PH交于点Q，
构造K型全等△BD′S≌△DBR，
∴RD＝BS＝3，RB＝D′S＝6，
∴点D′的坐标（5，﹣6），
设DD′的函数关系式为y＝kx+b，
把D（﹣4，﹣3）和D′（5，﹣6）两点坐标代入
得，
求得k，b，
∴直线DD′的函数关系式为yx，
∵点Q的横坐标为﹣2，
∴点Q的坐标为（﹣2，）． ········12分
综上所述：点Q的坐标为（﹣2，）或（﹣2，3）．
26.（1）AF＝AE． ·······2分
（2）AF＝kAE． ········3分
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，
∴∠FAD+∠FAB＝90°，
∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB+∠FAB＝90°，
∴∠EAB＝∠FAD，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABE＝∠ADF．········4分
∴△ABE∽△ADF，········5分
∴，
∵AD＝kAB，
∴，
∴，
∴AF＝kAE．········6分
（3）解：①如图1，当点F在线段DC上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AD＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴CD＝2，
∵CF＝1，
∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF，
∵DF∥AB，
∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，
∴△GDF∽△GBA，
∴，
∵AF＝GF+AG，
∴AG．
∵△ABE∽△ADF，∴，
∴AE．
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG， ········9分
②如图2，当点F在线段DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，
在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，
∴AF5．
∵DF∥AB，
∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，
∴△AGB∽△FGD，
∴，
∵GF+AG＝AF＝5，
∴AG＝2，
∵△ABE∽△ADF，
∴，
∴AE，
在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，
∴EG． ········12分
综上所述，EG的长为或．

展开更多......

收起↑