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2024-2025学年四川省成都市教育科学研究院附中高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用比例分配分层随机抽样的方法抽出一个容量为的样本，三个年级学生数之比依次为：：，已知高一年级共抽取了人，则高三年级抽取的人数为( )
A. B. C. D.
2.某校在运动会期间组织了名啦啦队队员，她们的身高单位：数据按从小到大排序如下：
则这名队员身高的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.从名男生和名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是( )
A. B. C. D.
4.到直线：的距离为的点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.在平行六面体中，为与的交点，若，，，则与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
6.设，为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若，是对立事件，则
B. 若，是互斥事件，，则
C. 若，是独立事件，，则
D. 若，且，则，是独立事件
7.若向量，且与的夹角余弦为，则等于( )
A. B. C. 或 D.
8.如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 若，且，则
D. 若且，则
10.已知直线：，直线：，则( )
A. 当时，与的交点为 B. 直线恒过点
C. 若，则 D. 存在，使
11.疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展某直播平台的主播现要对种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这种不同的脐橙数量均为，进行标号为，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中表示不超过的最大整数，则( )
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与对立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一次射击训练中，某运动员次射击的环数依次是，，，，，则该组数据的方差______．
13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______．
14.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为______；直线与平面所成角的正弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
同时掷两个骰子一次，计算向上的点数，求：
点数之和是的概率；
点数中恰有一个奇数和一个偶数的概率．
16.本小题分
的三个顶点分别是，，．
求边上的中线所在直线的方程；
求的外接圆为圆心的标准方程．
17.本小题分
年月日，成都市举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障当时成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数；
若从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任了本市的宣传者若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记两组数据总体的样本平均数为则总体样本方差．
18.本小题分
在四棱锥中，面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科如图，球的半径为，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面阴影部分叫做球面三角形若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为．
若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
若平面三角形为直角三角形，，设，，，
求证：；
延长与球交于点，若直线，与平面所成的角分别为，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：列表可得：
设样本空间为，则，
记“点数之和是”为事件，可知，
所以；
列表可得：
记“点数中恰有一个奇数和一个偶数”为事件，可知，
所以．
16.解：设线段的中点为，又，，
由中点坐标公式，可得的中点，
又因为，
所以边上的中线所在的直线方程为；
法设圆的方程为，，
因为，，三点都在圆上，
所以，解得，，，
所以即．
法设圆的方程为其中，
因为，，三点都在圆上，
可得，解得，，，
满足，
所以所求圆的方程为，
即．
17.解：由频率分布直方图可知，，
解得，
所以估计这名候选者面试成绩的平均数为；
设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为，，
两组的频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为，
所以第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为：
．
18.证明：因为底面，平面，
所以，同理可证，
又因为，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
依题意可得，，，，
，，，，
则，
不妨取是面的一个法向量，
因为，所以，
又因为平面，所以平面；
解：，，，
设平面的一个法向量，则由，，
可得，即，取，则，
所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
解：因为，
平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
19.解：若平面，，两两垂直，有，
所以球面三角形面积为．
证明：由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
由是球的直径，则，，
且，，，平面，
所以平面，且平面，则，
且，，平面，可得平面，
由直线，与平面所成的角分别为，所以，
不妨先令，则，
由，，，
以为坐标原点，以，所在直线为，轴，过点作的平行线为轴，建立如图空间直角坐标系，
设，则，
可得，，
则，
设平面法向量，则，
取，则，可得，
设平面法向量，则，
取，则，，可得，
要使取最小值时，则取最大值，
因为
，
令，则，
可得，
当且仅当取等．
则取最大值，为最小值，
即的最小值为．
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