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2024—2025学年上学期第二次自测试题
九年级数学
（满分160分，120分钟完卷）
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．9的算术平方根是（ ）
A．3 　B． 　 C． 　　 D．81
2．2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会在北京天安门广场隆重举行，参加阅兵仪式、群众游行和联欢活动的总人数达200000人，将200000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体中，主视图和俯视图都是长方形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列调查统计中，最适合采用普查方式的是（ ）
A．调查一批圆珠笔芯的使用寿命
B．调查全国中学生的节水意识
C．调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品
D．调查市民对新型冠状病毒的了解程度
5．如图，三角板的直角顶点放在直尺的一边BC上（AD∥BC），若∠1=25°，则∠2的度数为（　　）
A．65° B．25° C．60° D．55°
6．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
7．菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．四条边相等 D．对角线相等
8．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知等腰三角形的底边长为8，腰长是一元二次方程的一根，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．16 B．19 C．22 D．16或22
10．如图是拦水坝的横断面，坝高BC为6米，斜坡AB的坡度为1:2，则斜坡AB的长为（ ）
A．12米 　B．米 　 C．米 　　 D．米
11．在下列函数图象上任取不同两点、，一定能使成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，连结AC、CP，AC与BF相交于点H，有下列5个结论：①AE=2CF；②△CFP∽△APH；③△CFP∽△ACP；④；⑤. 其中错误结论的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13．在⊙O中，一条弧所对的圆周角是40°，则这条弧所对的圆心角是______ ．
14．分解因式：___________________．
15．一组数据3，4，5，7，的平均数是5，则这组数据的方差是__________．
16．如图，点A、C在反比例函数（，）的图象上，AB⊥轴于点B，交OC于点D，若CD=3OD，则△BCD与△AOD的面积比为___________．
三、解答题(本大题共5小题，共44分)
17．（8分）
计算：
18．（8分）如图，在□ABCD中， E、F是对角线BD上的点，BF=DE.
求证：AF = CE.
19．（9分）为了传承中华民族优秀传统文化，我县某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成图1的扇形统计图和图2的条形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题：
（1）参加比赛的学生共有_______人，并补全图2的条形统计图；
（2）在图1的扇形统计图中，B等级对应扇形的圆心角为______度，C等级对应扇形所占百分比为______%；
（3）已知A等级学生中有1名男生，组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，随机抽取2人参加全县汉字听写大赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
20．（8分）如图，A、B两市相距150km，且B市位于A市的正东方向，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进经济发展，有关部门计划沿直线AB修建连接A、B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：，）
21．（11分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，连结AO．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）利用函数图象求关于的不等式的解集；
（3）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点C的坐标．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分. 请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上.）
22．已知，则_________.
23．关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是______.
24．已知二次函数()的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（为实数，且）. 其中正确结论有___________（填序号）．
24题 25题
25．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为射线BA上一动点，以BE为直径的圆与CE相交于点H，则DH长度的最小值为______ ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26．为加快“智慧校园”建设，我县准备为学校采购一批A、B两种型号的一体机. 经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）我县明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么我县明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
27．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连结OC交DE于点F，若OF=CF，求的值．
28．如图，直线交轴于点A，交轴于点B，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3，0）.
（1）求抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上存在一点P，使四边形ABPC的面积最大，请求出点P的坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是直角三角形？若存在，求出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由.
备用图
九年级数学参考答案及评分意见
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1．A 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．A 12．B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．80° 14． 15．2 16．1:5
三、解答题(本大题共5小题，共44分)
17.解：
…………………………………………… 4分
…………………………………………… 6分
. …………………………………………… 8分
18．证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD=CB . ……………………………………… 2分
∴ ∠ADF=∠CBE. ……………………………………… 3分
∵ DE=BF，
∴ DE -EF=BF–EF，即DF=BE. …………………………………………… 4分
在△ADF和△CBE中，
∵ ,
∴ △ADF≌△CBE. …………………………………………………… 7分
∴ AF=CE. …………………………………………………………… 8分
19．（1）25； ………………………………………………… 1分
D等人数为：25-4-10-8=3（人）
补全条形统计图如图所示：
………………………………… 3分
（2）144，32 …………………………… 5分
（3）画树状图如下：
…………………………… 7分
共12种等可能的结果，其中恰好抽到1个男生和1个女生的结果有6种，
∴ 恰好抽到1个男生和1个女生的概率为： P==. ……………………… 9分
20.解：高速公路AB不穿过风景区．
过点C作CH⊥AB于点H，根据题可知：∠CAH=30°，∠CBH=45°. …………… 1分
在Rt△CBH中，∵ ，
∴ BH=CH． …………………………………………………… 3分
在Rt△CAH中，∵ ，
∴ ． …………………………………………………… 5分
又∵ AH+BH=AB=150，
∴ .
解得 . …………………………………………………… 7分
∵ ，
∴ 高速公路AB不穿过风景区． ……………………………………………… 8分
21.解：（1）∵ 反比例函数的图象经过点，
∴.
∴ 反比例函数的解析式为. ……………………………… 2分
∵ 反比例函数的图象经过点，
∴ ， ∴ . ……………………………… 3分
∵ 一次函数的图象经过和，
∴ ，
解得 .
∴ 一次函数的解析式为. ……………………………… 5分
（2）由函数图象可知：关于的不等式的解集是或.
……………………………… 7分
（3）符合条件的点C坐标有、、、）.…………… 11分
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）
22．1 23． 24．①③⑤ 25．2
24题解析：由开口向下知，由对称轴知，得，由抛物线与轴交点知，，故，①对；当时，，得，故②错；由对称性知，当时，，故③对；由可得，代入，得，可得，故④错；当时，有最大值为，当时，，所以，可得，故⑤对.
25题解析：取BC中点M，连结BH、MH、DM，则∠BHC=∠BHE=90°，所以，在Rt△CMD中，由勾股定理可得DM=5. 当点H不在DM上时，由三角形三边关系知，当点H 在DM上时，，故当点H在DM上时，DH长度最小，最小值为DM -MH=5 -3=2.
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．）
26.解：（1）设今年每套A型一体机的价格是万元，每套B型一体机的价格是万元，由题意得 ， …………………………………2分
解得 . …………………………………4分
答：今年每套A型一体机的价格是1.2万元，每套B型一体机的价格是1.8万元.
…………………………………5分
（2）设我县明年购买A型一体机套，则购买B型一体机（）套，由题意得
， …………………………………7分
解得 . ………………………………… 8分
设我县明年需要投入W万元，则
，
即 . …………………………………10分
∵ 在中，，
∴ W随的增大而减小，
又∵ ，
∴ 当时，W有最小值，最小值是（万元）.
∴ 我县明年至少需要投入1800万元才能完成采购计划. …………………………12分
27.（1）证明：连结OD、OE. ………………………………1分
∵ E是BC的中点，O是AB的中点，
∴ OE∥AC.
∴ ∠DOE=∠ODA，∠BOE=∠A. …………………………………………2分
∵ OD= OA，
∴ ∠ODA=∠A，
∴ ∠DOE=∠BOE. …………………………………………3分
在△ODE和△OBE中，
∵ ,
∴ △ODE≌△OBE. …………………………………………4分
∴ ∠ODE=∠ABC.
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠ODE=90°. …………………………………………5分
∴ DE⊥OD.
∴ 直线DE是⊙O的切线. ………………………………………………6分
（2）解：作OH⊥AC于点H. …………………………………7分
∵ E是BC的中点，O是AB的中点，
∴ OE∥AC，.
∴ △OEF∽△CDF，AC=2OE. …………………………………8分
∴ ,
又∵ OF=CF，
∴ CD=OE.
又∵ AC=2OE，
∴ AD=CD=OE. …………………………………9分
又∵ OA=OB,
∴ OD∥BC.
∴ ∠AOD=∠ABC=90°. …………………………………10分
又∵ OA=OD, OH⊥AC，
∴ ∠ODA=∠A=∠DOH=∠AOH=45°，
∴ DH=AH=OH. …………………………………11分
∴ CD=AD=2OH.
∴ CH=CD+DH=3OH.
在Rt△COH中，.
∴ 的值为. …………………………………12分
28.解：（1）∵ 直线交轴于点A，交轴于点B，
∴ ，. …………………………………1分
∵ 抛物线过、、三点,
∴ ， …………………………………2分
解得 . …………………………………3分
∴ 抛物线的函数解析式为. ……………………………………4分
（2）过点P作PD⊥轴于点D，连结PB、PO、PC. 设点P的横坐标为，则，，∴ ，.
∵ 、、，∴ OA=1，OB=OC=3. ………………………5分
∴
. ……………………………………………7分
∵ .
∴ 当时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为，此时点P坐标为（，）.
……………………………………………8分
（3）存在.
∵ ，
∴ 抛物线的对称轴为直线.
设抛物线的对称轴与轴交于点E，则E（1，0），∴ AE=2. ……………………9分
①若∠BAM=90°，则∠EAM+∠OAB=90°，又∵∠ABO+∠OAB=90°，∴∠EAM=∠ABO. 又∵∠AEM=∠AOB=90°，∴△AEM∽△BOA，∴，即，∴， ∴. …………………………………………10分
②若∠ABM=90°，过点B作BF⊥直线于点F，则F(1，3)，BF=1.∵∠MBF+∠OBM =∠ABO +∠OBM=90°，∴∠MBF=∠ABO. 又∵∠BFM=∠AOB =90°，∴△BFM∽△BOA，∴，即，∴，又∵F(1，3)，∴. …………11分
③若∠AMB=90°，设，则，， ∵∠AME+∠BMF=90°，∠AME+∠MAE=90°，∴∠BMF=∠MAE. 又∵∠BFM=∠MEA=90°，∴△BFM∽△MEA， ∴，即，解得，∴或.
综上，存在点M，使△ABM是直角三角形，符合条件的点M有4个：，，，. …………………………………………12分

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