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第二十五讲　相似形
A层·基础过关
1.(2024·重庆中考A卷)若两个相似三角形的相似比是1∶3,则这两个相似三角形的面积比是( )
A.1∶3　　B.1∶4　　C.1∶6　　D.1∶9
2.(2024·连云港中考)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为( )
A.甲和乙 B.乙和丁　
C.甲和丙 D.甲和丁
3.如图,点D在△ABC的边AC上,添加一个条件,使得△ADB∽△ABC,下列不正确的是( )
A.AB2=AD·AC
B.∠ADB=∠ABC
C.∠ABD=∠C
D.=
4.(2024·绥化中考)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是( )
A.(9,4) B.(4,9)
C. D.
5.(2024·湖南中考)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是( )
A.DE∥BC　　　　　 B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
6.如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为( )
A.5 B.6 C. D.
7.(2024·陕西中考)如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为( )
A.2 B.3 C. D.
8.节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果,若舞台AB长10米,主持人张颖站在舞台AB的一端A处,她要想站在舞台的黄金分割点处,她应从A向前至少走 米.(结果精确到0.1米,≈2.236)
9.(2024·扬州中考)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为 cm.
10.(2024·广州中考)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC.
(1)求作△CDE使点E在BC上,且△CDE∽△CBD;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若BA=,∠ABC=60°,求CE长.
B层·能力提升
12. (2024·浙江中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为( )
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
13.如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为( )
A.　 B.　 C.　 D.
14.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,DC,AE交于点F,则S△DEF∶S△ACF=( )
A. B. C. D.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )
A. B. C. D.
16.(2024·龙东中考)如图,在正方形ABCD中,点H在AD边上(不与点A,D重合),∠BHF=90°,HF交正方形外角的平分线DF于点F,连接AC交BH于点M,连接BF交AC于点G,交CD于点N,连接BD.则下列结论:
①∠HBF=45°;②点G是BF的中点;③若点H是AD的中点,则sin∠NBC=;④BN=BM;⑤若AH=HD,则S△BND=S△AHM.其中正确的结论是( )
A.①②③④ B.①③⑤　
C.①②④⑤ D.①②③④⑤
17.(2024·吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°,则的值为 .
18.(2024·河北中考)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点.
(1)△AC1D1的面积为 ;
(2)△B1C4D3的面积为 .
19.(2024·山西中考)如图,在 ABCD中,AC为对角线,AE⊥BC于点E,点F是AE延长线上一点,且∠ACF=∠CAF,线段AB,CF的延长线交于点G.若AB=,AD=4,tan∠ABC=2,则BG的长为 .
C层·素养挑战
20.(2024·武汉中考)问题背景　如图(1),在矩形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,连接BD,EF,求证:△BCD∽△FBE.
问题探究　如图(2),在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,点E是AB的中点,点F在边BC上,AD=2CF,EF与BD交于点G,求证:BG=FG.
问题拓展　如图(3),在“问题探究”的条件下,连接AG,AD=CD,AG=BG,直接写出的值.第二十五讲　相似形
A层·基础过关
1.(2024·重庆中考A卷)若两个相似三角形的相似比是1∶3,则这两个相似三角形的面积比是(D)
A.1∶3　　B.1∶4　　C.1∶6　　D.1∶9
2.(2024·连云港中考)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为(D)
A.甲和乙 B.乙和丁　
C.甲和丙 D.甲和丁
3.如图,点D在△ABC的边AC上,添加一个条件,使得△ADB∽△ABC,下列不正确的是(D)
A.AB2=AD·AC
B.∠ADB=∠ABC
C.∠ABD=∠C
D.=
4.(2024·绥化中考)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以原点O为位似中心,将这个矩形按相似比缩小,则顶点B在第一象限对应点的坐标是(D)
A.(9,4) B.(4,9)
C. D.
5.(2024·湖南中考)如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点.下列结论中,错误的是(D)
A.DE∥BC　　　　　 B.△ADE∽△ABC
C.BC=2DE D.S△ADE=S△ABC
6.如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为(C)
A.5 B.6 C. D.
7.(2024·陕西中考)如图,正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上,AF与DC交于点H,若AB=6,CE=2,则DH的长为(B)
A.2 B.3 C. D.
8.节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果,若舞台AB长10米,主持人张颖站在舞台AB的一端A处,她要想站在舞台的黄金分割点处,她应从A向前至少走　3.8　米.(结果精确到0.1米,≈2.236)
9.(2024·扬州中考)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为　20　 cm.
10.(2024·广州中考)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
【证明】∵BE=3,EC=6,CF=2,
∴BC=3+6=9,∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°,
∵==,=,∴=,
∴△ABE∽△ECF.
11.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC.
(1)求作△CDE使点E在BC上,且△CDE∽△CBD;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,若BA=,∠ABC=60°,求CE长.
【解析】(1)如图,点E即为所求;
(2)在Rt△ABC中,AB=,∠A=90°,∠ABC=60°,∴∠C=30°,∴BC=2AB=2,∵BD平分∠ABC,∵∠ABD=∠CBD=30°,
在Rt△ABD中,BD==2,
在Rt△BDE中,BE==,
∴CE=CB-BE=2-=.
B层·能力提升
12. (2024·浙江中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为(A)
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
13.如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为(A)
A.　 B.　 C.　 D.
14.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,DE∥AC,若S△BDE∶S△CDE=1∶3,DC,AE交于点F,则S△DEF∶S△ACF=(D)
A. B. C. D.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为(B)
A. B. C. D.
16.(2024·龙东中考)如图,在正方形ABCD中,点H在AD边上(不与点A,D重合),∠BHF=90°,HF交正方形外角的平分线DF于点F,连接AC交BH于点M,连接BF交AC于点G,交CD于点N,连接BD.则下列结论:
①∠HBF=45°;②点G是BF的中点;③若点H是AD的中点,则sin∠NBC=;④BN=BM;⑤若AH=HD,则S△BND=S△AHM.其中正确的结论是(A)
A.①②③④ B.①③⑤　
C.①②④⑤ D.①②③④⑤
17.(2024·吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°,则的值为 　.
18.(2024·河北中考)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点.
(1)△AC1D1的面积为　1　;
(2)△B1C4D3的面积为　7　.
19.(2024·山西中考)如图,在 ABCD中,AC为对角线,AE⊥BC于点E,点F是AE延长线上一点,且∠ACF=∠CAF,线段AB,CF的延长线交于点G.若AB=,AD=4,tan∠ABC=2,则BG的长为 　.
C层·素养挑战
20.(2024·武汉中考)问题背景　如图(1),在矩形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,连接BD,EF,求证:△BCD∽△FBE.
问题探究　如图(2),在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,点E是AB的中点,点F在边BC上,AD=2CF,EF与BD交于点G,求证:BG=FG.
问题拓展　如图(3),在“问题探究”的条件下,连接AG,AD=CD,AG=BG,直接写出的值.
【解析】问题背景:∵E,F分别是AB和BC的中点,∴=,=,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,∴=,
∵∠EBF=∠C=90°,
∴△BCD∽△FBE;
问题探究:方法一:如图延长FE交DA的延长线于点M,作FH⊥AD于点H,则四边形CDHF是矩形.
∵E是AB的中点,
∴AE=BE,
∵AM∥BC,
∴∠AME=∠BFE,∠MAE=∠FBE,
∴△AME≌△BFE(AAS),
∴AM=BF,
∵AD=2CF,CF=DH,
∴AH=DH=CF,
∴AM+AH=BF+CF,即MH=BC,
∵FH=CD,∠MHF=∠BCD=90°,
∴△MFH≌△BDC(SAS),
∴∠AMF=∠CBD,
又∵∠AMF=∠BFG,
∴∠CBD=∠BFG,
∴BG=FG;
方法二:如图,取BD的中点H,连接EH,CH,
∵E是AB的中点,H是BD的中点,
∴EH=AD,EH∥AD,
∵AD=2CF,
∴EH=CF,
∵AD∥BC,
∴EH∥CF,
∴四边形EHCF是平行四边形,
∴EF∥CH,∴∠HCB=∠GFB,
∵∠BCD=90°,H是BD的中点,
∴CH=BD=BH,∴∠HCB=∠HBC,
∴∠GFB=∠HBC,∴BG=FG;
问题拓展:如图,过F作FM⊥AD于点M,取BD的中点H,连接EH,AF,则四边形CDMF是矩形,
∴CF=DM,∵AD=2CF,
∴AM=DM=CF,
设CF=a,则AM=DM=CF=a,AD=CD=2a=MF,
∴AF==a,
∵E是AB的中点,且AG=BG,
∴FE垂直平分AB,
∴BF=AF=a,∵H是BD的中点,
∴EH是△ABD的中位线,
∴EH=AD=a,EH∥AD∥BC,
∴△EGH∽△FGB,
∴===.

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