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【期末臻选】备战2024-2025学年九年级沪科版数学上学期期末模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于反比例函数，下列说法不正确的是（　 　）
A．y随x的增大而减小 B．图象位于第一、三象限
C．图象关于直线对称 D．图象经过点（-1，-5）
3．如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合，则下列说法正确的是（ ）
A．这个图形一定是中心对称图形．
B．这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
C．这个图形旋转216度后能与它本身重合．
D．这个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
4．如图，P为的弦上的点，，的半径为5，则等于（ ）
A． B． C． D．4
5．如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
x 0 1 2
y 0
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数可改写为的形式
②二次函数的图象开口向下
③关于x的一元二次方程的两个根为0或2
④若，则
其中所有正确的结论为（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
7．如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若，平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，与相切于点D，交直径的延长线于点E，C为圆上一点，．若直径，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C． D．
9．如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）

A． B． C． D．
10．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（ ）
①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．计算： ．
12．如图，平面直角坐标系中，四边形的边在x轴正半轴上，轴，，点，连接．以为对称轴将翻折到，反比例函数的图象恰好经过点、B，则k的值是 ．
13．如图，△ABC的周长为24cm，AC=8cm，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，则△BMN的周长为 cm．

14．已知二次函数，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）该二次函数图象的对称轴为直线 ；
（2）若该函数图象与线段只有一个交点，则的取值范围是 ．
三、解答题
15．如图是的网格，网格中每个小正方形的顶点叫做格点，当三角形的三个顶点是格点时，这个三角形叫做格点三角形，图中阴影部分的三角形就是格点三角形．
(1)请在图一、图二中分别作出与阴影部分成轴对称的格点三角形，要求所作格点三角形在的网格内且位置不同；
(2)思考：在的网格内一共可以作___个符合（1）中要求的格点三角形．
16．已知a、b、c是的三边长，且，求：
(1)的值；
(2)若的周长为18，求各边的长．
17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求该二次函数的图象与x轴的交点坐标．
（2）当﹣1≤x≤5时，则y的范围是　 　≤y≤　 　（直接写出答案）．
18．阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则．
我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
(1)请用上述方法比较与的大小；
(2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
19．如图，中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．某网店销售某款童装，每件的售价为60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件的成本为40元．设该款童装每件的售价为x（元），每星期的销售量为y（件）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）试写出每星期的销售利润W（元）与售价x（元）之间的函数关系式，并求出每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润为多少元？
21．已知：如图，在中，是边上的中线，点是线段上一动点（点不与重合）．
(1)当时，求证：；
(2)设，求关于的函数解析式，并指出的取值范围；
(3)连接，当与相似时，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点、，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形．
(1)填空： ；
(2)求四边形的面积；
(3)若点是的中点，连接、．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接、．若与相似，求点的坐标．
23．一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为米、宽为米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．
（1）求整修后背水坡面的面积；
（2）如果栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，那么种植花草至少需要多少元？
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【期末臻选】备战2024-2025学年九年级沪科版数学上学期期末模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、由，则x与y的比例是，只是其中一特殊值，故此项不符合题意；
B、由，可化为，故此项不符合题意；
C、由，得，故此项不符合题意；
D、由，可化为，故此项符合题意；
故选：D．
2．关于反比例函数，下列说法不正确的是（　 　）
A．y随x的增大而减小 B．图象位于第一、三象限
C．图象关于直线对称 D．图象经过点（-1，-5）
【答案】A
【详解】解：选项A：要说成在每一象限内y随x的增大而减小，故选项A错误；
选项B：，故图像经过第一、三象限，所以选项B正确；
选项C：反比例函数关于直线对称，故选项C正确；
选项D：将（-1，-5）代入反比例函数中，等号两边相等，故选项D正确.
故答案为：A.
3．如果一个图形绕着一个点至少旋转72度才能与它本身重合，则下列说法正确的是（ ）
A．这个图形一定是中心对称图形．
B．这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
C．这个图形旋转216度后能与它本身重合．
D．这个图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．
【答案】C
【详解】解：∵旋转可以与原图形重合，则图形可以平分成个全等的部分，因而可能是轴对称图形，不可能是中心对称图形，故A，B，D错误．
由于，这个图形旋转后能与它本身重合，故C选项正确．
故选C．
4．如图，P为的弦上的点，，的半径为5，则等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为，
，，
，
∵，
，
，
，
由勾股定理得，，
．
故选：A．
5．如图所示，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点恰好在AB上，交AC于F，在不添加其他线段的情况下，图中与相似的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】由题意得：，，，，，
∵∠A=30°，∠ACB=90°
∴∠B=60°
∵
∴是等边三角形
∴
∴，∠，
∴∥BC
∵∠ACB=90°
∴
∴与相似的三角形有、△ABC、、
所以有4个
故选：C
6．已知二次函数的y与x的部分对应值如下表：
x 0 1 2
y 0
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数可改写为的形式
②二次函数的图象开口向下
③关于x的一元二次方程的两个根为0或2
④若，则
其中所有正确的结论为（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【详解】解：由表格可得，
∵该函数的图象经过，，
∴该函数图象的对称轴是直线，
∴该函数图象的顶点坐标是，有最小值，开口向上，
∴二次函数可改写为的形式，
故选项①正确，选项②错误；
∵该函数的图象经过，，
∴关于x的一元二次方程即方程的两个根为0或2，故选项③正确；
∵该函数的图象经过，关于对称轴的对称点为，且开口向上，
∴若，则或，故选项④错误；
综上，正确的结论为①③，
故选：C．
7．如图，将矩形沿对角线折叠，点B落在点E处，若，平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由折叠的性质得：，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
8．如图，与相切于点D，交直径的延长线于点E，C为圆上一点，．若直径，则的长度为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【详解】解：连接、，
∵的直径，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9．如图，某玩具品牌的标志由半径为的三个等圆构成，且三个等圆相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；
如图，连接，则，是等边三角形，
∴，弓形的面积相等，
∴阴影的面积＝扇形的面积，
∴图中三个阴影部分的面积之和；
故选：C.

10．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的个数是（ ）
①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④k＞a+b；⑤ac+k＞0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】试题分析：根据抛物线的性质逐项判断即可．由抛物线的开口判断a的符号；由对称轴判断b及b与2a的关系；还可由图象上点的坐标判断．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=﹣2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴①abc＞0错误；
②3a+b＞0正确；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞﹣1．
∴③﹣1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点
∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，．
由图象知x2＞1，
∴＞1
∴k＞a+b
∴④k＞a+b正确；
∵，
∴2a﹣ac=1．
∴ac=2a﹣1，
∵﹣1＜k＜0，
∴⑤令ax2+bx+c=kx+c，
∴ax+b=k，
∵b=﹣2a，
∴x=．
∵交点在B（2﹣c，0）右边，
∴＞2﹣c，
∴k+2a＞2a﹣ac，
∴ac+k＞0，故正确．
故选D．
二、填空题
11．计算： ．
【答案】/
【详解】解：，
故答案为：．
12．如图，平面直角坐标系中，四边形的边在x轴正半轴上，轴，，点，连接．以为对称轴将翻折到，反比例函数的图象恰好经过点、B，则k的值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，过点C作轴于D，过点作轴于G，连接交射线于E，过E作轴于F，
∵，轴，点，点B在反比例函数图象上，
∴，
在中，，
∴，
由翻折得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．如图，△ABC的周长为24cm，AC=8cm，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，则△BMN的周长为 cm．

【答案】8
【详解】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N，
∴ AF=AD，DM=MG，GN=NE，AF=AD,CE=CF,BE=BD
∵△ABC的周长为24cm，AC=8cm
∴BD+BE=24-AD-AF-FC-CE=24-(AD+EC) -(AF+FC) =24-2AC=8
∴△BMN的周长为BM+MG+GN+BN=( BM+MD) +(BN+NE)=BD+BE=8．
故答案为8．

14．已知二次函数，点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）该二次函数图象的对称轴为直线 ；
（2）若该函数图象与线段只有一个交点，则的取值范围是 ．
【答案】 或
【详解】解：（1）∵二次函数，顶点为
∴对称轴为直线，
故答案为：．
（2）①当顶点在线段上时，
解得：
②∵对称轴为直线，，抛物线开口向下，点A的坐标为，点B的坐标为，
∴当函数图象与线段只有一个交点，则时，当时，
∴
解得：
故答案为：或．
三、解答题
15．如图是的网格，网格中每个小正方形的顶点叫做格点，当三角形的三个顶点是格点时，这个三角形叫做格点三角形，图中阴影部分的三角形就是格点三角形．
(1)请在图一、图二中分别作出与阴影部分成轴对称的格点三角形，要求所作格点三角形在的网格内且位置不同；
(2)思考：在的网格内一共可以作___个符合（1）中要求的格点三角形．
【答案】(1)见解析
(2)3．
【详解】（1）如图一、二，即为所作图形，（虚线为对称轴）
（2）可以作出3个符合（1）中要求的格点三角形．
第3个如图所示，
故答案为：3
16．已知a、b、c是的三边长，且，求：
(1)的值；
(2)若的周长为18，求各边的长．
【答案】(1)1；
(2)，，．
【详解】（1）解：设，
则，，，
∴；
（2）解：设，
则，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，．
17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）求该二次函数的图象与x轴的交点坐标．
（2）当﹣1≤x≤5时，则y的范围是　 　≤y≤　 　（直接写出答案）．
【答案】（1）二次函数的图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）；（2）﹣4；12
【详解】（1）∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标是(3，0)、(﹣1，0)；
（2）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4知，该抛物线的顶点坐标是(1，﹣4)且开口方向向上．该抛物线的大致图象如下：
当x＝5时，y＝12．
当x＝﹣1时，y＝﹣4．
所以当﹣1≤x≤5时，则y的范围是﹣4≤y≤12．
故答案是：﹣4；12．
18．阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则．
我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”．
(1)请用上述方法比较与的大小；
(2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2），
证明：
∵，
∴，
∴
19．如图，中，为边上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：(负值已舍)．
20．某网店销售某款童装，每件的售价为60元，每星期可卖300件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件的成本为40元．设该款童装每件的售价为x（元），每星期的销售量为y（件）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）试写出每星期的销售利润W（元）与售价x（元）之间的函数关系式，并求出每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）；（2）；（3）售价定为55元时，有最大利润，最大利润为6750元
【详解】解：（1）根据题意得：；
（2）．
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为6750，
即当售价定为55元时，有最大利润，最大利润为6750元．
21．已知：如图，在中，是边上的中线，点是线段上一动点（点不与重合）．
(1)当时，求证：；
(2)设，求关于的函数解析式，并指出的取值范围；
(3)连接，当与相似时，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【详解】（1）证明：延长交的垂线于点，则．
，
．
．
，
．
．
又，
．
．
为边的中线，
．
又，
．
，
．
，
，
即．
（2）解：在中，，
．
在中，，
．
，
，
，
，
，
．
关于的函数解析式为，的取值范围为．
（3）解：连接．
在中，，
．
当，即时，即．
，此时．
当，即时，即．
，此时．
所以，当与相似时，的长为或．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点、，与轴交于点，，点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交抛物线于点，连接，四边形是平行四边形．
(1)填空： ；
(2)求四边形的面积；
(3)若点是的中点，连接、．点是抛物线上一点，是直线上一点，连接、．若与相似，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)8
(3)或
【详解】（1）解：，
则，则点，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故答案为：；
（2）解：如图1，过点作轴于．
，
．
，
设直线的函数关系式为，则：
，解得：，
直线的函数表达式是，
四边形是平行四边形，
且．
设点，
则点，
，
．
，
．
四边形的面积；
（3）解：如图2，过点作轴于，过点作于．
则．
，，
设直线的函数关系式为，则：
，解得：，
直线的函数表达式是．
直线与轴的交点．
．
，
，，
，
．
，
．
．
当 时，即，
，
．
，，
∴，即点G从而点F的纵坐标为2，
代入的函数表达式中，得．
；
当时，则，
，
则，
，
可设则，
中，，
（负值已舍去），
则，
∴，，
即点F的纵坐标为，代入的函数表达式中，得．
，
综上所述，点的坐标是或．
23．一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为米、宽为米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡的坡度由改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花．
（1）求整修后背水坡面的面积；
（2）如果栽花的成本是每平方米元，种草的成本是每平方米元，那么种植花草至少需要多少元？
【答案】米2元
【详解】（1）作AE⊥BC于E．
∵原来的坡度是1：0.75，∴=，设AE=4k，BE=3k，∴AB=5k．
又∵AB=5米，∴k=1，则AE=4米，设整修后的斜坡为AB′，由整修后坡度为1：，有tan∠AB′E=，∴∠AB′E=30°，∴AB′=2AE=8米，∴整修后背水坡面面积为90×8=720米2．
（2）∵要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，∴两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少．
∵整修后背水坡面面积为720米2，∴每一小块的面积是=80米2，∴需要花费20×5×80+25×4×80=16000元．
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