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第二十四讲　平移、旋转与轴对称
A层·基础过关
1.(2024·滨州中考)数学中有许多精美的曲线,以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡儿心形线”.其中不是轴对称图形的是( )
2.如图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若BC=5,BE=2,则CF的长是( )
A.2 B.2.5 C.3 D.5
3.如图,将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°,再向下平移4个单位,得到线段A'B',则点B的对应点B'的坐标是( )
A.(-3,-1) B.(-3,-3)
C.(-1,-3) D.(-1,-2)
4.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=24°,则旋转角α的度数为( )
A.24° B.28° C.48° D.66°
5.(2024·连云港中考)如图,正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案,其中正方形边长是80 cm,则图中阴影图形的周长是( )
A.440 cm　 B.320 cm　 C.280 cm　 D.160 cm
6.(2024·自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置.则点B的坐标为( )
A.(2,4) B.(4,2)
C.(-4,-2) D.(-2,4)
7. (2024·安徽中考)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
B层·能力提升
8.(2024·牡丹江中考)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
9.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,S△ABC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C,使得点A'恰好落在AB上,A'B'与BC交于点D,则S△A'CD为( )
A.+1　 B.　 C.　 D.2-1
10.(2024·临夏州中考)如图,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 .
11.(2024·盐城中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是AC的中点,连接BD,将△BCD绕点B旋转,得到△BEF.连接CF,当CF∥AB时,CF= .
12.(2024·苏州中考)如图,△ABC中,∠ACB=90°,CB=5,CA=10,点D,E分别在AC,AB边上,AE=AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折,得到△FDE,连接CE,CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍,则AD= .
C层·素养挑战
13.(2024·成都中考)数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中,AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°.
【初步感知】
(1)如图1,连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中,试探究的值.
【深入探究】
(2)如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中,当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时,延长ED交AC于点F,求CF的长.
【拓展延伸】
(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中,试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形CDE的面积;若不能,请说明理由.第二十四讲　平移、旋转与轴对称
A层·基础过关
1.(2024·滨州中考)数学中有许多精美的曲线,以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡儿心形线”.其中不是轴对称图形的是(B)
2.如图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF,若BC=5,BE=2,则CF的长是(A)
A.2 B.2.5 C.3 D.5
3.如图,将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°,再向下平移4个单位,得到线段A'B',则点B的对应点B'的坐标是(A)
A.(-3,-1) B.(-3,-3)
C.(-1,-3) D.(-1,-2)
4.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点D恰好落在BC边上,若DE⊥AC,∠CAD=24°,则旋转角α的度数为(C)
A.24° B.28° C.48° D.66°
5.(2024·连云港中考)如图,正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案,其中正方形边长是80 cm,则图中阴影图形的周长是(A)
A.440 cm　 B.320 cm　 C.280 cm　 D.160 cm
6.(2024·自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置.则点B的坐标为(A)
A.(2,4) B.(4,2)
C.(-4,-2) D.(-2,4)
7. (2024·安徽中考)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求;
(2)以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积=10×8-2××2×4-2××4×8=40;
(3)如图,点E即为所求,点E的坐标为(6,6).(答案不唯一)
B层·能力提升
8.(2024·牡丹江中考)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(C)
9.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,S△ABC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转至△A'B'C,使得点A'恰好落在AB上,A'B'与BC交于点D,则S△A'CD为(C)
A.+1　 B.　 C.　 D.2-1
10.(2024·临夏州中考)如图,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 　.
11.(2024·盐城中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是AC的中点,连接BD,将△BCD绕点B旋转,得到△BEF.连接CF,当CF∥AB时,CF=　2+　.
12.(2024·苏州中考)如图,△ABC中,∠ACB=90°,CB=5,CA=10,点D,E分别在AC,AB边上,AE=AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折,得到△FDE,连接CE,CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍,则AD= 　.
C层·素养挑战
13.(2024·成都中考)数学活动课上,同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置,固定一个顶点,然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转,来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和ADE中,AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°.
【初步感知】
(1)如图1,连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中,试探究的值.
【深入探究】
(2)如图2,在纸片ADE绕点A旋转过程中,当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时,延长ED交AC于点F,求CF的长.
【拓展延伸】
(3)在纸片ADE绕点A旋转过程中,试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能,直接写出所有直角三角形CDE的面积;若不能,请说明理由.
【解析】(1)∵AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°,
∴△ABC≌△ADE(SAS),AC=AE==5,∴∠DAE=∠BAC,
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
即∠CAE=∠BAD,
∵==,∴△ADB∽△AEC,
∴==;
(2)连接CE,延长BM交CE于点Q,连接AQ交EF于P,延长EF交BC于N,如图:
由(1)得△ADB∽△AEC,
∴∠ABD=∠ACE,
∵BM是△ABC的中线,
∴BM=AM=CM=AC=,
∴∠MBC=∠MCB,∵∠ABD+∠MBC=90°,
∴∠ACE+∠MCB=90°,即∠BCE=90°,
∴AB∥CE,
∴∠BAM=∠QCM,∠ABM=∠CQM,
又∵AM=CM,
∴△BAM≌△QCM(AAS),∴BM=QM,
∴四边形ABCQ是平行四边形,
∵∠ABC=90°∴四边形ABCQ是矩形,
∴AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=90°,PQ∥CN,∴EQ===3,
∴EQ=CQ,∴PQ是△CEN的中位线,
∴PQ=CN,
设PQ=x,则CN=2x,AP=4-x,
∵∠EPQ=∠APD,∠EQP=90°=∠ADP,EQ=AD=3,
∴△EQP≌△ADP(AAS),
∴EP=AP=4-x,
∵EP2=PQ2+EQ2,
∴(4-x)2=x2+32,解得x=,
∴AP=4-x=,CN=2x=,
∵PQ∥CN,∴△APF∽△CNF,
∴=,∴==,
∵AC=5,∴=,∴CF=;
(3)C,D,E三点能构成直角三角形,理由如下:
①当AD在AC上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,如图,∴S△CDE=CD·DE=×(5-3)×4=4;
②当AD在CA的延长线上时,DE⊥AC,此时△CDE是直角三角形,如图,
∴S△CDE=CD·DE=×(5+3)×4=16;
③当DE⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,如图,
∵AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD,
∴四边形ADEQ是矩形,
∴AD=EQ=3,AQ=DE=4,
∵AE=AC=5,∴EQ=CQ=CE,
∴CE=3,∴CE=6,
∴S△CDE=DE·CE=×4×6=12;
④当DC⊥EC时,△CDE是直角三角形,过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N,如图,
∵DC⊥EC,AQ⊥EC,∴AQ∥DC,
∵AC=AE,AQ⊥EC,
∴EQ=CQ,∴NQ是△CDE的中位线,
∴ND=NE=DE=2,CD=2NQ,
∵∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=90°,
∴∠DAN=∠QEN,
∴tan∠DAN=tan∠QEN,∴=,
∴=,∴NQ=EQ,
∵NQ2+EQ2=NE2,∴+EQ2=22,
解得EQ=,
∴CE=2EQ=,NQ=EQ=,
∴CD=2NQ=,∴S△CDE=CD·CE=××=.
综上所述,直角三角形CDE的面积为4或16或12或.

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