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2024 学年第一学期金华市卓越联盟 12 月阶段性联考
高一年级数学试题
命题人：艾青中学 审题人：浦江三中 兰溪五中
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的
选项涂在答题卡相应的位置上.
1. 设全集U 1,2,3,4,5,6 ，集合 A 2,3,5,6 ，集合 B 1,3,4,5 ，则 (CU A) B （ ）
A . 1,3,4 B . 3,4 C . 1,3,4,5 D . 1,4
2. 命题“ x R, x2 x 5 0”的否定是（ ）
A. x R, x2 x 5 0 B. x R, x2 x 5 0
C. x R, x2 x 5 0 D. x R, x2 x 5 0
3. 若一扇形的圆心角的弧度数为 3，且设扇形的半径为 2，则该扇形的面积为（ ）
A . 3 B . 9 C . 12 D . 6
4. 已知角 [0, ]，且满足 sin 2cos 0，则 sin 的值为（ ）
2 5 2 5 5 5
A . B . C . D .
5 5 5 5
5. “0 a 4 ”是“函数 y log3(ax
2 ax 1) 的定义域为 R”的（ ）
A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
6. 已知 a 0,b 0 3a 1 1 4 且 2b，若 m2 10m恒成立，则m的取值范围是（ ）
a b 2a b
A . 1 m 9 B . m 1或m 9 C . m 9 D . m 1
loga (1 ax), x a7. 已知函数 f (x) 2 是 R 上的增函数，则 a的取值范围是（ ）
2x (a 1)x 2 a a
2 , x a
1 2 1 1
A . 0 a 1 B . a C . a 1 D . 0 a
3 2 3 3
8. 定义在 R 上的函数 f (x) ，满足 f (1 x) f (1 x)，对任何 x1, x2 [1, )，且当 x1 x2 时，都有
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f (x1) f (x2 )
1
0 a log 3,b (1) 2 ,c ( 1
3
成立，设 )55 ，则下列不等关系式成立的是（ ）x1 x2 6 36
A. f (c) f (b) f (a) B. f (b) f (c) f (a)
C. f (c) f (a) f (b) D. f (a) f (c) f (b)
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 6 分，
部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 1已知函数 f (x) x ( R)，下列选项正确的是（ ）
A. 当 1时，定义域为 R
B. 当 1时， f (1) f ( )
C. 当 2 时， f (x2 )为偶函数
D. 当 R时，函数 f (x) 的图象恒过定点 (1,1)

10. 已知函数 f (x) 2sin(x ) ，则下列结论错误的是（ ）
2
A. 函数 f (x) 的最小正周期为 2
f (x) [0, B. 函数 在区间 ]上是减函数
2
C. 函数 f (x) 的图像关于点 ( ,0)对称
D. 函数 y 3 f (x ) 的图像关于 x 对称
4 4
2 x 1 (x 1)
11. 已知函数 f (x) ，函数 y f (x) a有四个不同的零点，x , x , x , x 且 x x x x ，
ln(x 1) (x 1)
1 2 3 4 1 2 3 4
则（ ）
A . a (0,1] B . x1 x2 0 C . x3 x4 4 D . 2x3 x4 3 2 2
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
cos 64 12. _______ 0 （填“ ”，“ ”，“ ”）
9
13. 已知函数 f (x) 是定义在 R上的偶函数，当 x ( ,0) 时， f (x) x3 5x，则 f (3) __________.
14. 关于 x 2的方程mx 4mx 3 0 2 2有两个不等的实根 x1, x2 ，且 x1 x2 3x1x2 0，则实数m的取值范围是
__________.
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.
15.（本题满分 13 分）
计算题：
1
(3 )2 83 ( 8
2

（1） ) 3 0.52 ( 3 1)0 ；
27
（2） (log4 3 log8 3)(log3 2 log9 2) log 4 27 2
log2 5
3 .
16.（本题满分 15 分）
3
在平面直角坐标系 xOy中，角 的始边为 x轴的非负半轴，终边在第二象限与单位圆交于点 P，点 P的横坐标为 .
5
1 cos 3sin （ ）求 的值.
3sin cos

（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转 ，得到角 ，求 sin 2 sin cos cos2 的值.
2
17. （本题满分 15 分）
为提高水果销售量，助力乡村振兴，某地欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本 6 万元，当年产量 x（单
1 2
位：万件）低于 10 万件时，流动成本W (x) x 4x （万元），当年产量 x（单位：万件）不低于 10 时，
4
W (x) 9x 144 50 （万元）.经调研，每件水果箱售价为8元，每年加工的水果箱能全部售完.
x
(1)求年利润 f (x) 关于年产量 x（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润 年销售额 固定成本 流动成本）
(2)求年产量 x（单位：万件）为多少时，年利润 f (x) 取得最大值，并求出 f (x) 的最大值.
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18.（本题满分 17 分）
x 1
已知函数 f (x) (ln(ex)) ln x，函数 g(x) 4x 2 2 1 .
（1）求函数 f (x) 的值域；
（2）求函数 g(x) 的单调区间；
3 x x 2（ ）设函数H1(x) 2e e ,H 2 (x) g(x) a ln x x x 18(a 0)，若 x1 [0,1], x2 [1,2]，不等式
H1(x1) H 2 (x2 )恒成立，求实数 a的取值范围.
19.（本题满分 17 分）
lipschitz 条件，即利普希茨连续条件(Lipschitz continuity)，以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，该条件是一个关于函
数光滑性的重要概念。若已知函数 f (x) 的定义域为D，且[a,b] D，若存在常数 k(k 0) ，使得[a,b]中的任意
x1, x2 (x1 x2 )，都有 f (x1) f (x2 ) k x1 x2 ，则称 f (x) 是“ k 利普希兹条件函数”.
（1 2）判断函数 y x , y x 在[ 1,0]上是否为“1 利普希兹条件函数”，并说明理由；
（2）若函数 y x 4 (2 x 4)是“ k 利普希兹条件函数”，求 k的最小值；
x
（3）设 f (x) sin x，若存在m R，使 g(x) 2mx n(m 1)是“ 2024 利普希兹条件函数”，且关于 x的方程
2 f ( x) f ( x) g( f (x)) g( f (x ))在 ( , )上有两个不相等实根，求 n的取值范围.
2 2 4 2
（注： sin x cos x 2 sin(x )）
4
高一数学学科 试题 第 4 页(共 4页)2024 学年第一学期金华市卓越联盟 12 月阶段性联考
高一数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D A C B B A
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11
答案 BCD BC ABD
二、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
15
12. < 13.- 42 14. m 0或m
16
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解：
9 1
（1）原式= ( 3)+ 2+ +1= + 2 ----------（满分 6 分，每个数正确得 1 分，全对得 6 分）
4 4
1 1 1 3
（2）原式= ( + ) log 2 3 (1+ ) log 3 2+ 5 = 3 -------（满分7分，每个数正确得 1 分，全对得 7 分）
2 3 2 4
16. 解：
3
（1） 点P 在单位圆上，且点P 在第二象限，P 的横坐标为 ，可求得纵坐标为 4 .----------------2 分
5 5
4 3 4 cos +3sin 1+3tan 3
sin = , cos = , tan = ------------------------3 分 = = ---------------------2 分
5 5 3 3sin cos 3tan 1 5
3
（2）由题意知： = + ，则sin = sin( + ) = cos = ------------------------2 分
2 2 5
4
cos = cos( + ) = sin = ------------------------2 分
2 5
sin 3
【方法一】故 tan = = ------------------------2 分
cos 4
故：
3 2 3
2 ( ) 1
2 sin sin cos cos
2 tan 2 tan 1 19
sin sin cos cos2 = = = 4 4 = --------2 分
sin 2 + cos2 tan 2 +1 3 25
( )2 +1
4
2 2 3 2 3 4 4 2 19
【方法二】直接代入可得：sin sin cos cos = ( ) ( )( ) ( ) = ---------------------4 分
5 5 5 5 25
高一数学学科 试题 1 第 1 页(共 3 页)
17. 解：
1 1
（1）当0 x 10时， f (x) = 8x 2 2 x + 4x 6 = x + 4x 6，---------------------3 分
4 4
144 144
当 x 10时， f (x) = 8x 9x + 50 6 = 44 x + ，---------------------3 分
x x
1
x
2 + 4x 6,0 x 10
4
所以 f (x) = ；---------------------1 分
144 44 x + , x 10
x
1 2 1 2
（2）当0 x 10时， f (x) = x + 4x 6 = (x 8) +10，
4 4
此时 x =8， f (x) =10；---------------------3 分
max
144 144
当 x 10时， f (x) = 44 x + 44 2 x = 20，---------------------3 分
x x
144
当且仅当 x = ，即 x =12时，取得等号．
x
因为10 20，所以年产量为12万件时，年利润 f (x)取得最大值20万元．---------------------2 分
18.解：
（1）设 t = ln x， y = (t +1)t ------------------------3 分
1
值域为：[ ,+ ] -----------------------2 分
4
x
（2）设 t = 2 0
2
， y = t 2t 1 ------------------------2 分
1
单调减区间： ( , ) ------------------------2 分
2
1
单调增区间：[ ,+ ) ------------------------2 分
2
x x
（3） x1 [0,1], H1(x1) = 2e
1 + e 1 的最小值为 3------------------------2 分
2
x2 [1,2], H2 (x2 ) = g(x)+ a ln x2 + x2 + x2 18单调递增，其最大值为a ln 2 4 2 +3------------------------2 分
4 2
0 a .----------------------2 分
ln 2
19. 解：
（1）由题意可知：函数 y = x 的定义域为 R，且 f (x1) f (x2) x1 x2 = 0
y = x在 R 上是“1 利普希兹条件函数”.------------------------2 分
2 2
对于函数 y = x2 ，有： f (x1) f (x2) x1 x2 = x1 x2 x1 x2 = x1 x2 ( x1 + x2 1)
高一数学学科 试题 第 2 页(共 3 页)
当 x1 x2 1时，则 f (x1) f (x2) x1 x2 0 .
函数 y = x2 在 R 上不是“1 利普希兹条件函数”.------------------------3 分
4
（2）若函数 y = x + (2 x 4)是“k 利普希兹条件函数”，
x
则在[2,4]对于任意的两个 x , x (x x )，均有 f (x1) f (x2) k x1 x2 成立， 1 2 1 2
4 4
x1 + x2
f (x1) f (x2 ) x1 x2 4
则 k = = 1 恒成立------------------------2 分
x1 x2 x1 x2 x1x2
4 3
2 x ，1 4 2 x2 4， 4 x1x 16，得：2 1 .
x1x2 4
3
kmin = .------------------------3 分
4
（3） 函数 g(x) = 2mx+ n(m 1)是“2024 利普希兹条件函数”
g(x1) g(x2) 2024 x1 x2 在 R 上恒成立.
2m x1 x2 2024 x1 x2 在 R 上恒成立，即m 1012 .

原方程2 f ( x) f ( x) = g( f (x)) + g( f (x + ))在 ( , )上有两个不相等实根
2 2 4 2

2sin xcos x = 2m(sin x + cos x)+ 2n 在 ( , )上有两个不相等实根---------------------2 分
4 2

令 t = sin x + cos x = 2 sin( x + ) (0, 2]，
4
t 2 2mt 2n 1= 0在 t (0, 2]上有两个不相等实根-------------------------2 分
2n+1 2n+1
2m = t ，令h(t) = t .
t t
2n+1
y = 2m(2 2m 2024) 与 h(t) = t 在 t (0, 2]上有两个不同的交点.
t
1 2n+1
①当2n+1 0即 n 时，函数h(t) = t 在 t (0, 2]上只有一个交点，不合题意.
2 t
1 2n+1
②当2n+1 0即 n ，则h( 2) 2且函数h(t) = t 在 (0, 2n 1]上单调递减，在[ 2n 1,+ ) 上
2 t
2n +1
2 2
单调递增，根据题意可知 2 -------------------------2 分

2n 1 2
3 1
n ( , 2) ------------------------1 分
2 2
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