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第十五讲　三角形
A层·基础过关
1.以下列长度的各组线段为边,能组成三角形的是( )
A.6 cm,4 cm,7 cm B.4 cm,6 cm,11 cm
C.2 cm,2 cm,5 cm D.1 cm,2 cm,3 cm
2.(2024·陕西中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连接AE,则图中的直角三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.下列说法正确的是( )
A.三角形的角平分线是线段　
B.连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线　
C.三角形的高都在三角形的内部　
D.直角三角形的三条高线交于直角顶点处
4.马扎是中国传统手工艺制品,腿交叉,上面绷帆布或麻绳等,可以合拢,方便携带,抽象出的几何图形如图所示.若∠BOD=80°,∠AEC=125°,则∠A=( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
5.在下列各图的△ABC中,正确画出AC边上的高的图形是( )
6.已知△ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高AD=8,则△ABC的面积为( )
A.168 B.84
C.84或36 D.168或72
7.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,且△ABC的面积为32,则△BEF的面积是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
8.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= .
9.如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠A=30°,D是AC上一点将△ABC沿BD折叠,使C点落在AB边上的点C'处,则∠ADC'= °.
10.如图,已知:AD平分∠BAC,点F是AD反向延长线上的一点,EF⊥BC,∠1=40°,∠C=65°.求:∠B和∠F的度数.
B层·能力提升
11.如图,小明为了估计池塘两岸A,B间的距离,在池塘一侧选取了点O,测得OA=
6 m,OB=9 m,那么A,B间的距离不可能是( )
A.6 m B.7 m C.13 m D.15 m
12.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为( )
A.105° B.75° C.65° D.55°
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CE,CD分别是△ACB的角平分线和高线,交AB于点E,D.则∠DCE为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
14.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
15.如图,AD是△ABC的角平分线,B,C,E共线,则α,β,γ之间的数量关系是( )
A.∠α+∠β=∠γ　 　 B.2∠α-∠β=∠γ　
C.2∠β-∠α=∠γ D.2∠γ-∠α=∠β
16.如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”,若BC⊥EF,∠ABC=140°,∠AFE=75°,则∠A的度数为( )
A.40° B.30° C.25° D.20°
17.(2024·达州中考)如图,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角
∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD=∠E1AB,∠E2BD=∠E1BD,…,以此规律作下去,若∠C=m°,则∠En= °.
C层·素养挑战
18.在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1)如图①,如果∠A=70°,求∠BPC的度数;
(2)如图②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,试探索∠Q,∠A之间的数量关系并证明你的结论.
(3)如图③,在(2)的基础上,延长线段BP,QC交于点E,△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.第十五讲　三角形
A层·基础过关
1.以下列长度的各组线段为边,能组成三角形的是(A)
A.6 cm,4 cm,7 cm B.4 cm,6 cm,11 cm
C.2 cm,2 cm,5 cm D.1 cm,2 cm,3 cm
2.(2024·陕西中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连接AE,则图中的直角三角形共有(C)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.下列说法正确的是(D)
A.三角形的角平分线是线段　
B.连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线　
C.三角形的高都在三角形的内部　
D.直角三角形的三条高线交于直角顶点处
4.马扎是中国传统手工艺制品,腿交叉,上面绷帆布或麻绳等,可以合拢,方便携带,抽象出的几何图形如图所示.若∠BOD=80°,∠AEC=125°,则∠A=(A)
A.45° B.50° C.55° D.60°
5.在下列各图的△ABC中,正确画出AC边上的高的图形是(B)
6.已知△ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高AD=8,则△ABC的面积为(C)
A.168 B.84
C.84或36 D.168或72
7.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别是BC,AD,CE的中点,且△ABC的面积为32,则△BEF的面积是(D)
A.2 B.4 C.6 D.8
8.如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A=　90°　.
9.如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠A=30°,D是AC上一点将△ABC沿BD折叠,使C点落在AB边上的点C'处,则∠ADC'=　40　°.
10.如图,已知:AD平分∠BAC,点F是AD反向延长线上的一点,EF⊥BC,∠1=40°,∠C=65°.求:∠B和∠F的度数.
【解析】∵AD平分∠BAC,∠1=40°,
∴∠BAC=2∠1=80°.
在△ABC中,∠C=65°,∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-65°=35°.
∵∠EDF是△ABD的外角;
∴∠EDF=∠B+∠1=35°+40°=75°.
∵EF⊥BC,∴∠DEF=90°.∴在Rt△EDF中,∠F=90°-∠EDF=90°-75°=15°.
B层·能力提升
11.如图,小明为了估计池塘两岸A,B间的距离,在池塘一侧选取了点O,测得OA=
6 m,OB=9 m,那么A,B间的距离不可能是(D)
A.6 m B.7 m C.13 m D.15 m
12.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为(B)
A.105° B.75° C.65° D.55°
13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CE,CD分别是△ACB的角平分线和高线,交AB于点E,D.则∠DCE为(A)
A.15° B.20° C.25° D.30°
14.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于(C)
A.10 B.7 C.5 D.4
15.如图,AD是△ABC的角平分线,B,C,E共线,则α,β,γ之间的数量关系是(C)
A.∠α+∠β=∠γ　 　 B.2∠α-∠β=∠γ　
C.2∠β-∠α=∠γ D.2∠γ-∠α=∠β
16.如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”,若BC⊥EF,∠ABC=140°,∠AFE=75°,则∠A的度数为(C)
A.40° B.30° C.25° D.20°
17.(2024·达州中考)如图,在△ABC中,AE1,BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等分线,且∠E1AD=∠CAB,∠E1BD=∠CBD,在△ABE1中,AE2,BE2分别是内角
∠E1AB,外角∠E1BD的三等分线,且∠E2AD=∠E1AB,∠E2BD=∠E1BD,…,以此规律作下去,若∠C=m°,则∠En= m　°.
C层·素养挑战
18.在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1)如图①,如果∠A=70°,求∠BPC的度数;
(2)如图②,作△ABC外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,试探索∠Q,∠A之间的数量关系并证明你的结论.
(3)如图③,在(2)的基础上,延长线段BP,QC交于点E,△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,求∠A的度数.
【解析】(1)∵∠A=70°,
∴∠ABC+∠ACB=110°,∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点,
∴∠BPC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×110°=125°;
(2)∵外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,
∴∠QBC+∠QCB=(∠MBC+∠NCB)
=(360°-∠ABC-∠ACB)
=(180°+∠A)
=90°+∠A,
∴∠Q=180°-(90°+∠A)=90°-∠A;
(3)延长BC至F,
CQ为△ABC的外角∠NCB的平分线,
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线,
∴∠ACF=2∠ECF,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠EBC,
∵∠ECF=∠EBC+∠E,
∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E,
即∠ACF=∠ABC+2∠E,
又∵∠ACF=∠ABC+∠A,
∴∠A=2∠E,即∠E=∠A;
∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ
=∠ABC+∠MBC
=(∠ABC+∠A+∠ACB)=90°.
如果△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,那么分四种情况:
①∠EBQ=2∠E=90°,则∠E=45°,∠A=2∠E=90°;
②∠EBQ=2∠Q=90°,则∠Q=45°,∠E=45°,∠A=2∠E=90°;
③∠Q=2∠E,则90°-∠A=∠A,解得∠A=60°;
④∠E=2∠Q,则∠A=2(90°-∠A),解得∠A=120°.
综上所述,∠A的度数是90°或60°或120°.

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