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2024-2025学年江苏省淮安市淮阴中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列各角中，与角终边相同的角为( )
A. B. C. D.
3.已知一个扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A. B. C. D.
4.已知，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
6.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数的取值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.设，，则“”的充要条件为( )
A. ，至少有一个为 B. ，都为
C. ，都不为 D.
8.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中为真命题的是( )
A. 命题：，有，则的否定：，有
B. 若，则
C. 当时，则，使得成立
D. 函数的定义域为，则函数的定义域为
10.已知函数，且，，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数的定义域为，对于任意实数，满足：，当时，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 为上的增函数
C. 为奇函数
D. 若，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数且的图象恒过定点，则点的坐标______．
13.函数的单调递减区间是______．
14.已知函数，分别为上的偶函数和奇函数，且，若对于任意，任意，使得成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的终边经过，且，求三角函数，的值；
计算：．
16.本小题分
设函数定义域为，函数定义域为．
若，求；
若””是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
设函数．
若，当时，求的最小值；
求关于的不等式解集；
若且，，求的最小值．
18.本小题分
设函数，，函数．
讨论函数的奇偶性，并证明；
当时，用定义证明函数在上单调性；
当时，对于任意，都有恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数的理论先驱对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为，的“偏差”．
函数，，求，的“偏差”；
函数，，若，的“偏差”为，求的值；
函数，若，的“偏差”取最小值，求的值，并求出“偏差”的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.解：因为角的终边经过，且，
由三角函数定义可得，，解得负根舍去，则，
所以．
．
16.解：函数若有意义，需满足，得，则，
若，由得，
解得，则，
所以；
若“”是“”的充分不必要条件，则，，
，，
由，可得，
，
，，解得．
实数的取值范围是．
17.解：当时，，且，
故，
当且仅当，即时取等号．
故的最小值为．
即，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
故当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
，故．
则，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为．
18.解：如果若，既不是奇函数，也不是偶函数；，函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，
那么，
如果，那么且，因此函数既不是奇函数，也不是偶函数；
如果，那么，故为奇函数．
函数在上单调递增，理由如下：
时，函数，
任取，，且，
那么
，
由于，，且，
因此，，所以，
，所以，
因此，所以函数在上单调递增；
对于任意，都有恒成立，
所以在上恒成立，
根据第二问知，当时，函数在上单调递增，
所以，因此，所以．
所以实数的取值范围是．
19.解：因为，
由于，因此，
所以，
因此与的“偏差”为．
令，
因为，所以函数是单调减函数，所以
根据题意，函数，，且．
当，即时，，或，
解得或舍．
当，即时，，解得或，不符合．
综上所述，．
因为函所，
由于，因此，
根据，那么，
设，所以，所以，
函数
所以当且仅当时，．
所以当的值为时，与的“偏差”取最小值．
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