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第十三讲　二次函数的应用
A层·基础过关
1.《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为　　　　m.(D)
A.13 B.14 C.15 D.16
2.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2024·甘肃中考)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车　能　完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
4.某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动.跳绳时,绳摇到最高处时的形状是抛物线.正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳,小明和小强站原地正常摇绳的情况下,问绳子能否顺利从王老师头顶越过 请说明理由;
(3)如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳,他站在O,D之间,且离点O的距离为m米,当绳子摇到最高处时,m在什么范围内,绳子能顺利越过他头顶 请结合图象,直接写出m的取值范围.
【解析】(1)由题意可知,B(6,0.9),OF=1,EF=1.4,E(1,1.4),
把B(6,0.9),E(1,1.4)代入y=ax2+bx+0.9得,,
解得:,
∴该抛物线的表达式为y=-0.1x2+0.6x+0.9;
(2)能,理由如下:∵y=-0.1x2+0.6x+0.9=-0.1(x-3)2+1.8,
∴抛物线的顶点坐标为(3,1.8),即绳子甩到最高处时的高度为1.8米,
∵1.75<1.8,
∴绳子能顺利从王老师头顶越过;
(3)令y=1.7,则-0.1x2+0.6x+0.9=1.7,
解得:x1=2,x2=4,
∴2B层·能力提升
5.掷实心球是中考体育考试选考项目之一,明明发现实心球从出手到落地的过程中,共竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系,明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程,实心球在空中运动时的水平距离x(单位:m)与竖直高度y(单位:m)的数据如表:
水平距离x/m 0 2 4 6
竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.2
在投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离为(D)
A.6米 B.8米 C.9米 D.10米
6.(2024·新疆中考)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为:y1=5x;成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中是其顶点.
(1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式;
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少
(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润 最大利润是多少
(注:利润=销售额-成本)
【解析】(1)由题意,∵顶点为,
∴可设抛物线为y2=a+.
又抛物线过(2,4),
∴a×+=4.
∴a=1.
∴y2=+.
(2)由题意,当销售量x=时,成本最低为,
又销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为:y1=5x,
∴当x=时,销售额为y1=5x=5×=2.5.
∴此时利润为2.5-=0.75(万元).
答:当成本最低时,销售产品所获利润是0.75万元.
(3)由题意,当销售量在0.4吨至3.5吨时,利润=y1-y2
=5x--
=-x2+6x-2
=-(x-3)2+7.
∵-1<0,
∴当x=3时,利润取最大值,最大值为7.
答:当销售量是3吨时,可获得最大利润,最大利润是7.
C层·素养挑战
7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA.
(1)试求抛物线的表达式.
(2)直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=,试求m的最大值及此时点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q,N,使得以P,D,Q,N四点组成的四边形是矩形 如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,0),
B(4,0)两点,∴设y=a(x+2)(x-4),
∵OC=2OA,OA=2,
∴C(0,4),代入抛物线的表达式得到a=-,∴y=-(x+2)(x-4)或y=-x2+x+4或y=-(x-1)2+.
(2)如图1中,由题意,点P在y轴的右侧,作PE⊥x轴于点E,交BC于点F.
∵CD∥PE,∴△CMD∽△FMP,
∴m==,
∵直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,则D(0,1),
∵BC的表达式为y=-x+4,
设P,则F(n,-n+4),
∴PF=-n2+n+4-(-n+4)=-(n-2)2+2,
∴m==-(n-2)2+,
∵-<0,∴当n=2时,m有最大值,
最大值为,此时P(2,4).
(3)存在这样的点Q,N,使得以P,D,Q,N四点组成的四边形是矩形.
①当DP是矩形的边时,有两种情形,
a.如图2-1中,四边形DQNP是矩形时,
由(2)可知P(2,4),代入y=kx+1中,得到k=,
∴直线DP的表达式为y=x+1,可得D(0,1),E,
由△DOE∽△QOD可得=,
∴OD2=OE·OQ,
∴1=·OQ,∴OQ=,∴Q.
根据矩形的性质,将点P向右平移个单位,向下平移1个单位得到点N,
∴N,即N.
b.如图2-2中,四边形PDNQ是矩形时,
∵直线PD的表达式为y=x+1,PQ⊥PD,
∴直线PQ的表达式为y=-x+,
∴Q(8,0),
根据矩形的性质可知,将点D向右平移6个单位,向下平移4个单位得到点N,
∴N(0+6,1-4),即N(6,-3).
②当DP是对角线时,设Q(x,0),则QD2=x2+1,QP2=(x-2)2+42,PD2=13,
∵Q是直角顶点,∴QD2+QP2=PD2,
∴x2+1+(x-2)2+16=13,
整理得x2-2x+4=0,方程无解,此种情形不存在.
综上所述,满足条件的点N坐标为或(6,-3).第十三讲　二次函数的应用
A层·基础过关
1.《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来解释.公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为 m.( )
A.13 B.14 C.15 D.16
2.如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m2;③菜园ABCD面积的最大值为200 m2.其中,正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(2024·甘肃中考)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
4.某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动.跳绳时,绳摇到最高处时的形状是抛物线.正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处,绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点E.以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系,设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳,小明和小强站原地正常摇绳的情况下,问绳子能否顺利从王老师头顶越过 请说明理由;
(3)如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳,他站在O,D之间,且离点O的距离为m米,当绳子摇到最高处时,m在什么范围内,绳子能顺利越过他头顶 请结合图象,直接写出m的取值范围.
B层·能力提升
5.掷实心球是中考体育考试选考项目之一,明明发现实心球从出手到落地的过程中,共竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系,明明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程,实心球在空中运动时的水平距离x(单位:m)与竖直高度y(单位:m)的数据如表:
水平距离x/m 0 2 4 6
竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.2
在投掷过程中,实心球从起点到落地点的水平距离为( )
A.6米 B.8米 C.9米 D.10米
6.(2024·新疆中考)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为:y1=5x;成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中是其顶点.
(1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式;
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少
(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润 最大利润是多少
(注:利润=销售额-成本)
C层·素养挑战
7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,且OC=2OA.
(1)试求抛物线的表达式.
(2)直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=,试求m的最大值及此时点P的坐标.
(3)在(2)的条件下,点Q是x轴上的一个动点,点N是坐标平面内的一点,是否存在这样的点Q,N,使得以P,D,Q,N四点组成的四边形是矩形 如果存在,请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

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