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第十七讲　等腰三角形和直角三角形
A层·基础过关
1.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
3.下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2024·青海中考)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是( )
A.3 B.6 C. D.3
5.如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
6.如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若=16,则=( )
A.4　 　B.8　　C.12　 D.16
7.(2024·浙江中考)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF, △CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE =( )
A.5 B.2 C. D.4
8.(2024·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是( )
A.- B.-　
C.2-2 D.2-
9.(2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为 .
10.(2024·新疆中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为 .
11.(2024·自贡中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.
(1)求证:∠BDF=∠A.
(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.
B层·能力提升
12.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为( )
A.24 B.36 C.40 D.44
13.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于( )
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
14.(2024·吉林中考)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为 .
15.(2024·达州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠BAD=45°,若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是 .
16.(2024·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 .
C层·素养挑战
17.(2024·龙东中考)已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠MAN=∠BAC,∠MAN在∠BAC的内部,点M,N在BC上,点M在点N的左侧,探究线段BM,NC,MN之间的数量关系.
(1)如图①,当∠BAC=90°时,探究如下:
由∠BAC=90°,AB=AC可知,将△ACN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABP,则CN=BP且∠PBM=90°,连接PM,易证△AMP≌△AMN,可得MP=MN,在Rt△PBM中,BM2+BP2=MP2,则有BM2+NC2=MN2.
(2)当∠BAC=60°时,如图②;当∠BAC=120°时,如图③,分别写出线段BM,NC,MN之间的数量关系,并选择图②或图③进行证明.第十七讲　等腰三角形和直角三角形
A层·基础过关
1.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为(C)
A.70° B.100° C.110° D.140°
2.△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2++|c-3|=0,则△ABC是(D)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
3.下列命题:①直线外一点到这条直线的垂线段,叫做点到直线的距离;②两点之间线段最短;③相等的圆心角所对的弧相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中,真命题的个数是(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2024·青海中考)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是(A)
A.3 B.6 C. D.3
5.如图,BD是等边△ABC的边AC上的高,以点D为圆心,DB长为半径作弧交BC的延长线于点E,则∠DEC=(C)
A.20° B.25° C.30° D.35°
6.如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF.若=16,则=(B)
A.4　 　B.8　　C.12　 D.16
7.(2024·浙江中考)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF, △CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE =(C)
A.5 B.2 C. D.4
8.(2024·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,则BD的长是(B)
A.- B.-　
C.2-2 D.2-
9.(2024·内江中考)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为　100°　.
10.(2024·新疆中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为　6或12　.
11.(2024·自贡中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.
(1)求证:∠BDF=∠A.
(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.
【解析】(1)∵DE∥BC,
∴∠C=∠AED,∵∠EDF=∠C,
∴∠AED=∠EDF,
∴DF∥AC,∴∠BDF=∠A.
(2)∵∠A=45°,∴∠BDF=45°,
∵DF平分∠BDE,
∴∠BDE=2∠BDF=90°,∵DE∥BC,
∴∠B=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.
B层·能力提升
12.(2024·眉山中考)如图,图1是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中大正方形的面积为(D)
A.24 B.36 C.40 D.44
13.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于(C)
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
14.(2024·吉林中考)图①中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图②,其中AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC的长度为x尺,可列方程为　x2+22=(x+0.5)2　.
15.(2024·达州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,且∠BAD=45°,若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是 　.
16.(2024·齐齐哈尔中考)已知矩形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为　2或　.
C层·素养挑战
17.(2024·龙东中考)已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠MAN=∠BAC,∠MAN在∠BAC的内部,点M,N在BC上,点M在点N的左侧,探究线段BM,NC,MN之间的数量关系.
(1)如图①,当∠BAC=90°时,探究如下:
由∠BAC=90°,AB=AC可知,将△ACN绕点A顺时针旋转90°,得到△ABP,则CN=BP且∠PBM=90°,连接PM,易证△AMP≌△AMN,可得MP=MN,在Rt△PBM中,BM2+BP2=MP2,则有BM2+NC2=MN2.
(2)当∠BAC=60°时,如图②;当∠BAC=120°时,如图③,分别写出线段BM,NC,MN之间的数量关系,并选择图②或图③进行证明.
【解析】图②的结论是BM2+NC2+BM·NC=MN2.
证明:∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°,在BK上截取BQ=CN,连接QA、QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H,
∵AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ,
∴△ACN≌△ABQ(SAS),
∴AN=AQ,∠CAN=∠QAB,
又∵∠CAN+∠BAM=30°,
∴∠BAM+∠QAB=30°,
即∠QAM=∠MAN,
又∵AM=AM,
∴△AQM≌△ANM(SAS),
∴MN=QM;
∵∠ABQ=60°,∠ABC=60°,
∴∠QBH=60°,
∴∠BQH=30°,
∴BH=BQ,QH=BQ,
∴HM=BM+BH=BM+BQ,
在Rt△QHM中,可得:QH2+HM2=QM2,即+=QM2,
整理得BM2+BQ2+BM·BQ=QM2.
∴BM2+NC2+BM·NC=MN2.
图③的结论是:BM2+NC2-BM·NC=MN2.
证明:以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=30°,在BK上截取BQ=CN,连接QA、QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H,
∵AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ,
∴△ACN≌△ABQ(SAS),
∴AN=AQ,∠CAN=∠QAB,
又∵∠CAN+∠BAM=60°,
∴∠BAM+∠QAB=60°,即∠QAM=∠MAN,
又∵AM=AM,
∴△AQM≌△ANM(SAS),
∴MN=QM,
在Rt△BQH中,∠QBH=60°,∠BQH=30°,
∴BH=BQ,QH=BQ,
HM=BM-BH=BM-BQ,
在Rt△QHM中,可得:QH2+HM2=QM2,即+=QM2,
整理得BM2+BQ2-BM·BQ=QM2.
∴BM2+NC2-BM·NC=MN2.

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