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第十讲　一次函数
A层·基础过关
1.若y=(m-1)x2-|m|+3是关于x的一次函数,则m的值为(B)
A.1 B.-1 C.±1 D.±2
2.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则直线y=-bx-k的图象只能是图中的(A)
3.如图,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则关于x的不等式x+b>kx+6的解集为(A)
A.x>3 B.x>5
C.x<3 D.无法确定
4.在平面直角坐标系中,将一次函数y=kx-1(k是常数)的图象向上平移2个单位长度后经过点(2,3),则k的值为(A)
A.1 B.-1 C.-2 D.2
5.如图,一次函数y=kx+2(k为常数且k≠0)和y=x+3的图象相交于点A,根据图象可知关于x的方程kx+2=x+3的解是(A)
A.x=1 B.x=2
C.x=3 D.x=4
6.如图,若直线y=kx+b与x轴交于点A(-2,0),与y轴正半轴交于点B,且△OAB的面积为6,则该直线的解析式为(B)
A.y=x+6 B.y=3x+6
C.y=x+3 D.y=x+3
7.(2024·自贡中考)一次函数y=(3m+1)x-2的值随x的增大而增大,请写出一个满足条件的m的值　1(答案不唯一)　.
8.(2024·上海中考)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售额1 000万元,当投入90万元时销售额5 000万元.则投入80万元时,销售额为　4 500　万元.
9.(2024·凉山州中考)如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC的面积为　9　.
10.(2024·眉山中考)眉山是“三苏”故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业篷勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A款文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问:怎样进货才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是多少元
【解析】(1)设A款文创产品每件的进价是a元,则B款文创产品每件的进价是(a-15)元,根据题意得:=,
解得a=80,经检验,a=80是原分式方程的解,80-15=65.
答:A款文创产品每件的进价是80元,B款文创产品每件的进价是65元.
(2)设购进A款文创产品x件,则购进B款文创产品(100-x)件,总利润为W,根据题意得:80x+65(100-x)≤7 400,解得:x≤60,
∴W=(100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1 500,
∵k=5>0,w随x的增大而增大,
∴当x=60时,利润最大,W最大=5×60+1 500=1 800.
答:购进A款文创产品60件,购进B款文创产品40件,才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是1 800元.
B层·能力提升
11.(2024·南充中考)当2≤x≤5时,一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6,则实数m的值为(A)
A.-3或0 B.0或1　
C.-5或-3 D.-5或1
12.在平面直角坐标系中,直线l:y=x-1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn-1,使得点A1,A2,A3,…在直线l上,点C1,C2,C3,…在y轴正半轴上,则点Bn的坐标是　(,2n-1)　.
13.甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系图象;折线B-C-D表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系图象,则货车出发　3.9　小时与轿车相遇.
14.(2024·达州中考)为拓宽销售渠道,助力乡村振兴,某乡镇帮助农户将A,B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元,且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共
3 500元.
(1)求A,B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元.
(2)已知加工A,B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元,乡镇计划在某农产品展销活动中售出A,B两种柑橘礼盒共1 000盒,且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍,总成本不超过54 050元,要使农户收益最大,该乡镇应怎样安排A,B两种柑橘礼盒的销售方案,并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元
【解析】(1)设A种柑橘礼盒每件的售价为x元,则B种柑橘礼盒每件的售价为(x+20)元,
由题意得:25x+15(x+20)=3 500,
解得x=80,
∴x+20=100,
答:A种柑橘礼盒每件的售价为80元,B种柑橘礼盒每件的售价为100元;
(2)设销售A种柑橘礼盒为m盒,则销售B种柑橘礼盒为(1 000-m)盒,
由题意得:,
解得595≤m≤600,
设收益为w元,
由题意得:w=(80-50)m+(100-60)(1 000-m)=-10m+40 000,
∵-10<0,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=595时,w有最大值=-10×595+40 000=34 050,
此时,1 000-m=1 000-595=405,
答:使农户收益最大,应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒,B种柑橘礼盒为405盒,农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34 050元.
C层·素养挑战
15.如图1,在矩形ABCO中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4,3),点A,C在坐标轴上,点D在BC边上,直线l:y=2x-3.
(1)分别求直线l与边AB、边OC的交点坐标;
(2)如图2,当点D为BC边的中点时,点M,N为OC边上两个动点且MN=1,求四边形ADNM周长的最小值;
(3)已知点E在第一象限,且是直线l上的点,若△ADE是等腰直角三角形,直接写出点E的坐标.
【解析】(1)当y=0时,2x-3=0,解得x=,∴直线l与边OC的交点为;
当y=3时,2x-3=3,解得x=3,
∴直线l与边AB的交点为(3,3);
(2)如图,在AB上截取线段AP=1,作点P关于OC的对称点G,连接DG与OC交于一点即为N,将点N向左平移一个单位得到点M,连接AM,过点G作OC的平行线交BC的延长线于点H,此时四边形ADNM的周长最小,
∵GH=PB=3,DH=PG-BD=6-=,∠H=90°,
∴GD===,
∴PN+DN=,
由题知,四边形APNM是平行四边形,
∴AM=PN,∴AM+DN=,
∵AD===,
∴四边形ADNM的周长最小值为AM+ND+MN+AD=+1+=;
(3)①若点A为直角顶点时,点E在第一象限,连接AC,如图,
∵∠ADB>∠ACB>45°,
∴△ADE不可能是等腰直角三角形,
∴此情况点E不存在;
②若点D为直角顶点时,点E在第一象限,过点E作EN⊥CB,交CB的延长线于点N,
此时AD=DE,∠BAD=∠NDE,∠ABD=∠DNE=90°,∴△ABD≌△DNE(AAS),
∴AB=DN=4,EN=BD,
设E(x,2x-3),则EN=x-4,
∴2x-3=4+3-(x-4),解得x=,
∴此时E;
③若点E为直角顶点时,点E在第一象限,如图,
设E(m,2m-3),过点E作EG⊥OA于G,GE延长线交BC于点H,
同理②得,Rt△AEG≌Rt△EDH,
∴AG=EH=3-(2m-3)=6-2m,
∴m+6-2m=4,解得m=2,∴E(2,1),
设E'(a,2a-3),同理可得a+2a-3-3=4,解得a=,∴E',综上所述,点E的坐标为或(2,1)或.第十讲　一次函数
A层·基础过关
1.若y=(m-1)x2-|m|+3是关于x的一次函数,则m的值为( )
A.1 B.-1 C.±1 D.±2
2.若直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则直线y=-bx-k的图象只能是图中的( )
3.如图,直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P(3,5),则关于x的不等式x+b>kx+6的解集为( )
A.x>3 B.x>5
C.x<3 D.无法确定
4.在平面直角坐标系中,将一次函数y=kx-1(k是常数)的图象向上平移2个单位长度后经过点(2,3),则k的值为( )
A.1 B.-1 C.-2 D.2
5.如图,一次函数y=kx+2(k为常数且k≠0)和y=x+3的图象相交于点A,根据图象可知关于x的方程kx+2=x+3的解是( )
A.x=1 B.x=2
C.x=3 D.x=4
6.如图,若直线y=kx+b与x轴交于点A(-2,0),与y轴正半轴交于点B,且△OAB的面积为6,则该直线的解析式为( )
A.y=x+6 B.y=3x+6
C.y=x+3 D.y=x+3
7.(2024·自贡中考)一次函数y=(3m+1)x-2的值随x的增大而增大,请写出一个满足条件的m的值 .
8.(2024·上海中考)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时销售额1 000万元,当投入90万元时销售额5 000万元.则投入80万元时,销售额为 万元.
9.(2024·凉山州中考)如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6)、B(0,3)两点,交x轴于点C,则△AOC的面积为 .
10.(2024·眉山中考)眉山是“三苏”故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业篷勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A款文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问:怎样进货才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是多少元
B层·能力提升
11.(2024·南充中考)当2≤x≤5时,一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6,则实数m的值为( )
A.-3或0 B.0或1　
C.-5或-3 D.-5或1
12.在平面直角坐标系中,直线l:y=x-1与x轴交于点A1,如图所示依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形AnBnCnCn-1,使得点A1,A2,A3,…在直线l上,点C1,C2,C3,…在y轴正半轴上,则点Bn的坐标是 .
13.甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系图象;折线B-C-D表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系图象,则货车出发 小时与轿车相遇.
14.(2024·达州中考)为拓宽销售渠道,助力乡村振兴,某乡镇帮助农户将A,B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售.已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元,且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共
3 500元.
(1)求A,B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元.
(2)已知加工A,B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元,乡镇计划在某农产品展销活动中售出A,B两种柑橘礼盒共1 000盒,且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍,总成本不超过54 050元,要使农户收益最大,该乡镇应怎样安排A,B两种柑橘礼盒的销售方案,并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元
C层·素养挑战
15.如图1,在矩形ABCO中,点O为坐标原点,点B的坐标为(4,3),点A,C在坐标轴上,点D在BC边上,直线l:y=2x-3.
(1)分别求直线l与边AB、边OC的交点坐标;
(2)如图2,当点D为BC边的中点时,点M,N为OC边上两个动点且MN=1,求四边形ADNM周长的最小值;
(3)已知点E在第一象限,且是直线l上的点,若△ADE是等腰直角三角形,直接写出点E的坐标.

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