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2024-2025学年辽宁省名校联盟高三（上）月考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则的值是( )
A. B. C. D.
2.对于非零向量，，是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
5.函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，，是三个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. ，，，则三条交线，，的交点个数为或
7.已知椭圆：上一点到左焦点的距离为，为坐标原点，若点满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，下列选项能正确表示数列，，，，，，的公式有( )
A. B. ，
C. D.
10.已知函数，下列说法正确的有( )
A. 对，函数
B. 若函数与的图象关于直线对称，则
C. 对，函数
D. 若，则
11.如图，曲线称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则( )
A. 若，点在曲线上
B. 若，曲线的方程为
C. 若，曲线上点的纵坐标的最大值为
D. 若点在上，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为______．
13.九章算术第五章“商功”问题十七：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何？大意是：今有墓道如图，平面平面，下宽长尺，上宽长丈丈尺，深与距离尺，末端宽长尺，无深，长与距离尺它的体积是______立方尺注羡除：墓道，此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为三角形的五面体．
14.表示函数当自变量时的最大值，表示函数当自变量时的最小值，已知函数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中．
若曲线在点处与轴相切，求的值；
若是函数的极小值点，求的值．
16.本小题分
如图，在四边形中，，且，．
求的面积；
若，求的长．
17.本小题分
已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为．
求椭圆的方程；
当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱台中，平面，平面，，．
求证：；
求平面与平面所成角的正弦值；
求点关于平面的对称点到平面的距离．
19.本小题分
如图，已知点列与满足，且，其中，．
求与的关系式；
证明：．
参考答案
1.
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4.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为的定义域为，
所以，
因为曲线在点处与轴相切，
所以，所以，
则，解得：．
因为的定义域为，
所以，
若，则，
令，可得：或，
令，可得：，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以在处取的极小值，所以；
若，则，
令，可得：，令，可得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取的极小值，所以，不符合题意；
若，则在上单调递增，无极小值．
综上：．
16.解：因为，且，
所以，
即，
因为，所以，
即，所以，所以，
所以；
因为，所以，
由知，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
因为，，
所以满足题意的三角形有两个，
即或．
17.解：因为椭圆的长轴长为，
所以，
解得，
当直线经过原点时，
设，
此时，
所以，
即，
因为，
所以
，
解得，
则椭圆的方程为；
当直线的斜率不存在时，
设，，
此时
，
解得，
此时直线的方程为；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
，
因为，
所以，
因为，，
所以，
整理得，
解得或，
当时，直线的方程为，
此时直线恒过定点，不符合题意；
当时，直线的方程为，
此时直线恒过定点．
综上所述，直线恒过定点．
18.解：证明：连接，因为，
所以，，，四点共面，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
又，
所以四边形是平行四边形，
所以．
由知，，连接，
又，所以棱台底面是底角为的等腰梯形，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
，，
则，
令，则，
因为，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
设点关于平面的对称点为，
，，，
因为平面，
所以
又设的中点为，
因为在平面上，
所以有，得，
由可得，，
由知平面的法向量为，
所以，
所以点关于平面的对称点到平面的距离为．
19.解：由，，
得，
又，所以，
将代入得，
即；
证明：由知，
由，得，
又，
所以，
因为，
所以，
，
当时，，不等式成立；
当时，，
，
所以，不等式成立，
综上，．
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