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第十六讲　全等三角形
A层·基础过关
1.给定三角形的两个元素,画出的三角形的形状和大小都是不能确定的,在下列给定的条件下,再增加一个“AB=5 cm”的条件后,所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是(A)
A.∠A=30°,BC=3 cm
B.∠A=30°,AC=6 cm
C.∠A=30°,∠C=50°
D.BC=2 cm,AC=6 cm
2.如图,已知△ABC≌△DEF,点B,F,C,E在同一条直线上,若BE=7,CE=2,则线段CF的长为(C)
A.2 B.2.5 C.3 D.5
3.如图,图中的两个三角形全等,则∠α等于(B)
A.71° B.59° C.49° D.50°
4.(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为(B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
5.(2024·牡丹江中考)如图,△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件　DE=EF或AD=CF(答案不唯一).　,使得AE=CE.(只添一种情况即可)
6.(2024·成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为　100°　.
7.(2024·临夏州中考)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是　(1,4)　.
8.(2024·内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
【解析】(1)∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,
即AB=DE,
在△ABC和△DEF中,,
△ABC≌△DEF(SSS);
(2)∵∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知:△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°,
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
B层·能力提升
9.(2024·安徽中考)在凸五边形ABCDE中,AB=AE,BC=DE,F是CD的中点.下列条件中,不能推出AF与CD一定垂直的是(D)
A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF
C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC
10.(2024·遂宁中考)如图1,△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,
∠C≠∠C1,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2,在△ABC中,AB=AC,点D,E在线段BC上,且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形”(D)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
11.(2024·广州中考)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为(C)
A.18 B.9 C.9 D.6
12.(2024·南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,AD平分∠CAB交BC于点D,点E为边AB上一点,则线段DE长度的最小值为(C)
A. B. C.2 D.3
13.(2024·宜宾中考)如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,以BC为边作Rt△BCD,
BC=BD,点D与点A在BC的两侧,则AD的最大值为(D)
A.2+3 B.6+2
C.5 D.8
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为　3　.
C层·素养挑战
15.(1)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,则DE,BF,EF之间的数量关系为　　　　　　　.
(2)如图2,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,E,F分别为DC,BC边上的点,且
∠EAF=∠DAB,试猜想DE,BF,EF之间的数量关系,并证明你的猜想.
(3)将两个全等的等腰直角△ABC和△AFG按如图3所示摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,AF,AG与边BC的交点分别为D,E,求证:DE2=BD2+CE2.
【解析】(1)DE+BF=EF.理由如下:
如图,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABH的位置,
由旋转可得AH=AE,BH=DE.∠HAE=90°,
∵∠EAF=45°,∴∠HAF=∠EAF=45°.
在△AHF和△AEF中,,
∴△AHF≌△AEF(SAS),∴EF=HF.
∵HF=BH+BF,∴EF=DE+BF.
(2)EF=DE+BF,理由如下:
如图,将△ADE绕点A顺时针旋转到△ABH的位置,
由旋转可得AH=AE,BH=DE,∠1=∠2.
∵∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+90°=180°,
∴H,B,F三点共线.∵∠EAF=∠DAB,
∴∠HAF=∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD,
∴∠HAF=∠EAF.
在△AHF和△AEF中,,
∴△AHF≌△AEF(SAS),∴EF=HF.
∵HF=BH+BF,∴EF=DE+BF.
(3)如图,将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置,
则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.
连接HD,在△EAD和△HAD中,
∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.
∴△EAD≌△HAD(SAS),∴DH=DE.
∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°,
∴BD2+HB2=DH2,∴BD2+CE2=DE2.第十六讲　全等三角形
A层·基础过关
1.给定三角形的两个元素,画出的三角形的形状和大小都是不能确定的,在下列给定的条件下,再增加一个“AB=5 cm”的条件后,所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是( )
A.∠A=30°,BC=3 cm
B.∠A=30°,AC=6 cm
C.∠A=30°,∠C=50°
D.BC=2 cm,AC=6 cm
2.如图,已知△ABC≌△DEF,点B,F,C,E在同一条直线上,若BE=7,CE=2,则线段CF的长为( )
A.2 B.2.5 C.3 D.5
3.如图,图中的两个三角形全等,则∠α等于( )
A.71° B.59° C.49° D.50°
4.(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
5.(2024·牡丹江中考)如图,△ABC中,D是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件 ,使得AE=CE.(只添一种情况即可)
6.(2024·成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 .
7.(2024·临夏州中考)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是 .
8.(2024·内江中考)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
B层·能力提升
9.(2024·安徽中考)在凸五边形ABCDE中,AB=AE,BC=DE,F是CD的中点.下列条件中,不能推出AF与CD一定垂直的是( )
A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF
C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC
10.(2024·遂宁中考)如图1,△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,
∠C≠∠C1,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2,在△ABC中,AB=AC,点D,E在线段BC上,且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形”( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
11.(2024·广州中考)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为( )
A.18 B.9 C.9 D.6
12.(2024·南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,AD平分∠CAB交BC于点D,点E为边AB上一点,则线段DE长度的最小值为( )
A. B. C.2 D.3
13.(2024·宜宾中考)如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,以BC为边作Rt△BCD,
BC=BD,点D与点A在BC的两侧,则AD的最大值为( )
A.2+3 B.6+2
C.5 D.8
14.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 .
C层·素养挑战
15.(1)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别为DC,BC边上的点,且满足∠EAF=45°,连接EF,则DE,BF,EF之间的数量关系为 .
(2)如图2,将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,E,F分别为DC,BC边上的点,且
∠EAF=∠DAB,试猜想DE,BF,EF之间的数量关系,并证明你的猜想.
(3)将两个全等的等腰直角△ABC和△AFG按如图3所示摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,AF,AG与边BC的交点分别为D,E,求证:DE2=BD2+CE2.

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