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2024 学年第一学期金华卓越联盟 12 月阶段性联考
高二年级数学试题
命题人：义乌三中 审题人：磐安二中 汤溪中学
考生须知：
1.本卷共 4页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 学号和姓名；考场号 座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目的要求.
x2
1.已知双曲线 y2 1的渐近线方程为（ ）
9
A y 3. x B 1. y 3x C. y 3x D. y x
3 3
2. 已知等差数列 an ，前 n项和为 Sn，若 a13 8, 则 S25 （ ）
A． 200 B．100 C． 200 D． 100
3. 直线 x m 1 y 1 0与直线mx 2y 1 0平行，则m的值为（ ）
A．1或-2 B．1 C． -2 D． 2
4. 如果直线 y x b与圆C : x2 y2 4相切，则 b的值( )
A. 2 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 4 2
5. 空间直角坐标系 o xyz中，定义经过点 P x , y , z 且法向量为m ( A , B ,C ) 的平面 方程为
Ax By Cz D 0 A,B,C,D R, A2 B2 C 2 D2 0 ，平面外的一点 Q x0 , y0 , z0 到平面 的距离
Ax By
d 0 0
Cz0 D .阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为 x 2y 2z 2 0 ,在
A2 B2 C 2
y 轴上求一点 M使它到平面 的距离为 6，则点 M的坐标为（ ）
A. (0,8, 0) B. (0, 10, 0) C. (0,10, 0)或（0,8, 0） D. (0, 10, 0)或（0,8, 0）
高二数学学科 试题 第 1页（共 4 页）
6.已知数列 an 满足 a1 1, an an 1 2anan 1 ，则数列 anan 1 的前项和 Sn为（ ）
A n B n C 1 D 2n. . . .
2n 1 n 1 n 1 2n 1
7. 在三棱台 ABC A1B1C1中， AB AC 2AA1 2A1B1 4， BAA1 BAC CAA
0
1 60 ，
VA1B1C1 的重心为O，则 AO的长为（ ）
A 2 2 B 5 C. 10 3 3. . D.
3 2
8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点 A, B的距
离之比为定值 ( 1)的点所形成的图形是圆。后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼
2 2
斯圆，简称阿氏圆。已知点 P,Q分别是抛物线C : x2 8y和 E : x y 12y 32 0上的动点，若抛
物线C的焦点为 F，则 2 PQ QF 的最小值为（ ）
A． 6 B． 4 6 C． 4 3 D．5
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目
要求的.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知等差数列 an ，前 n项和为 Sn，满足 a5 a8 0,a6 a7 0 ，下列说法正确的是（ ）
A.若 a1 0，则数列 an 单调递减 B.若 a1 0，则 S13 0
C.若 a1 0， 则 Sn的最小值为S7 D.若 a1 0，则 S6 S7
10.如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1棱长为 2，O,M 分别为 BD1 ,BD
的中点， N 为线段D1C上的动点，下列选项正确的是（ ）
A.不存在 N 使得OD MN B. 存在 N 使MN / /面A1AD
C.存在两个 N 使MN与 AD 6成 600 角 D. 任意 N 满足 MN
2
y 111. 已知抛物线 x2 的焦点为 F,P为抛物线上一动点，直线 l交抛物线于 A，B两点，则下列说
8
法正确的是（ ）
A．当直线 l过焦点时，以 BF为直径的圆与 x轴相切
B．存在直线 l，使得 A，B两点关于 2x y 6 0对称
C．若 AF BF 16，则线段 AB的中点M 到 x轴距离为 8
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D．当直线 l过焦点时，则 2 AF 3 BF 的最小值10 4 6
非选择题部分
三 填空题：本题共 3小题，每题 5 分，共 15 分.
12.直线 l的一个方向向量为 ( 3,1) ，则直线 l的倾斜角为 .
13.如果数列 a 对任意的 n N*n , an 2 an 1 an 1 an ，则称 an 为“速增数列”，若数列 an 为“速增
数列”，且任意项 an Z,a1 1,a2 3,ak 211，则正整数 k的最大值为 .
2 y2
14.如图，已知双曲线C x1 : 1(a 0,b 0) 与过其焦点的圆 x
2
2 2 y
2 c2 相交
a b
于 A, B,C,D四个点，直线 AD与 x轴交于点 E，直线CE与双曲线C1交于点 F，
记直线 AC, AF 的斜率分别为 k1 , k2 ，若 k1 k2 8 ，则双曲线 C1 的离心率
为 .
四 解答题：本大题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.(13 分）已知圆C : x2 y2 2x 4y m 0被 x轴截得的弦长为 2 5，P 点是直线 x y 5 0上
的一点，过 P 点作圆的两条切线，切点分别为 A和 B .
（1）求m的值；（2）求四边形 PACB面积的最小值.
16.(15 分）已知递增等比数列 an 的前 n项和为 Sn， a2 6, S3 26,数列 bn 的前n项和为Tn，
2T
且 b1 1,
n
b
是公差为1的等差数列.
n
（1）求数列 an 和 bn 的通项公式；（2）令Cn anbn ，求数列 Cn 的前 n项和 Kn .
17. (15分）如图，O是正方形 ABCD的中心，把正方形 ABCD沿对角线 AC折成二面角 B-AC-D,E,F
分别为 AD,BC的中点，
高二数学学科 试题 第 3页（共 4 页）
（1）当折成直二面角时(图 1)，求直线OE与OF 所成角的大小；
（2）当折成二面角 B AC D 0的平面角为 60 （图 2），求直线 BD与平面OEF所成角的正弦值.
18.(17 分）如图，已知圆 F1的半径为 4， F1F2 2, P是圆 F1上的一个动点， F2P的中垂线交 F1P
于点Q ,以直线 F1F2 为 x轴， F1F2的中垂线为 y轴，建立平面直角坐标系，
（1）求点Q的轨迹 E的方程；
（2）若过点F2的直线 l与轨迹 E交于点 A, B，
6 2
(i)若三角形OAB的面积为 ，求直线 AB的方程；7
（ii）探究 x轴上是否存在一点M ,使得直线MA,MB的斜率之积为定
值.若存在，求出点M 的坐标和定值，若不存在，请说明理由.
x2 y2
19.(17 分）双曲线 C : 1的左、右焦点为 F1,F2 ,右顶点为 A． M 的圆心在 x轴上，位于 的9 3 A
右侧，与双曲线C有且仅有一个公共点，
(1)求 M 的最大半径为多少，及此时 M 的方程；
(2)如图 1，在（1）的条件下，过双曲线C上一点 P作 M 的切线，切点为Q，过 P且垂直于 x轴的
直线与双曲线其中一条渐近线交于 R，求 PQ PR 的最小值：
(3)双曲线右支上一点 N在右焦点 F2的正上方，如图 2，将双曲线的左支绕 y轴翻折． 使左右支所
在的两个半平面所成的二面角大小为 ，若 0，过 N的直线m总与左支相交，以原双曲线所在
坐标平面的O为原点，过O垂直于 xoy平面方向为 z轴建立空间直角坐标系，求直线m的一个方向向
量．
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高二年级数学学科参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D C C B D A A B
二、多选题
9 10 11
ABD BD ABD
三、填空题
12. 300 13. 20 14. 5
四、解答题
15.解析：（1）圆 C: (x 1)2 (y 2)2 5 m
圆心 C(1,2), 半径 r 5 m ………..2 分
其中 C到轴的距离d 2
由已知得2 5 m 4 2 5 m 4……………..5分
（2）设直线 l : x y 5 0,kl 1
2
四边形PACD的面积 SPACD PA r 3 PA 3 PC 9 …………8分
当取 PC 最小值时，四边形四边形PACD面积最小
此时直线PC l
1 2 5
PC 4 2 …………10分
2
所以四边形四边形PACD面积最小值为
2
SPACD PA r 3 PA 3 PC 9 3 23 …………13分
16.解析：设数列 an 首项为a ，公比为 q ， 1
a 18
a2 a1q 6 a1 2
1

则 得 或 1 （舍去） 2
S a q 33 1 a1q a2q 26 q
3
an 2 3
n 1 …………..3 分
2T 2T
由已知得 1 2 n 2 (n 1) n 1………5分
b1 bn
2T ………..① ……..② n (n 1)bn 2Tn 1 nbn-1(n 2)
b b
①-②得nb (n 1)b 即 n n 1 n 1 n
n n 1
bn b b所以 为常数数列，
n 1 1 bn n……….8分
n n 1
（2）Cn 2n 3
n 1
…………①
Kn 2 3
0 4 31 6 32 2n 3n 1
3K 1n 2 3 4 3
2 6 33 2n 3n …………②………….10 分
①-②得 2Kn 2 3
0 2 31 2 32 2 3n 1 2n 3n
1 3n
2 2n 3n 1 (2n 1) 3n ………….14 分
1 3
1 1
K (n ) 3nn ……………15分
2 2
zz z z
y y
y
x y
x x
17.解析 x
(1) 连接 OB,OD.则OB ⊥ AC, OD ⊥ AC.
∵ 平面 ABC ⊥ 平面 ACD,平面 ABC ∩ 平面 ACD = AC, OD 平面 ACD
∴ OD ⊥ 平面 ABC .......................2 分
如图建系 (图 1)，
√2 √2 √2 √2
设正方形边长为 2，则A(√2, 0,0), D(0,0, √2), E( , 0, ), F( , , 0)
2 2 2 2
√2 √2 √2 √2∴OE = ( , 0, ), OF = ( , , 0) ..........................4 分
2 2 2 2
设直线 OE与 OF所成角为θ
1
1 π
∴ cosθ = |cos O E , O F | = | 2 | = ∴ θ =
1 × 1 2 3
π
∴直线 OE与 OF所成角为 ....................7 分
3
(2) 连接 OB,OD
则 OB ⊥ AC, OD ⊥ AC.
∴ ∠DOB为二面角B AC D的平面角.
∴ ∠DOB = 600 ........................................9 分
过 O 作OZ ⊥ OB,
如图所示建系（图 2），设正方形边长为2√2
1 √3
B(0,2,0), D(0,1, √3), A(2,0,0), E(1, , ), F( 1,1,0)
2 2
∴ B D = (0, 1, √3) ..................................11 分
1 √3OE = (1, , ),O F = ( 1,1,0)
2 2
设平面 OEF的法向量为 = ( , , )

1 √3
= 0 + + = 0 = 则{ ,即{ 2 2 , ∴ {
= 0 + = 0 = √3
令x = 1,则n = (1,1, √3) ..............................13 分
设直线 BD与平面 OEF 所成角为φ
1 3 2√5
∴ sinφ = |cos B D , n | = | | =
2√5 5
2√5
直线 BD与平面 OEF所成角为 ............................15 分
5
18.解析：（1）由题： PQ QF1 QF2 QF1 4 F1F2 2
则点 Q的轨迹是以F1，F2为焦点，4为长轴的椭圆。
x2 y2
设椭圆方程为： 1 a b 0 则2a 4,2c 2
a2 b2
2
故a 4,b
2 a2 c2 3，
x2 y2
所以轨迹 E的方程： 1 …………4分
4 3
x2 y2
（2）椭圆 E的方程： 1，则 F2 1,0
4 3
(i) 由 题 可 知 kAB 0 ， 设 直 线 lAB : x my 1 ，
A x1 , y1 , B x2 , y2
x my 1 2 2
联立 2 2 则 3m 4 y 6my 9 0
3x 4y 12
2
6m 4 3m2 4 9 144 m2 1 0
6m 9
y1 y2 y1 y2 …………62 3m2
分
3m 4 4
1 1 6 m22 1 6 2
S OAB OF2 y1 y2 y1 y2 4y1 y2
2 2 3m2 4 7
m2 1 即 m 1 所以 lAB : x y 1 …………10 分
（ii）假设存在M t, 0 满足题意，
y y y y
则 kMA k
1 2MB
1 2
……11 分
x1 t x2 t my1 1 t my2 1 t
9
y1 y2 3m
2 4

2 2 2
m2 y1 y2 m 1 t y1 y2 1 t 9m 6m 1 t 2 1 t
3m2 4 3m22 4
9 9

2 定值 ……14分
9m2 6m2 1 t 1 t 23m2 4 3t2 12 m2 4 1 t
则3t
2 12 0即 t 2，……15分
9
当M 2,0 时， kMA kMB ；
4
当M
1
2,0 时， kMA kMB ……………………17 分
4
19.解析：（1）由题意及双曲线的对称性，
当e M 半径最大时，公共点位于双曲线右顶点 A(3,0)，
此时双曲线右支上任一点P(x ， 0 , y0 )
到圆心M (m,0)(m 3)的最小距离恰好在顶点 A(3,0)处取到，
2
由 2 x 4PM (x 2 2 0 20 m) y0 x0 m 3 x0 2mx m
2 3 x 3 ，……………2 分 0 0
3 3
若 PM 的最小值在 x 3时取到，则二次函数
4 3
0 y x
2 2mx m2 3的对称轴 x m 3， 0 0
3 4
解得m 4，e M 的半径 r m 3 1.
当m 4时，e M 的最大半径为1，此时e M 的方程为
2
x 4 y2 1.…………4 分
（2）设 P x ，则 2 20 , y0 PQ PM QM
2 x0 3 y
2
0 1，
2
因为 xP(x , y )以双曲线上，所以 y2 0 3， 0 0 0
3
x2所以 2 0 4 2 2 3PQ x0 4 3 1 x0 8x0 12 x 3 ， 0
3 3 3
由题意， 3PR y y x y ， ………………6 分 R P 0 0
3
①点 P 位于第一象限时，
3 3 2 3
PR x y x y ， PQ x 3 ， 0 0 0 0 0
3 3 3
故 | PQ | | PR | 3x0 y0 2 3，设直线 l : 3x y 2 3 0，
故 | PQ | | PR | 3x y 2 3可看作是双曲线上的点到直线 l距离的 2 倍. 0 0
设平行于 l的双曲线的切线为 y 3x t，
y 3x t 2
联立 消 y 得，8x 6 3tx 3t
2 9 0
2 2 ， x y
1
9 3
V 108t2 96 t2 3 12t2 288 0，解得 t 2 6 .
此时距 l较近的切线为 y 3x 2 6 ，故两线距离为 6 3，
当且仅当 9 2 6x ,y 时取到. 0 0
4 4
所以 | PQ | | PR | 2 6 2 3； ………………9 分
min
②当点 P 位于第四象限时，由对称性可知， | PQ | | PR | 3x y 2 3， 0 0
且 ，当且仅当 9 2 6 | PQ | | PR | 2 6 2 3 x ,y 时取到.
min 0 04 4
| PQ | | PR |的最小值为2 6 2 3 . ………………………………11 分
（3）注意到左半支双曲线旋转时，曲线上的任意一点P(x0, y0)绕 (0, y0 )作圆周运动，
轨迹是以 (0, y )为圆心， x 为半径的圆， 0 0
故可在空间直角坐标系中设旋转后的 P 点坐标为P(x, y, z)，
x x0 cos 2 2
则 ，因为 x0 y
y y
0 1，
0 9 3

z x0 sin
2 2 2
所以经过旋转后的点 P 坐标满足 x y z 1，…………………12分
9 3 9
ur
由题意，N 2 3,1,0 ，设直线m的方向向量为m (a,b, c)，
则直线上任意点的坐标E 2 3 at,1 bt,ct ,t R ，
2
若 E 总是在左支上，则 2 22 3 at 3 1 bt ct 9，
化简得 a2 c2 3b2 t2 4 3a 6b t 0（ ）…………………………14分
同理，E 2 3 at,1 bt, ct ,t R也在左支上，代入化简得
a2 c2 3b2 t2 4 3a 6b t 0（ ）…………………………15 分
则由 两式分别相加减得， a2 c2 3b2 t2 0与 2 3a 3b t 0，
由式子对任意 t R成立，
a2则 c
2 3b2 0，且2 3a 3b 0，
令a 3，则b 2,c 3.
ur
故直线 m的一个方向向量可以为m 3, 2,3 或 3, 2, 3 . ……17分
（注意：其它与这两个向量共线的非零向量都可以）

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