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2024-2025学年山东省名校考试联盟高三（上）段考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.函数在上的最小值为( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知数列满足：，为正整数，若，则所有可能的取值的集合为( )
A. B. C. D.
6.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知，若函数在上有且只有两个极值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.祖暅，字景烁，祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，提出了祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线，若直线与在第一象限内与双曲线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕轴旋转一周所得几何体的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，若，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.设，为复数，则下列结论中正确的是( )
A. 若为虚数，则也为虚数 B. 若，则的最大值为
C. D.
11.已知函数的定义域为，的图象关于对称，且为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.在等腰直角中，已知，若，满足，，与交于点，则在上的投影向量的模为______．
14.已知函数，若对任意的，，且，都有成立，则正实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知正项数列满足，且．
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
证明：．
16.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
求；
是上的点，平分，且，，求的面积．
17.本小题分
如图，已知等腰梯形，，，，，分别为，的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，点为线段上一点，且满足．
证明：平面；
设二面角的平面角为，在四边形翻折过程中，是否存在，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形；
证明：．
19.本小题分
对于一个元正整数集，如果它能划分成个不相交的二元子集的并集，即，且存在，使得，则称这个偶数为可分数例如，由于二元子集满足，则称为可分数．
判断和是否为可分数，并说明理由；
求小于的最大可分数；
记小于的可分数的个数为，令，记为数列的前项和，证明：．
参考答案
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14.
15.证明：正项数列满足，且，
可得，
则数列是首项为，公差为的等差数列，
可得，即有；
由，
可得．
16.解：由可得，，
所以，
即，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，
所以；
因为平分，所以，
所以，
所以，
即，
整理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
整理得，
即，
所以，
解得或舍去，
所以．
17.证明：取的靠近点的三等分点，连接，，
因为，即点是的靠近点的三等分点，
所以，，
而，，
所以，，即四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
解：在等腰梯形中，因为，分别为，的中点，
所以，，
翻折后，，，
所以就是二面角的平面角，即，
又，、平面，所以平面，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，，所以，，
设，
因为，所以，
解得，，即，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为与平面所成角的正弦值为，
所以，，解得舍负，
故存在，使得与平面所成角的正弦值为，此时．
18.解：因为，
可得，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，
解得；
证明：设，函数的定义域为，
易知该定义域关于直线对称，
又
，
所以曲线关于直线对称，是轴对称图形；
证明：当时，，
可得，
设，
可得，
当时，，单调递增，
所以，
则当时，，单调递增，
所以，
取，此时，
所以，
则．
故．
19.解：由于，但，则不是可分数；
由于，，，则是可分数；
可将集合划分成以下个二元子集：，，，，且，故是可分数．
因此小于的最大可分数是；
证明：设偶数为可分数，则存在使得，
由可知二元子集中两元素和的最大值为，
于是集合中所有大于等于的整数所在二元子集中两元素之和均为，
于是必定与在同一个二元子集中，必定与在同一个二元子集中，，
必定与在同一个二元子集中．
若，由可知不属于集合，故无法对进行分组，此时不是可分数；
若，则分组之后还剩下大于等于的整数，此时不是可分数；
若，则分组之后还剩下，，，，，因为，则是可分数等价于也是可分数．
若，则可将划分成以下各组：，，，，每组中两元素之和均为，因此此时是可分数．
由于小于的可分数的个数为，则．
于的可分数只能为，则，于是，故是首项为，公比为的等比数列，
则，于是，
又，
因此．
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