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第10章 综合素质评价
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知方程，下列选项中是此方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024苏州工业园区二模]《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当.这个题目的意思是：甲、乙两人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024南通海门区期中]若关于，的方程组的解互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024南京江宁区期末]方程组的解为则被遮盖的前后两个数分别为（ ）
A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4
6．在长为、宽为的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，满足方程组则无论取何值，，恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
8．[2024南通崇川区月考]若方程组的解是则方程组
的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．若是关于，的二元一次方程，则的值为________.
10．在方程中，用含的代数式表示为________________.
11．[2024南京鼓楼区期末]写出有一个解为的二元一次方程是____________________________.
12．已知是关于，的二元一次方程组的解，则__.
13．已知关于，的方程组的解的和是，则______.
14．若，，则的值为______.
15．若和都是方程的解，则______.
16．[2024无锡梁溪区校级模拟]在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组由算筹布置而成，如图①，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图①的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表达就是则图②所示的算筹图所表示的方程组的解为________________________________________.
17．[2024宿迁宿豫区三模]对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”，例如：，因为，所以2 136是“共生数”；再如，因为，所以5 479不是“共生数”.若“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为______.
18．已知关于，的二元一次方程，不论取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是__________________________________________.
三、解答题（共66分）
19．（6分）解下列方程组：
（1）
（2）
20．（6分）学校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1 560元.求大、小两种垃圾桶的单价.
21．[2024淮安清江浦区校级期中]（6分）小明、小丽两人同时解方程组请你根据如图所示中两人的对话，求出的值.
22．（6分）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解.
（1） 求这两个方程组的相同解；
（2） 求的值.
23．（8分）如图所示，已知，，，若 ， ，求和的度数.
24．[2024南通通州区月考]（8分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆型汽车、4辆型汽车的进价共计115万元；4辆型汽车、3辆型汽车的进价共计130万元.
（1） 求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元.
（2） 若该公司计划用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买）.求该公司共有几种购买方案？
25．[2024连云港海州区期末]（8分）已知有理数，满足，且求的值.
三名同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于，的方程组得到，用含的代数式表示，再代入，就可以求出的值；
乙同学：将原方程组中的两个方程相加，利用得到的式子与的等量关系，求的值；
丙同学：先解方程组再求的值.
请选择其中一名同学的解题思路，解答此题.
26．（10分）已知关于，的方程组
（1） 用含的代数式表示，；
（2） 若方程组的解也满足方程，求的值；
（3） 当，满足什么条件时，无论取何值，都是一个定值，请求出这个定值.
27．（8分）如果某个二元一次方程组的解互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”.
（1） 判断方程组是不是“关联方程组”，并说明理由；
（2） 如果关于，的方程组是“关联方程组”，求的值.
【参考答案】
第10章 综合素质评价
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．
10．
11．（答案不唯一）
12．18
13．2
[解析]点拨：
，得，
所以，
因为关于，的方程组的解的和是，所以.所以，解得.
14．3
15．2
16．
17．1 137
[解析]点拨：设千位上的数字为，个位上的数字为，则十位上的数字为，百位上的数字为，
根据题意，得或
当时，，
因为，，，均为一位正整数，
所以
所以，，
所以满足条件的“共生数”为1 137.
当时，，
因为，，，均为一位正整数，
所以无解.
综上所述，满足条件的“共生数”为1 137.
18．
[解析]点拨：将方程变形为，
当时，解得，
将代入方程，得，解得；
当时，解得，
将代入方程，得，
解得，
所以不论取何值，方程总有一个固定不变的解是
三、解答题（共66分）
19．（1） 解：
，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
故方程组的解为
（2） 原方程组整理得
,得，
将代入②,得，
解得，
故原方程组的解为
20．解：设大垃圾桶的单价为元/个，小垃圾桶的单价为元/个，
依题意得
解得
答：大垃圾桶的单价为180元/个，小垃圾桶的单价为60元/个.
21．解：由题意把代入，
得，所以.
由题意把代入，
得，
所以.
所以.
22．（1） 解：由题意，得
，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以这两个方程组的相同解为
（2） 把（1）中所求的相同解代入得解得
所以.
23．解：因为，，
所以，所以.
又因为，所以.所以.
所以 ， .
所以 .
设 ， ，
根据 ， ，
得解得
所以 .
24．（1） 解：设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，
由题意可得
解得
答：型汽车每辆进价为25万元，型汽车每辆进价为10万元.
（2） 设购买型汽车辆，型汽车辆，
由题意可得，且，，
所以.
又因为，均为正整数，所以或
所以该公司共有两种购买方案：
方案一：购买型汽车2辆，型汽车10辆；
方案二：购买型汽车4辆，型汽车5辆.
25．解：（任选一名同学的解题思路解答即可）例如，乙同学：
，得，
所以，
又因为，所以，解得.
26．（1） 解：
，得，解得，
把代入①，得，解得.
（2） 由（1）得方程组的解为
因为方程组的解也满足方程，
所以，解得.
（3） 将代入中，得
，
因为无论取何值，都是一个定值，
所以，即，
此时定值为.
27．（1） 解：方程组是“关联方程组”.
理由如下：
,得，
所以方程组是“关联方程组”.
（2）
,得.
因为关于，的方程组是“关联方程组”，所以.
所以，解得.
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