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第十八讲　解直角三角形
A层·基础过关
1.(2024·云南中考)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A=( )
A. B. C. D.
2.利用科学计算器计算sin 50°,下列按键顺序正确的是( )
3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,D是AC的中点,AC=8,tanA=,则sin∠DBA等于( )
A. B. C. D.
4.(2024·雅安中考)在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房CD的高度(如图),他们在A处仰望楼顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进50米至B处,测得仰角为60°,那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)( )
A.25米 B.25米
C.25米 D.50米
5.(2024·达州中考)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为( )
A.2 B.2 C. D.3
6.(2024·眉山中考)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为 米.
7.(2024·陕西中考)如图所示,一座小山顶的水平观景台的海拔为1 600 m,小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔.他在该观景台上选定了一点A,在点A处测得C点的仰角∠CAE=42°,再在AE上选一点B,在点B处测得C点的仰角α=45°,AB=10 m.求山顶C点处的海拔.(小明身高忽略不计,参考数据:sin 42° ≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
B层·能力提升
8.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB的值为( )
A. B. C. D.3
9.如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是( )
A. B.1 C. D.2
10.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是边BC上两点,且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为( )
A. B. C. D.
11.(2024·内江中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan∠EFC= .
12.(2024·湖南中考)如图,图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图,图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为 分米(结果用含根号的式子表示).
C层·素养挑战
13.(2024·安徽中考)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验,如图,光线自点B处发出,经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α=36.9°,点B到水面的距离BC=1.20 m,点A处水深为1.20 m,到池壁的水平距离AD=
2.50 m.点B,C,D在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β,折射角为γ,求的值(精确到0.1).
(参考数据:sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75.)第十八讲　解直角三角形
A层·基础过关
1.(2024·云南中考)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A=(C)
A. B. C. D.
2.利用科学计算器计算sin 50°,下列按键顺序正确的是(A)
3.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,D是AC的中点,AC=8,tanA=,则sin∠DBA等于(B)
A. B. C. D.
4.(2024·雅安中考)在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房CD的高度(如图),他们在A处仰望楼顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进50米至B处,测得仰角为60°,那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)(A)
A.25米 B.25米
C.25米 D.50米
5.(2024·达州中考)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为(B)
A.2 B.2 C. D.3
6.(2024·眉山中考)如图,斜坡CD的坡度i=1∶2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB,当太阳光与水平面的夹角为60°时,大树在斜坡上的影子BE长为10米,则大树AB的高为　(4-2)　米.
7.(2024·陕西中考)如图所示,一座小山顶的水平观景台的海拔为1 600 m,小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔.他在该观景台上选定了一点A,在点A处测得C点的仰角∠CAE=42°,再在AE上选一点B,在点B处测得C点的仰角α=45°,AB=10 m.求山顶C点处的海拔.(小明身高忽略不计,参考数据:sin 42° ≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
【解析】过点C作CD⊥AE,交AE的延长线于点D,设BD=x m,
∵AB=10 m,
∴AD=AB+BD=(x+10)m,
在Rt△BCD中,∠CBD=45°,
∴CD=BD·tan45°=x(m),
在Rt△ACD中,∠A=42°,
∴CD=AD·tan42°≈0.9(x+10)m,
∴x=0.9(x+10),解得:x=90,
∴CD=90 m,∵小山顶的水平观景台的海拔为1 600 m,∴山顶C点处的海拔约为1 600+90=1 690(m),
∴山顶C点处的海拔约为1 690 m.
B层·能力提升
8.如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上,则tan∠ACB的值为(B)
A. B. C. D.3
9.如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上,线段AB,PQ相交于点M,则图中∠QMB的正切值是(D)
A. B.1 C. D.2
10.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是边BC上两点,且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为(A)
A. B. C. D.
11.(2024·内江中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan∠EFC= 　.
12.(2024·湖南中考)如图,图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图,图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为　(6-2)　分米(结果用含根号的式子表示).
C层·素养挑战
13.(2024·安徽中考)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验,如图,光线自点B处发出,经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α=36.9°,点B到水面的距离BC=1.20 m,点A处水深为1.20 m,到池壁的水平距离AD=
2.50 m.点B,C,D在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β,折射角为γ,求的值(精确到0.1).
(参考数据:sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75.)
【解析】过点E作EH⊥AD于点H,由题意可知,∠CEB=α=36.9°,EH=1.20 m,
∴CE=≈=1.60(m),AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90(m),
∴AE===1.50(m),∴sin γ===0.60,
∵sin β=sin∠CBE==cos∠CEB=cos α=0.80,∴=≈1.3.

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