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第六讲　分式方程
A层·基础过关
1.将关于x的分式方程=去分母可得(A)
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
2.关于x的分式方程=1,下列说法正确的是(C)
A.方程的解是x=m-6　
B.当m<6时,方程的解是负数　
C.当m>6时,方程的解是正数　
D.以上说法均不正确
3.(2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是(C)
A.-=10　　 B.-=10　
C.-=10 D.-=10
4.(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是(D)
A.x=- B.x=-1
C.x= D.x=3
5.解分式方程+=,分以下四步,其中,错误的一步是(D)
A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
6.(2024·淄博模拟)代数式与代数式的值互为相反数,则x=　7　.
7.小明打车前去高铁站,小明可以选择两条不同路线:路线A的全程是25千米,但交通比较拥堵,路线B的全程比路线A的全程多7千米,但平均车速比走路线A时能提高60%,若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟,若设走路线A时的平均速度为x千米/小时,根据题意,可列分式方程为 -=　.
8.(2024·陕西中考)解方程:+=1.
【解析】方程两边都乘(x+1)(x-1),
得2+x(x+1)=(x+1)(x-1),解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,
所以分式方程的解是x=-3.
9.(2024·重庆中考B卷)某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15 000元,已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米
【解析】(1)设A种外墙漆每千克的价格是x元,B种外墙漆每千克的价格是y元,
根据题意得:,
解得:.
答:A种外墙漆每千克的价格是26元,B种外墙漆每千克的价格是24元;
(2)设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米,则乙每小时粉刷外墙的面积是m平方米,
根据题意得:-=5,解得:m=25,
经检验,m=25是所列方程的解,且符合题意.
答:甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.
B层·能力提升
10.(2024·烟台模拟)对于实数a,b,定义一种新运算“ ”为:a b=,这里等式右边是实数运算.例如:1 3==-.则方程x (-2)=-1的解是(B)
A.x=4 B.x=5
C.x=6 D.x=7
11.(2024·齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程-=0的解是负数,那么实数m的取值范围是(A)
A.m<1且m≠0 B.m<1　
C.m>1 D.m<1且m≠-1
12.(2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值为　-1　.
13.(2024·东营模拟)若关于x的分式方程+3=无解,则实数m=　3或7　.
14.(2024·重庆中考B卷)若关于x的不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程=2-的解为非负整数,则所有满足条件的整数a的值之和为　16　.
15.定义一种新运算:对于任意非零实数a,b,a b=+,若(x+1) x=2,则x的值为　±　.
16.(2024·泰安模拟)一项工程,甲、乙两公司合作,18天可以完成,共需付施工费
64 800元;如果甲、乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 400元.
(1)甲、乙两公司单独完成此项工程,各需多少天
(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少
【解析】(1)设甲公司单独完成此项工程需x天,则乙公司单独完成此项工程需1.5x天.
根据题意,得+=,解得x=30,
经检验知x=30是方程的解且符合题意.
1.5x=45
答:甲公司单独完成此项工程,需30天,乙公司单独完成此项工程,需45天;
(2)设甲公司每天的施工费为y元,则乙公司每天的施工费为(y-1 400)元,
根据题意得18(y+y-1400)=64 800,
解得y=2 500,
甲公司单独完成此项工程所需的施工费:
30×2 500=75 000(元);
乙公司单独完成此项工程所需的施工费:
45×(2 500-1 400)=49 500(元);
因为49 500<75 000
故乙公司的施工费较少.
答:若让一个公司单独完成这项工程,乙公司的施工费较少.
C层·素养挑战
17.如图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.
　　15.3分式方程 甲、乙两个工程队,甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等,乙队每天比甲队多修20米,求甲队每天修路的长度. 冰冰:= 庆庆:-=20
根据以上信息,解答下列问题.
(1)冰冰同学所列方程中的x表示____________, 庆庆同学所列方程中的y表示____________.
(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系.
(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.
【解析】(1)甲队每天修路的长度　甲队修路400米所需时间.
(2)冰冰用的等量关系是:甲队修路400米所用时间=乙队修路600米所用时间;
庆庆用的等量关系是:乙队每天修路的长度-甲队每天修路的长度=20米(选择一个即可).
(3)选冰冰的方程:=,
去分母,得400x+8 000=600x,
移项,x的系数化为1,得x=40,
检验:当x=40时,x(x+20)≠0,
∴x=40.
答:甲队每天修路的长度为40米.
选庆庆的方程:-=20,
去分母,得600-400=20y,
将y的系数化为1,得y=10,
检验:当y=10时,分母y不为0,
∴y=10,∴=40.
答:甲队每天修路的长度为40米.第六讲　分式方程
A层·基础过关
1.将关于x的分式方程=去分母可得( )
A.3x-3=2x B.3x-1=2x
C.3x-1=x D.3x-3=x
2.关于x的分式方程=1,下列说法正确的是( )
A.方程的解是x=m-6　
B.当m<6时,方程的解是负数　
C.当m>6时,方程的解是正数　
D.以上说法均不正确
3.(2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是( )
A.-=10　　 B.-=10　
C.-=10 D.-=10
4.(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是( )
A.x=- B.x=-1
C.x= D.x=3
5.解分式方程+=,分以下四步,其中,错误的一步是( )
A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
6.(2024·淄博模拟)代数式与代数式的值互为相反数,则x= .
7.小明打车前去高铁站,小明可以选择两条不同路线:路线A的全程是25千米,但交通比较拥堵,路线B的全程比路线A的全程多7千米,但平均车速比走路线A时能提高60%,若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟,若设走路线A时的平均速度为x千米/小时,根据题意,可列分式方程为 .
8.(2024·陕西中考)解方程:+=1.
9.(2024·重庆中考B卷)某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷任务,选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A、B两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15 000元,已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的,乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米
B层·能力提升
10.(2024·烟台模拟)对于实数a,b,定义一种新运算“ ”为:a b=,这里等式右边是实数运算.例如:1 3==-.则方程x (-2)=-1的解是( )
A.x=4 B.x=5
C.x=6 D.x=7
11.(2024·齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程-=0的解是负数,那么实数m的取值范围是( )
A.m<1且m≠0 B.m<1　
C.m>1 D.m<1且m≠-1
12.(2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值为 .
13.(2024·东营模拟)若关于x的分式方程+3=无解,则实数m= .
14.(2024·重庆中考B卷)若关于x的不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程=2-的解为非负整数,则所有满足条件的整数a的值之和为 .
15.定义一种新运算:对于任意非零实数a,b,a b=+,若(x+1) x=2,则x的值为 .
16.(2024·泰安模拟)一项工程,甲、乙两公司合作,18天可以完成,共需付施工费
64 800元;如果甲、乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的1.5倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 400元.
(1)甲、乙两公司单独完成此项工程,各需多少天
C层·素养挑战
17.如图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列的方程.
　　15.3分式方程 甲、乙两个工程队,甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等,乙队每天比甲队多修20米,求甲队每天修路的长度. 冰冰:= 庆庆:-=20
根据以上信息,解答下列问题.
(1)冰冰同学所列方程中的x表示____________, 庆庆同学所列方程中的y表示____________.
(2)两个方程中任选一个,并写出它的等量关系.
(3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题.

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