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2024-2025学年上期九年级学情调查数学试题
（全卷共四个答题，满分150分，考试时间120分钟）
参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1. 在下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. 0 C. D. 1
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在中，，，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
4. 若点在某一反比例函数的图象上，则下列各点也在该反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（ ）
A. B. C. D.
6. 下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第①个“山”字中有7颗棋子，第②个“山”字中有12颗棋子，第③个“山”字中有17颗棋子，…，按照此规律，第⑥个“山”字中棋子颗数为（ ）颗．
A. 32 B. 37 C. 22 D. 42
7. 设，则实数的值应在（ ）
A 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1），，；（2）；（3）；（4）若点，点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 如图，点E为正方形对角线上的一点，连接，过点E作交于点F，交对角线于点G，且点G为的中点，若正方形的边长为，则的长为（ ）．
A. 2 B. 3 C. D.
10. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“H运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“H运算”，得．下列说法：①对m，进行“H运算”的结果是3，则m的值是2；②对，，5进行“H运算”的结果是16，则n的取值范围是；③对a，a，b，c进行“H运算”，化简后的结果可能存在8种不同的表达式．其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11. 计算：_______．
12. 二次函数的顶点坐标是_____．
13. 某种茶叶价格两次下降，每次下降的百分率相同，原来每袋125元，现在每袋80元，则每次下降的百分率是_________．
14. 在一只不透明的袋中，装着标有数字，，，的质地、大小均相同的小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于时小明获胜，反之小东获胜．则小东获胜的概率_______．
15. 如图，的顶点A在函数的图象上，，过边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交于点P、Q．若四边形的面积为3，则k的值为_______．
16. 若整数使得关于的不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的的值之和为_______．
17. 已知正方形的边长为，，和相交于点，连接，点是线段的中点，连接，若，则__________．
18. 如果一个四位自然数，其千位数字等于百位数字加十位数字的和，个位数字等于百位数字减十位数字的差，则我们称这样的四位数为“幸福数”．例如：自然数，因为，，所以5413是“幸福数”．最小的“幸福数”是______；若一个“幸福数”的后三位数字所表示的数与千位数字的7倍之差能被13整除，则满足条件的“幸福数”中，最大的一个是______．
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上，
19. （1）解一元二次方程：
（2）计算：
20. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息：
七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81；
八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94；
七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 90 90
八年级 90 96
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请填空：______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？
21. 如图，在四边中，，是对角线．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：∵垂直平分
∴①______，
∵
∴②______
∵在和中
∴，∵
∴四边形BFDE为平行四边形
∵④______
∴四边形BFDE为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形）
在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．
22. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台．
（1）求A，B两款电器每台的售价；
（2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？
23. 如图，正方形是边长为4，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，两动点同时出发，设运动时间为秒，的面积为．
（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出的面积为时的值．
24. 在公园里，同一平面内的五处景点的道路分布如图所示，经测量，点均在点的正北方向且米，点在点的正西方向，且米，点在点A的南偏东方向且米，点在点A的东北方向．（参考数据：）
（1）求道路的长度（结果保留根号）；
（2）若甲从A点出发沿的路径去点，与此同时乙从点出发，沿的路径去点，在两人速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位）
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标；
（3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件的点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程．
26. 是等边三角形，点D为线段上任意一点，连接，E为直线上一点，
（1）如图1，当点D为中点时，点E在边上，连接，若，，求的长；
（2）如图2，若点E为延长线上一点，且，点F为延长线一点，且，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，当的值最小时，直接写出的面积．
2024-2025学年上期九年级学情调查数学试题 简要答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】A
二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
【11题答案】
【答案】##
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】##
【18题答案】
【答案】 ① 1101 ②.
三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上，
【19题答案】
【答案】（1），
（2）
【20题答案】
【答案】（1），，
（2）八年级学生竞赛成绩更好，理由略
（3）780人
【21题答案】
【答案】（1）略 （2），，，，得到四边形是菱形
【22题答案】
【答案】（1）A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元
（2）每台A款电器应降价40元
【23题答案】
【答案】（1）
（2）
画图略，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大
（3）或
【24题答案】
【答案】（1）道路的长度约为米
（2）乙先到达点E
【25题答案】
【答案】（1）
（2）有最大值，此时
（3）或
【26题答案】
【答案】（1）
（2），略
（3）

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