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2024-2025 学年安徽省“皖南八校”高三上学期第二次联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是虚数单位，复数 满足(2 ) = 3 ，那么 的虚部是( )
1 7 7 1
A. B. C. D.
5 5 5 5
13
2.已知集合 = { | 2 8 20 < 0}， = { | ≤ 0}，则( ) ∩ =( ) 3
A. [ 2,3] B. ( 2,3] C. ( 2,3) D. ( 2,13]
3.已知样本数据 1， 2， 3， 4的平均数是4，方差为2，现样本加入新数据3，4，5，则加入数据后新样本
的方差是( )
10 5 4
A. B. 4 C. D.
7 2 7
4.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形 ，其
中 = 2，则 ( + ) =( )
A. 4 B. 4√ 2 C. 8 D. 8√ 2
5.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)，点 (4,4)在抛物线上，点 (0,3)，若 点是抛物线上的动点，则| |的最小
值为( )
A. 8 B. 2√ 2 C. 9 D. 3
6.已知函数 ( ) = (ln + )的图象与 轴相切，则 的值为( )
1 1
A. B. C. D.

7.已知正方体 ′ ′ ′ ′的棱长为4， ′是正方体的一条体对角线， 为正方体表面上的动点，若
′ = 6，则点 的轨迹曲线长度总和为( )
A. 2 B. 12 C. 12√ 2 D. 12√ 3
8.若关于 的方程(cos2 sin + 2) cos = 0( > 0)在[0,2 ]上有且仅有3个解，则 的取值范围为( )
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3 5 5 7 5 3 3 7 3 5
A. [ , ) B. [ , ) C. [ , ) ∪ ( , ) D. [ , 1) ∪ (1, )
4 4 4 4 4 2 2 4 4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1 3 5
9.已知随机变量 X 服从正态分布 X~N(2, ),P( < X< )=m,P(1< X<3)=n,则以下选项正确的是（）
4 2 2
1
A. D(X)= B. 若 Y=3X+1,则 E(Y)=7
4
1 3 +
C. 若 Y=2X+1,则 D(Y)= D. P( < X<3)=
2 2 2

10.已知圆锥顶点为 ， 为底面圆心，轴截面 是边长为2的等边三角形， 为底面圆周上一点，且∠ = ，
6
则下面选项中正确的是( )
√ 3
A. 圆锥体积等于
3
B. 圆锥 的外接球与内切球的半径比为2: 1
C. ⊥平面
D. 二面角 的正切值为2√ 3
2
2 2
11.如图，类似“心形”的曲线 ，可以看成由上部分曲线 1: = √ + 2| |，下部分曲线 2: 2 + 2 =
1( ≤ 0)构成，过曲线 2的焦点 (0, 1)的直线 与曲线 2交于 ， 两点， ( , )是“心形”曲线 上的动
点，下列说法正确的是( )
2 2
A. 2的方程为 + = 1( ≤ 0) 5 4
B. 2 + ( 1)2的最大值为1 + √ 5
C. 直线 = + 与曲线 有4个交点，则 的取值范围为(0,√ 2 1)
D. △ 面积的最大值为√ 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知锐角 ， 满足tan + tan 2√ 2tan tan = 2√ 2，则cos( + ) = ．
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1
13.设函数 ( ) = + ，则不等式 (log2 ) + (log1 ) ≤ 2( + )的解集是 ．
2
14.现有一盒子里装有序号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小、质地完全相同的小球，甲、乙、丙三人依
次有放回地从盒子里各随机抽取一次(每个球被抽取的可能性相同)，记录被抽取的球的序号分别为 1， 2，
3，则满足| 1 2| + | 2 3| + | 3 1| = 6的情况有 种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1， 1 1均为正方形，∠ = 90
， 1 与 1交于 点，
为 的中点．
(1)求证： 1 ⊥平面 1 1 ;
(2)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知cos2 + cos2 cos2 = 1 sin sinB.
(1)求角 的大小;
√ 3
(2)若点 是边 中点，且 sin∠ + sin∠ = ，求△ 面积的最大值．
2
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，已知 为坐标原点，动点 到 轴的距离为 ，且| |2 = + 2( , ∈ )，动点 的
轨迹称为( , )曲线．
(1)已知(4, )曲线为双曲线，求 的取值范围;
(2)设曲线 为(4,5)曲线，其焦点为 1， 2，直线 : = + 2( > 0)上有且仅有1个点 ，使得|| 1| | 2|| =
4，求直线 的方程和对应的点 的坐标．
18.(本小题17分)
设函数 ( ) = + sin ．
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(1)当 = 0时，求 ( )在 = 0处的切线方程;
(2)当 = 2时，求 ( )的单调性;
(3)若 [ ( ) ( )] ≥ 0恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
已知 ( ≥ 3)项数列{ }满足：当1 ≤ < ≤ 时， < 且 + 的所有不同值有 个，并按照从小到大
排列构成伴随数列{ }，记 ( ) = ， = 1 + 2 + + ．
(1)若 = 4， = 2
，求 (4)的值和 ;
(2)若 = 5， (5) = 7，求证：{ }为等差数列;
(3)若 = 100， 2025 = + ( < )，求 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】ABD
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
3
1
13.【答案】[ , 2]
2
14.【答案】54
15.【答案】【解答】
(1)证明：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，设 = 2，则 (0,0,0)， 1(0,2,2)， (0,2,0)， 1(2,0,2)，
1(0,0,2)，则 1 = (0, 2, 2)， = ( 2,0,0)， = (0, 2,2)，因为 = 0， 1 1 1 1 1 1 1 1 = 0，
所以 ⊥ ， 1 1 1 1 ⊥ 1，即 1 ⊥ 1 1， 1 ⊥ 1，又因为 1 1 ∩ 1 = 1，且 1 1， 1 平面 1 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 1 ；
(2)解：因为 (0,1,1)， (1,1,0)，因此 1 = ( 2,1, 1)， = ( 1,0,1)， = (0, 2,0)，设平面 1 的
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1 = 2 + = 0一个法向量为 = ( , , )，{ ，令 = 1，则 = (1,3,1)，设直线 与平面 1 所
= + = 0
| · | | 6| 3 3√ 11
成角为 ，所以sin = |cos < , > | = = = = ．
| || | 2×√ 11 √ 11 11
16.【答案】解：(1)cos2 + cos2 cos2 = 1 sin sin ，
即sin2 sin2 sin2 = sin sin ，
由正弦定理，得 2 2 2 = ，即 2 + 2 2 = ，
2
+ 2 2 1
所以cos = = ，
2 2
因为 ∈ (0, )，

所以 = ．
3
(2)因为 △ = △ + △ ，
1 √ 3 1 1
即 × = sin∠ + sin∠ ，
2 2 2 2
所以 = 1，
1 1
由 = ，所以 = + ，
2 2
2 2 2
所以4 = ( + )2 = + 2 + ，
则4 = 2 + 2 + ≥ 3 ，
4 2√ 3
所以 ≤ ，当且仅当 = = 时，等号成立，
3 3
1 1 4 √ 3 √ 3 √ 3
所以 △ = sin ≤ × × = .即△ 面积的最大值为 ． 2 3 2 3 2 3 3
17.【答案】解：(1)设 点的坐标为( , )，由 2 + 2 = 4 + 2，得 2 + (1 ) 2 = 4．
因为(4, )曲线为双曲线，
所以1 < 0，则 > 1，
故 的取值范围为(1,+∞).
(2)
(1)中(4, )曲线方程为 2 + (1 ) 2 = 4，
则(4,5)曲线的方程为 2 + (1 5) 2 = 4，
2
即为双曲线 的标准方程 2 = 1，
4
2
由题意，知直线 : = + 2( > 0)与双曲线 : 2 = 1只有一个交点 ，
4
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2
联立方程组{
2 = 1,
4 得(1 4 2) 2 16 20 = 0，
= + 2,
已知 > 0，
1
①当 = 时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点，
2
1 5 3 5 3
当 = 时，解得 = ， = ，所以 ( , )，此时， 的方程为 2 + 4 = 0．
2 2 4 2 4
1
②当 ≠ 时，直线与双曲线相切，
2
√ 5 √ 5
所以△= ( 16 )2 4 (1 4 2) ( 20) = 0，解得 = ( = 舍去)，
2 2
√ 5 1 1
当 = 时，解得 = √ 5， = ，所以 ( √ 5, )，此时 的方程为√ 5 2 + 4 = 0
2 2 2
5 3
综上所述，直线 方程为 2 + 4 = 0时， ( , );
2 4
1
直线 方程为√ 5 2 + 4 = 0时， ( √ 5, ).
2
18.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = + sin ，
所以 ′( ) = + cos ， ′(0) = 2， (0) = 1，
所以 ( )在 = 0处的切线方程为 1 = 2 ，即2 + 1 = 0．
(2)当 = 2时， ( ) = + sin 2 ，
所以 ′( ) = + cos 2，
当 ≤ 0时， ′( ) = + cos 2 ≤ 1 + 1 2 = 0，所以 ( )在( ∞, 0)上单调递减;
当 ≥ 0时，令 ( ) = + cos 2，得 ′( ) = sin ，因为 ≥ 0，得 ≥ 1，sin ≤ 1，
所以 ′( ) = sin ≥ 0，故 ( ) = ′( ) = + cos 2在[0,+∞)上单调递增，
所以 ′( ) ≥ ′(0) = 0，
所以 ( ) = + sin 2 在[0,+∞)上单调递增．
综上， ( )在( ∞,0)上单调递减，在[0,+∞)上单调递增．
(3)由题得 ( ) = sin + ， [ ( ) ( )] ≥ 0，
得 ( + 2sin 2 ) ≥ 0恒成立，
令 ( ) = + 2sin 2 ，则 ( ) = 2sin + 2 = ( )，
所以 ( )为奇函数，
所以证明当 ≥ 0时， + 2sin 2 ≥ 0恒成立即可．
显然， (0) = 0，要使 ≥ 0时， + 2sin 2 ≥ 0恒成立，
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则 ′(0) ≥ 0，又 ′( ) = + + 2cos 2 ，
所以 ′(0) = 0 + 0 + 2cos0 2 ≥ 0 ≤ 2，
验证，当 ≤ 2时，对任意 ≥ 0， + 2sin 2 ≥ 0.
令 ( ) = + + 2cos 2 ，则 ′( ) = 2sin ，
令 ( ) = 2sin ，则 ′( ) = + 2cos ≥ 2√ 2cos = 2 2cos ≥ 0，
故 H( ) = 2sin 在[0,+∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ (0) = 0 0 2sin0 = 0，
故 G( ) = + + 2cos 2 在[0,+∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (0) ≥ 0，
故 ( ) = + 2sin 2 在[0,+∞)单调递增;
所以 ( ) ≥ (0) = 0，故 ≤ 2符合题意
故 的取值范围为( ∞, 2]．
19.【答案】解：(1)因为对任意1 ≤ < ≤ ，都有 +1 +2 + +1 = 2 + 2 < 2 < 1 + +2，1 ≤ ≤ ，
所以 1， 2， ，
1 2 1 3
依次为 1 = 2 + 2 ， 2 = 2 + 2 ， 3 = 2
2 + 23， 4 = 2
1 + 24， 5 = 2
2 + 24， 6 = 2
3 + 24，
所以 = 6， (4) = 6， 1 2 3 46 = (2 + 2 + 2 + 2 ) × 3 = 90；
(2)证明：若数列{ }有7项，
因为 1 + 2 < 1 + 3 < 2 + 3 < 2 + 4 < 3 + 4 < 3 + 5 < 4 + 5，
所以{ }的7项分别为 1 + 2， 1 + 3， 2 + 3， 2 + 4， 3 + 4， 3 + 5， 4 + 5，
又 1 + 3 < 1 + 4 < 2 + 4，可得 1 + 4 = 2 + 3，
即 4 3 = 2 1，
由 2 + 4 < 2 + 5 < 3 + 5，可得 2 + 5 = 3 + 4，
即 5 4 = 3 2，
又由 1 + 4 < 1 + 5 < 2 + 5，
即 2 + 3 < 1 + 5 < 3 + 4，得 1 + 5 = 2 + 4，
即 5 4 = 2 1，则 5 4 = 4 3 = 3 2 = 2 1，
故{ }为等差数列；
(3) min = 25．
先证明： ≥ 25．
考虑从 1， ， ， 100这102 个数中任取2个求和，这些和都不小于 1 + ，
又因为 + ≤ 1 + ，
所以2024 + 2102 ≤ 4950，
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从而 2102 ≤ 2926，
因为 277 = 2926，
所以102 ≤ 77，
即 ≥ 25，
所以 的最小值为25．
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