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第七讲　一元二次方程
A层·基础过关
1.用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17
C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17
2.利用公式法可得一元二次方程式3x2-11x-1=0的两解为a,b,且a>b,则a值为( )
A. B.
C. D.
3.(2024·淄博模拟)若关于x的方程x2-x+a=0有两个相等的实数根,则实数a的值是( )
A.- B. C.4 D.-4
4.(2024·河北中考)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a=( )
A.1　 B.-1 　C.+1　 D.1或+1
5.(2024·淄博模拟)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则( )
A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6
C.x1x2= D.x1x2=7
6.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
7.如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,绿化后一边减少了3 m,另一边减少了2 m,剩余面积为30 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长为( )
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
8.(2024·烟台模拟)已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 .
9.如图,是一个长为30 m,宽为20 m的矩形花园,现要在花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532 m2,那么设小道进出口的宽度为x米,列方程是 .
10.某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡,若全组共送贺卡78张,设这个小组的同学共有x人,可列方程: ..
11.用适当的方法解下列方程:
(1)2x2-4x-6=0(用配方法);
(2)3x(x+3)=2(x+3);
12.(2024·遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且+-x1x2=9,求m的值.
B层·能力提升
13.(2024·赤峰中考)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为( )
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
14.对于实数a,b,定义运算“*”如下:a*b=a2-ab,例如:3*2=32-3×2=3,则方程(x+1)*3=-2的根的情况是( )
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
15.(2024·淄博模拟)实数a,b,c满足a-b+c=0,则( )
A.b2-4ac>0 B.b2-4ac<0　
C.b2-4ac≥0 D.b2-4ac≤0
16.如图,这是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…,第n行有n个点…,前n行的点数和不能是以下哪个结果( )
A.741 B.600 C.465 D.300
17.(2024·泰安模拟)某超市一月份的营业额为200万元,第一季度总营业额为800万元,设平均每月营业额的增长率为x,则由题意列方程为 .
18.已知方程x2-2x-2=0的两根分别为x1,x2,则-+4x2的值为 .
19.(2024·济宁模拟)设α,β是一元二次方程x2+3x-17=0的两个根,则α2+5α+2β= .
20.如图,李大爷要建一个矩形羊圈,羊圈的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的彩钢围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留了一扇1 m宽的门.若要使羊圈的面积为80 m2,则所围矩形与墙垂直的一边长为 m.
(2024·广州中考)定义新运算:a b=例如:-2 4=(-2)2-4=0,2 3 =-2+3=1.若x 1=-,则x的值为 .
C层·素养挑战
22.某公司2月份销售新上市的A产品20套,由于该产品的经济适用性,销量快速上升,4月份该公司销售A产品达到45套,并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
(1)求该公司销售A产品每次的增长率;
(2)若A产品每套盈利2万元,则平均每月可售30套,为了尽量减少库存,该公司决定采取适当的降价措施,经调查发现,A产品每套每降0.5万元,公司平均每月可多售出20套;若该公司在5月份要获利70万元,则每套A产品需降价多少 第七讲　一元二次方程
A层·基础过关
1.用配方法解方程x2-4x-1=0时,配方后正确的是(C)
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17
C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17
2.利用公式法可得一元二次方程式3x2-11x-1=0的两解为a,b,且a>b,则a值为(D)
A. B.
C. D.
3.(2024·淄博模拟)若关于x的方程x2-x+a=0有两个相等的实数根,则实数a的值是(B)
A.- B. C.4 D.-4
4.(2024·河北中考)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a=(C)
A.1　 B.-1 　C.+1　 D.1或+1
5.(2024·淄博模拟)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则(A)
A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6
C.x1x2= D.x1x2=7
6.若关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+2=0有实数根,则整数a的最大值为(C)
A.2 B.1 C.0 D.-1
7.如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,绿化后一边减少了3 m,另一边减少了2 m,剩余面积为30 m2的矩形空地,则原正方形空地的边长为(C)
A.6 m B.7 m C.8 m D.9 m
8.(2024·烟台模拟)已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是　m>且m≠2　.
9.如图,是一个长为30 m,宽为20 m的矩形花园,现要在花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532 m2,那么设小道进出口的宽度为x米,列方程是　(30-2x)(20-x)=532　.
10.某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡,若全组共送贺卡78张,设这个小组的同学共有x人,可列方程:　x2-x-78=0　..
11.用适当的方法解下列方程:
(1)2x2-4x-6=0(用配方法);
(2)3x(x+3)=2(x+3);
【解析】(1)∵2x2-4x=6,∴x2-2x=3,
则x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4,
∴x-1=±2,即x1=3,x2=-1.
(2)∵3x(x+3)-2(x+3)=0,∴(x+3)(3x-2)=0,则x+3=0或3x-2=0,
解得:x=-3或x=,即x1=-3,x2=.
12.(2024·遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0.
(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且+-x1x2=9,求m的值.
【解析】(1)x2-(m+2)x+m-1=0,
这里a=1,b=-(m+2),c=m-1,
Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)
=m2+4m+4-4m+4=m2+8.
∵m2≥0,∴Δ>0.∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x2=m+2,x1x2=m-1.
∵+-x1x2=9,即(x1+x2)2-3x1x2=9,
∴(m+2)2-3(m-1)=9.
整理,得m2+m-2=0.
∴(m+2)(m-1)=0.解得m1=-2,m2=1.
∴m的值为-2或1.
B层·能力提升
13.(2024·赤峰中考)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为(C)
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
14.对于实数a,b,定义运算“*”如下:a*b=a2-ab,例如:3*2=32-3×2=3,则方程(x+1)*3=-2的根的情况是(D)
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
15.(2024·淄博模拟)实数a,b,c满足a-b+c=0,则(C)
A.b2-4ac>0 B.b2-4ac<0　
C.b2-4ac≥0 D.b2-4ac≤0
16.如图,这是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点…,第n行有n个点…,前n行的点数和不能是以下哪个结果(B)
A.741 B.600 C.465 D.300
17.(2024·泰安模拟)某超市一月份的营业额为200万元,第一季度总营业额为800万元,设平均每月营业额的增长率为x,则由题意列方程为　200+200(1+x)+ 200(1+x)2=800　.
18.已知方程x2-2x-2=0的两根分别为x1,x2,则-+4x2的值为　4　.
19.(2024·济宁模拟)设α,β是一元二次方程x2+3x-17=0的两个根,则α2+5α+2β=　11　.
20.如图,李大爷要建一个矩形羊圈,羊圈的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的彩钢围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留了一扇1 m宽的门.若要使羊圈的面积为80 m2,则所围矩形与墙垂直的一边长为　8　m.
21.(2024·广州中考)定义新运算:a b=例如:-2 4=(-2)2-4=0,2 3 =-2+3=1.若x 1=-,则x的值为　-或　.
C层·素养挑战
22.某公司2月份销售新上市的A产品20套,由于该产品的经济适用性,销量快速上升,4月份该公司销售A产品达到45套,并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
(1)求该公司销售A产品每次的增长率;
(2)若A产品每套盈利2万元,则平均每月可售30套,为了尽量减少库存,该公司决定采取适当的降价措施,经调查发现,A产品每套每降0.5万元,公司平均每月可多售出20套;若该公司在5月份要获利70万元,则每套A产品需降价多少
【解析】(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x,
依题意,得:20(1+x)2=45,
解得:x1=0.5=50%,x2=-2.5(不合题意,舍去).
答:该公司销售A产品每次的增长率为50%.
(2)设每套A产品需降价y万元,则平均每月可售出(30+×20)套,
依题意,得:(2-y) (30+×20)=70,
整理,得:4y2-5y+1=0,
解得:y1=,y2=1.
∵尽量减少库存,∴y=1.
答:每套A产品需降价1万元.

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