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第8章综合素质评价
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．[2024枣庄]下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024南京期中]下列各式中，能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B．
C． D．
4．[2024淮安洪泽区期中]下列各式中，计算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如果是完全平方式，则常数的值是（ ）
A．8 B． C． D．4
7．[2024盐城大丰区校级月考]若，均为整数，则的取值有（ ）
A．2种 B．4种 C．6种 D．8种
8．[2024河北]“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示，运算结果为3 036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“”表示5
C．运算结果小于6 000
D．运算结果可以表示为
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．计算__________________.
10．[2024盐城月考]如果单项式与是同类项，那么这两个单项式的积是____________________.
11．[2024南京秦淮区模拟]若，，则________.
12．若与的乘积中不含的一次项，则________.
13．计算____________.
14．[2024连云港期末]如图，从边长为的正方形纸片上剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为__________.
15．[2024南京三模]若是完全平方式，则____________.
16．若，，则______.
17．[2024泰州月考]若代数式可以表示为的形式，则的值是__.
18．若规定符号，则当时，的值为______.
三、解答题（共66分）
19．（12分）计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
20．（6分）运用公式进行简便计算：
（1） ；
（2） .
21．（6分）先化简，再求值：，其中.
22．（6分）已知代数式化简后，不含有项和常数项.
（1） 求，的值；
（2） 求的值.
23．（6分），两种商品的售价都是每件元，由于市场原因，商品先提价后再降价进行销售，销售了100件；商品先降价后再提价进行销售，也销售了100件（其中，都是正整数，且）.若它们的进价都是每件元，请问销售，两种商品，哪种商品获得的利润大？
24．（6分）已知，.
（1） 求的值；
（2） 求的值.
25．（8分）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图①），然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②）.
（1） 上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
（2） 应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
① 已知，，求的值；
② 计算：….
26．（8分）若一个正整数能表示成，是正整数，且的形式，则称这个数为“优美数”，与是的一个平方差分解.
例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解；
再如：也是“优美数”.因为（其中，是正整数），所以也是“优美数”，与是的一个平方差分解.
（1） 判断48是否是“优美数”，如果是，请写出48的所有平方差分解；如果不是，请说明理由.
（2） 已知，是正整数，是常数，且，要使是“优美数”，试求出符合条件的一个值.
27．[2024扬州邗江区校级月考]（8分）【感知】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如，由图①可以得到，基于此，请解答下列问题.
【探究】
（1） 若，，则______；
（2） 若满足，求的值；
（3） 如图②，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形.若长方形的面积为50，则图中阴影部分的面积和为____.
【参考答案】
第8章综合素质评价
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．D
2．D
3．B
4．D
5．B
6．C
7．C
8．D
[解析]点拨：设一个三位数与一个两位数分别为和.
如图①，则由题意得,,,，
所以，即.易知，且,,,,都是中的整数，
当时,，,不是正整数，不符合题意，故舍去；
当时,，,,，如图②.
所以“20”左边的数是，故选项不符合题意;
“20”右边的“”表示4，故选项不符合题意.
由题意可得，上面的数应为，如图③.
所以运算结果可以表示为，所以选项符合题意.
当时，计算的结果大于，故选项不符合题意，故选.
二、填空题（每小题3分，共30分）
9．
10．
11．
12．
13．
14．
15．7或
16．8
17．11
[解析]点拨：因为，
所以，，所以，，
所以.
18．9
[解析]点拨：由题意可得，.
因为，
所以，，
所以，
所以当时，的值为9.
三、解答题（共66分）
19．（1） 解：原式.
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式.
20．（1） 解：原式.
（2） 原式.
21．解：
.
当时，原式.
22．（1） 解：
.
因为代数式化简后，不含有项和常数项，
所以，，
所以，.
（2） 因为，，
所以.
23．解：根据题意,得商品的利润为，
B商品的利润为，
A商品的利润商品的利润
.
当，即时，商品获得的利润大；
当，即时，商品获得的利润大.
24．（1） 解：因为，，
所以.
所以.
所以.
（2） 因为，所以.
所以.
25．（1） B
（2） ① 解：因为，
所以.
又因为，
所以.
② 原式….
26．（1） 解：48是“优美数”.
因为，，，
所以48的所有平方差分解为13与11，8与4，7与1.
（2） 因为，且，
所以.
所以当，即时，为“优美数”.
故当时，为“优美数”.
27．（1） 3
（2） 解：因为，且，
所以，
所以.
（3） 116
[解析]点拨：设.
因为在长方形中，，，
所以，.所以.
因为长方形的面积为50，
所以.
因为，
所以.
因为正方形和正方形的面积和为，
所以题图中阴影部分的面积和为116.
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