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第二十三讲　圆的有关计算
A层·基础过关
1.(2024·遂宁中考)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横截面是直径为2米的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米,请计算出淤泥横截面的面积( )
A.π- B.π-
C.π- D.π-
2.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,B为上一点,OB⊥AC于D.若AC=300 m,BD=150 m,则的长为( )
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100π m
3.(2024·广安中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半圆,与AC,BC分别相交于点D,E,则的长度为( )
A. B. C. D.
4.(2024·成都中考)如图,在扇形AOB中,OA=6,∠AOB=120°,则的长为 .
5.(2024·扬州中考)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为 cm.
6.(2024·吉林中考)某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地,小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由☉O和扇形OBC组成,OB,OC分别与☉O交于点A,D.OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,则阴影部分的面积为 m2(结果保留π).
7.(2024·齐齐哈尔中考)若圆锥的底面半径是1 cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为 cm.
8.如图,等边三角形ABC内接于☉O,若☉O的半径为3,则图中阴影部分的面积等于 .
9.如图,某数学兴趣小组将边长为2的正五边形铁丝框ABCDE变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABE的面积为 .
10.(2024·宜宾中考)如图,正五边形ABCDE的边长为4,则这个正五边形的对角线AC的长是 .
11.(2024·齐齐哈尔中考)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若sin∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
B层·能力提升
12.(2024·云南中考)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为( )
A.700π平方厘米 B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米　 D.1 600π平方厘米
13.(2024·河北中考)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn,若m=,则m与n关系的图象大致是( )
14.某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30 cm.为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是( )
A.30 cm　B.30cm　C.60 cm　D.20π cm
15.(2024·北京中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D',两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BFB'GDHD'E给出下面四个结论:
①该八边形各边长都相等;
②该八边形各内角都相等;
③点O到该八边形各顶点的距离都相等;
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.
上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
16.(2024·苏州中考)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图,由六条等弧连接而成,六条弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点O,所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心,若AB=2,则花窗的周长(图中实线部分的长度)= .(结果保留π)
17.在等腰直角△ABC中,已知∠ABC=90°,BC=1.如图所示,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'.则图中阴影部分的面积为 .
18.如图,扇形AOB的圆心角为90°,点C为的中点,以点C为圆心角顶点作扇形DCE,使点O在上且∠DCE=90°,若OA=2,则图中阴影部分的面积和为 .(结果保留π)
19.如图,∠AOB=90°,∠OAB=60°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点C,交OB于点D,若AB=4,则阴影部分的面积为 .(结果保留π)
20.如图,在等边△ABC中,AC=4,点D为AC边的中点,将△ABC绕点D顺时针旋转90°,得到△A'B'C',是点A的旋转路径,连接CC',则图中阴影部分的面积为 .
C层·素养挑战
21.(2024·广东中考)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示:
①一张直径为10 cm的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥形的体积.(结果保留π)第二十三讲　圆的有关计算
A层·基础过关
1.(2024·遂宁中考)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横截面是直径为2米的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米,请计算出淤泥横截面的面积(A)
A.π- B.π-
C.π- D.π-
2.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,B为上一点,OB⊥AC于D.若AC=300 m,BD=150 m,则的长为(B)
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100π m
3.(2024·广安中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半圆,与AC,BC分别相交于点D,E,则的长度为(C)
A. B. C. D.
4.(2024·成都中考)如图,在扇形AOB中,OA=6,∠AOB=120°,则的长为　4π　.
5.(2024·扬州中考)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为　5　 cm.
6.(2024·吉林中考)某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地,小明绘制的铅球场地设计图如图所示,该场地由☉O和扇形OBC组成,OB,OC分别与☉O交于点A,D.OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,则阴影部分的面积为　11π　m2(结果保留π).
7.(2024·齐齐哈尔中考)若圆锥的底面半径是1 cm,它的侧面展开图的圆心角是直角,则该圆锥的高为 　cm.
8.如图,等边三角形ABC内接于☉O,若☉O的半径为3,则图中阴影部分的面积等于　3π　.
9.如图,某数学兴趣小组将边长为2的正五边形铁丝框ABCDE变形为以A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABE的面积为　6　.
10.(2024·宜宾中考)如图,正五边形ABCDE的边长为4,则这个正五边形的对角线AC的长是　2+2　.
11.(2024·齐齐哈尔中考)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若sin∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)连接OC,∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,
∴∠EBC=∠DBC,∠E=∠BDC=90°,
∴∠OCB=∠EBC,∴OC∥BE,
∴∠OCF=∠E=90°,
∵OC是☉O的半径,∴CF是☉O的切线;
(2)∵sin∠CFB=,
∴∠CFB=45°,
∵∠OCF=90°,
∴∠COF=∠CFO=45°,
∴CF=OC=AB=4,∵∠CDO=90°,
∴∠OCD=∠COD=45°,
∴CD=OD=OC=2,∴图中阴影部分的面积=扇形AOC的面积-△COD的面积=-×2×2=2π-4.
B层·能力提升
12.(2024·云南中考)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为(C)
A.700π平方厘米 B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米　 D.1 600π平方厘米
13.(2024·河北中考)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn,若m=,则m与n关系的图象大致是(C)
14.某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30 cm.为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是(B)
A.30 cm　B.30cm　C.60 cm　D.20π cm
15.(2024·北京中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D',两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形BFB'GDHD'E给出下面四个结论:
①该八边形各边长都相等;
②该八边形各内角都相等;
③点O到该八边形各顶点的距离都相等;
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等.
上述结论中,所有正确结论的序号是(B)
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
16.(2024·苏州中考)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图,由六条等弧连接而成,六条弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点O,所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心,若AB=2,则花窗的周长(图中实线部分的长度)=　8π　.(结果保留π)
17.在等腰直角△ABC中,已知∠ABC=90°,BC=1.如图所示,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'.则图中阴影部分的面积为 　.
18.如图,扇形AOB的圆心角为90°,点C为的中点,以点C为圆心角顶点作扇形DCE,使点O在上且∠DCE=90°,若OA=2,则图中阴影部分的面积和为　2π-4　.(结果保留π)
19.如图,∠AOB=90°,∠OAB=60°,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点C,交OB于点D,若AB=4,则阴影部分的面积为 　.(结果保留π)
20.如图,在等边△ABC中,AC=4,点D为AC边的中点,将△ABC绕点D顺时针旋转90°,得到△A'B'C',是点A的旋转路径,连接CC',则图中阴影部分的面积为　2++　.
C层·素养挑战
21.(2024·广东中考)综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示:
①一张直径为10 cm的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图2所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成的圆锥形的体积.(结果保留π)
【解析】(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁,理由如下,
方法一:如图作出示意图,由题意知,AB=AC=BC=7 cm,
折叠后CD=CE=×10=5(cm),
∵用滤纸围成的圆锥形的底面周长=×10π=5π(cm),
∴DE·π=5π cm,∴DE=5 cm,
∴==,∴△CDE∽△CAB,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
方法二:由2πr=得,=.
图2中,n1=90°×2=180°,
图3中,==,
∴n2=180°,∵n1=n2,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)由(1)知CD=DE=CE=5 cm,
∴∠CDE=60°,过C作CF⊥DE于点F,则DF=DE= cm,
在Rt△CDF中,CF== cm,
∴V=π·××=π (cm3).
即圆锥形的体积是π cm3.

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