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广东省深圳市南山区前海学校2023-2024学年第二学期九年级开学考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九下·南山开学考）的相反数是　　
A． B． C． D．3
2．（2024九下·南山开学考）如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是　　
A． B． C． D．
3．（2024九下·南山开学考）据有关部门统计，2023年国庆、中秋八天长假期间，广东累计接待游客人次，将数用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·南山开学考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·南山开学考）关于的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组可以是　　
A． B． C． D．
6．（2024九下·南山开学考）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·南山开学考）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树棵，小敏平均每小时植树棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是
A． B．
C． D．
8．（2024九下·南山开学考）如图，的半径为，四边形内接于，连接、，若，则的长为　　
A． B． C． D．
9．（2024九下·南山开学考）如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2024九下·南山开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，顶点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点D是斜边AC的中点．若反比例函数 的图象经过D，C两点，OA=4，OB=2，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2024九下·南山开学考）分解因式： 　 　.
12．（2024九下·南山开学考）在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为0.2，则布袋中黑球的个数为　 　．
13．（2024九下·南山开学考）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　 　．
14．（2024九下·南山开学考）如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为1.5米，表示直角遮阳棚，墙长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为　 　米．
15．（2024九下·南山开学考）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且与关于直线对称．点在边上，分别与，交于，两点．若，，则　 　．
三、解答题（共55分）
16．（2024九下·南山开学考）计算：．
17．（2024九下·南山开学考）先化简，再求值：，其中．
18．（2024九下·南山开学考）为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成，，，．五个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）　 　，　 　，扇形统计图中的圆心角度数为　 　；
（2）补全条形统计图，学生每天完成作业时间的中位数落在 ▲ 组；
（3）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？
19．（2024九下·南山开学考）已知一箱苹果比一箱梨子的价格高30元，且用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等．
（1）求苹果、梨子每箱各多少元？
（2）若要购进苹果、梨子共60箱，且苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，试求购买这两种水果总费用的最小值．
20．（2024九下·南山开学考）如图，是的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，连接，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2024九下·南山开学考）综合与实践
九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．
（1）操作探究：
如图1，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则　 　．若是的中点，连接，则与的数量关系是　 　．
（2）迁移探究：
如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
（3）拓展应用：
如图3，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当时，求的长．
22．（2024九下·南山开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，连接，当时，求点的坐标；
（3）点为抛物线上的点，当时，直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】的相反数是，
故选：C．
【分析】本题考查相反数的定义.相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数．根据相反数的定义可选出选项.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、主视图为三角形，故本选项正确，A正确；
B、主视图为三角形，故本选项错误，B错误；
C、主视图为长方形，故本选项错误，C错误；
D、主视图为圆，故本选项错误，D错误．
故选：C．
【分析】本题考查三视图的知识.主视图是从物体的正面看得到的视图．根据图形找到从正面看所得到的图形是长方形的是A，据此选择A选项．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：=，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】由数轴可知，该不等式组可以为，
故选：．
【分析】本题考查根据数轴表示的解判定不等式组的取值．根据不等式组的取值方法，可找出数轴表示的不等式组．
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；正切的概念
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】四边形内接于，
，
，，
，
解得：，
，
劣弧的长；
故选：B．
【分析】本题考查弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理．根据圆内接四边形的性质再结合可求出，再利用圆周角定理可求出，利用弧长公式，可求出答案．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据图象可知：
函数与轴有两个交点，
，
，
故①正确；
，
，
，
故②错误；
根据图象和，对称轴为直线可知，
该函数和轴的另一个交点为；
当时，，
故③错误；
开口向上，
，
，
，
，
故④正确．
故选：C．
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题.根据图象可知函数与轴有两个交点，据此可知对应方程有两个实数根，可判断①；由对称轴为直线，通过变形可判断②；由对称性可推断出函数和轴的另一个交点为，代入函数解析式可判断③；由图象开口向上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④；
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴垂足为E
由于反比例函数y＝（x＜0）的图像经过C点，
可设点C（a，），则CE＝－a
点A（－4，0），点C（a，），点D是AC的中点
点D（）
又∵反比例函数y＝（x＜0）的图像经过D点，
＝k
解得a＝
经检验a＝是原方程的根，
∠ABC＝90°
∠ABO＋∠CBE＝90°
∠ABO＋∠BAO＝90°
∠BAO＝∠CBE
∠AOB＝∠BEC＝90°
△AOBBEC
又∵A（－4，0），B（0，2），
OA＝4，OB＝2，
BE＝2CE＝
OE＝OB＋BE＝2＋＝，
点C（，）
k＝＝，
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质．过点C作CE⊥y轴垂足为E，再设出点C坐标，表示其中点D坐标，进而求出，根据题目条件可证明△AOBBEC。利用相似三角形的性质可求出，进而求出点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数的关系式可求出k的值．
11．【答案】4（y+1）（y-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=4（y2-1）=4（y+1）（y-1）
故答案为：4（y+1）（y-1）
【分析】提出公因式4，即可解答.
12．【答案】16
【知识点】概率的简单应用
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】关于的一元二次方程有实数根，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数.一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．根据题意可得：，解不等式可求出实数m的取值范围.
14．【答案】1.2
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作地面的平行线，过点作，
太阳光与地面的最大夹角为，
，
垂直于地面，
，
，，
四边形是矩形，
，，
米，米，
（米，
米，
，
，即，
解得（米，
遮阳棚水平宽应设计为1.2米．
故答案为：1.2．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意可知当太阳光线恰好与平行时，此时太阳光刚好不射入室内，过点作地面的平行线，过点作，根据题意先证明四边形是矩形，利用线段的运算求出米，再根据直角三角形的正切函数可得，代入数据可求出的长．
15．【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判断与性质．连接，根据题意可证明四边形是菱形，从而得到，然后利用平行线分线段成比例可得的值，根据等角对等边可证明是等腰三角形，进而推出，根据平行线的性质可证明，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可求出，代入式子可求出答案．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算．先求出零次方，负整数幂运算，绝对值，再代入含特殊角的三角函数值，然后再根据有理数的加减运算可求出答案．
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值.先算对括号内的式子进行通分，再将除法运算转化为乘法运算，分子和分母进行通分化简可得：原式，将的值代入化简后的式子可求出答案．
18．【答案】（1）40；20；
（2）解：由（1）可知，组人数为：
（人）
补充条形统计图如图所示：
.
（3）解：组人数有：（人），
（人），
答：估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有800人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】（1）解：由题意可知：（人）；
所占的百分比为：
，
扇形统计图中A的圆心角度数为：，
故答案为：，，；
（2）解：这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而这两个数据均落在组，所以学生每天完成作业时间的中位数落在组；
故答案为：；
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合，中位数，以及用样本估计总体．
（1）根据条形图和扇形图中组数据信息：用C的人数除以C所占的比例可求出总人数，用D组人数除以总人数可求出所占的百分比即，再求出A所占的比例，因此A所占的圆心角=A所占的比例乘以；
（2）用总人数减去其它组的人数可求出组人数，结合条形统计图将数据从小到大排列即可推断出中位数所在的组；
（3）先求出A组、组的人数所占的比例，用每天完成作业时间不低于分钟的学生数等于A组、组的人数所占的比例乘以总人数可求出答案.
19．【答案】（1）解：设梨子的价格是元箱，则苹果的价格是元箱，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：苹果的价格是80元箱，梨子的价格是50元箱；
（2）解：设购进苹果箱，则购进梨子箱，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种水果总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：购买这两种水果总费用的最小值为4200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用．
（1）设梨子每箱元，则一箱苹果元，根据题意的等量关系：用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等，可列出方程，解方程可求出答案；
（2）设购进苹果m箱，则购进梨子箱，根据苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，可列出不等式求出m取值范围，再设购买这两种水果总费用为w元，根据题意可求出，利用一次函数性质分析的增减性，进而求出费用的最小值．
20．【答案】（1）证明：连结，
是的切线，是切点，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为，则，
，
，，
是的直径，
，
于点
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质.
（1）根据切线的性质可推断出：，再根据于点可推断出，根据等边对等角可推断出：，利用等角的余角相等可证明结论；
（2）设的半径为，根据锐角三角函数的定义可得：，根据圆中直径所对的圆周角等于90°，再结合题目条件可证明，进而证明，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，列出比例式，代入数据可求出答案.
21．【答案】（1）90；
（2）解：由旋转的性质，可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中点，
，
；
（3）解：分以下两种情况进行讨论：
①如图．当点在下方时，
根据题意，得为等腰直角三角形，
．
，
，
，是的中点，
，
；
②如图，当点在上方时，
同理，可得，．
综上所述，的长为或1．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：为等边三角形，将绕点旋转得到，
，
，，
，
，
是的中点，A是的中点，
，
故答案为：90；．
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的特征，勾股定理．
（1）由等边三角形的性质得，由旋转的性质得，可求得，利用三角形的内角和定理可求出，利用三角形的中位线定理可推断出与的数量关系．
（2）由旋转的性质可得，，根据等边对等角可求出，利用角的运算可求出，又知F是的中点，利用等腰直角三角形性质可得：，根据等量代换可推出与的数量关系．
（3）根据等边对等角求得，分两种情况：当点E在下方时，当点E在上方时，根据等腰三角形三线合一及角所对的直角边等于斜边一半，再利用勾股定理可求出答案．
22．【答案】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
，
；
（2）解：如图1，
，
，
作轴，交于，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，，
；
（3）解：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3）①如图，当点在轴下方时，在轴上取一点，使，延长交抛物线于点，过点作于点，过点作于点．
点，的坐标分别为，，
，
，
，
，
．
在中，，设，
则，，
，解得，
，
，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
，
，
直线的表达式为，
，
解得（舍去），，
点的坐标为．
②如图，当点在轴上方时，过点作，交于点，过点作轴于点，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
解得（舍去），，
点的坐标为．
综上可知，点的坐标为或．
【分析】（1）因为抛物线与轴交于，两点，将两点代入解析式可得到方程组，解方程组可求出抛物线的解析式；
（2）根据B和C两点的坐标可求出直线的解析式为，如图，过点作轴交于点，设（，），则（，），根据平行线分线段成比例可得：，再结合PD的长度可求出m的值，进而求出点P的坐标；
（3）分当点在轴下方和当点在轴上方两种情况讨论，利用三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，勾股定理可求出点的坐标为和点的坐标为，进而求出直线直线的表达式或直线的表达式，与二次函数的表达式进行联立可求出点M的坐标．
1 / 1广东省深圳市南山区前海学校2023-2024学年第二学期九年级开学考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2024九下·南山开学考）的相反数是　　
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】的相反数是，
故选：C．
【分析】本题考查相反数的定义.相反数的定义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数．根据相反数的定义可选出选项.
2．（2024九下·南山开学考）如图放置的几何体中，其主视图为长方形的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】A、主视图为三角形，故本选项正确，A正确；
B、主视图为三角形，故本选项错误，B错误；
C、主视图为长方形，故本选项错误，C错误；
D、主视图为圆，故本选项错误，D错误．
故选：C．
【分析】本题考查三视图的知识.主视图是从物体的正面看得到的视图．根据图形找到从正面看所得到的图形是长方形的是A，据此选择A选项．
3．（2024九下·南山开学考）据有关部门统计，2023年国庆、中秋八天长假期间，广东累计接待游客人次，将数用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：=，
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
4．（2024九下·南山开学考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
5．（2024九下·南山开学考）关于的不等式组解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组可以是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】由数轴可知，该不等式组可以为，
故选：．
【分析】本题考查根据数轴表示的解判定不等式组的取值．根据不等式组的取值方法，可找出数轴表示的不等式组．
6．（2024九下·南山开学考）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；正切的概念
7．（2024九下·南山开学考）在3月12日是植树节这天，小刚和小敏积极踊跃地参加植树活动，小刚平均每小时比小敏多植1棵树，小刚植树3小时，小敏植树2小时，两人一共植树18棵树．设小刚平均每小时植树棵，小敏平均每小时植树棵，那么根据题意，下列所列方程组中，正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
8．（2024九下·南山开学考）如图，的半径为，四边形内接于，连接、，若，则的长为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】四边形内接于，
，
，，
，
解得：，
，
劣弧的长；
故选：B．
【分析】本题考查弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理．根据圆内接四边形的性质再结合可求出，再利用圆周角定理可求出，利用弧长公式，可求出答案．
9．（2024九下·南山开学考）如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有　　
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据图象可知：
函数与轴有两个交点，
，
，
故①正确；
，
，
，
故②错误；
根据图象和，对称轴为直线可知，
该函数和轴的另一个交点为；
当时，，
故③错误；
开口向上，
，
，
，
，
故④正确．
故选：C．
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题.根据图象可知函数与轴有两个交点，据此可知对应方程有两个实数根，可判断①；由对称轴为直线，通过变形可判断②；由对称性可推断出函数和轴的另一个交点为，代入函数解析式可判断③；由图象开口向上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④；
10．（2024九下·南山开学考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，顶点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点D是斜边AC的中点．若反比例函数 的图象经过D，C两点，OA=4，OB=2，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴垂足为E
由于反比例函数y＝（x＜0）的图像经过C点，
可设点C（a，），则CE＝－a
点A（－4，0），点C（a，），点D是AC的中点
点D（）
又∵反比例函数y＝（x＜0）的图像经过D点，
＝k
解得a＝
经检验a＝是原方程的根，
∠ABC＝90°
∠ABO＋∠CBE＝90°
∠ABO＋∠BAO＝90°
∠BAO＝∠CBE
∠AOB＝∠BEC＝90°
△AOBBEC
又∵A（－4，0），B（0，2），
OA＝4，OB＝2，
BE＝2CE＝
OE＝OB＋BE＝2＋＝，
点C（，）
k＝＝，
故选：B．
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质．过点C作CE⊥y轴垂足为E，再设出点C坐标，表示其中点D坐标，进而求出，根据题目条件可证明△AOBBEC。利用相似三角形的性质可求出，进而求出点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数的关系式可求出k的值．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2024九下·南山开学考）分解因式： 　 　.
【答案】4（y+1）（y-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=4（y2-1）=4（y+1）（y-1）
故答案为：4（y+1）（y-1）
【分析】提出公因式4，即可解答.
12．（2024九下·南山开学考）在一个不透明的布袋中装有4个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红随机摸一个球，摸到白球的概率为0.2，则布袋中黑球的个数为　 　．
【答案】16
【知识点】概率的简单应用
13．（2024九下·南山开学考）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】关于的一元二次方程有实数根，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数.一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．根据题意可得：，解不等式可求出实数m的取值范围.
14．（2024九下·南山开学考）如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为1.5米，表示直角遮阳棚，墙长度为0.5米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为　 　米．
【答案】1.2
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作地面的平行线，过点作，
太阳光与地面的最大夹角为，
，
垂直于地面，
，
，，
四边形是矩形，
，，
米，米，
（米，
米，
，
，即，
解得（米，
遮阳棚水平宽应设计为1.2米．
故答案为：1.2．
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意可知当太阳光线恰好与平行时，此时太阳光刚好不射入室内，过点作地面的平行线，过点作，根据题意先证明四边形是矩形，利用线段的运算求出米，再根据直角三角形的正切函数可得，代入数据可求出的长．
15．（2024九下·南山开学考）如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且与关于直线对称．点在边上，分别与，交于，两点．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，
设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判断与性质．连接，根据题意可证明四边形是菱形，从而得到，然后利用平行线分线段成比例可得的值，根据等角对等边可证明是等腰三角形，进而推出，根据平行线的性质可证明，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可求出，代入式子可求出答案．
三、解答题（共55分）
16．（2024九下·南山开学考）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】本题考查含特殊角的三角函数的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算．先求出零次方，负整数幂运算，绝对值，再代入含特殊角的三角函数值，然后再根据有理数的加减运算可求出答案．
17．（2024九下·南山开学考）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值.先算对括号内的式子进行通分，再将除法运算转化为乘法运算，分子和分母进行通分化简可得：原式，将的值代入化简后的式子可求出答案．
18．（2024九下·南山开学考）为了解双减背景下学生每天完成作业的时间情况，某中学对名学生每天完成作业时间进行抽样调查，根据时间（单位：分钟）分成，，，．五个组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：
（1）　 　，　 　，扇形统计图中的圆心角度数为　 　；
（2）补全条形统计图，学生每天完成作业时间的中位数落在 ▲ 组；
（3）若全校共有2000名学生，请估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有多少人？
【答案】（1）40；20；
（2）解：由（1）可知，组人数为：
（人）
补充条形统计图如图所示：
.
（3）解：组人数有：（人），
（人），
答：估计该校每天完成作业时间不低于120分钟的学生有800人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数
【解析】（1）解：由题意可知：（人）；
所占的百分比为：
，
扇形统计图中A的圆心角度数为：，
故答案为：，，；
（2）解：这组数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而这两个数据均落在组，所以学生每天完成作业时间的中位数落在组；
故答案为：；
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合，中位数，以及用样本估计总体．
（1）根据条形图和扇形图中组数据信息：用C的人数除以C所占的比例可求出总人数，用D组人数除以总人数可求出所占的百分比即，再求出A所占的比例，因此A所占的圆心角=A所占的比例乘以；
（2）用总人数减去其它组的人数可求出组人数，结合条形统计图将数据从小到大排列即可推断出中位数所在的组；
（3）先求出A组、组的人数所占的比例，用每天完成作业时间不低于分钟的学生数等于A组、组的人数所占的比例乘以总人数可求出答案.
19．（2024九下·南山开学考）已知一箱苹果比一箱梨子的价格高30元，且用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等．
（1）求苹果、梨子每箱各多少元？
（2）若要购进苹果、梨子共60箱，且苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，试求购买这两种水果总费用的最小值．
【答案】（1）解：设梨子的价格是元箱，则苹果的价格是元箱，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：苹果的价格是80元箱，梨子的价格是50元箱；
（2）解：设购进苹果箱，则购进梨子箱，
根据题意得：，
解得：．
设购买这两种水果总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：购买这两种水果总费用的最小值为4200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用．
（1）设梨子每箱元，则一箱苹果元，根据题意的等量关系：用400元购买苹果的箱数和用250元购买梨子的箱数相等，可列出方程，解方程可求出答案；
（2）设购进苹果m箱，则购进梨子箱，根据苹果的箱数不少于梨子的箱数的2倍，可列出不等式求出m取值范围，再设购买这两种水果总费用为w元，根据题意可求出，利用一次函数性质分析的增减性，进而求出费用的最小值．
20．（2024九下·南山开学考）如图，是的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，连接，过点作于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连结，
是的切线，是切点，
，
，
，
于点，
，
，
，
，
；
（2）解：设的半径为，则，
，
，，
是的直径，
，
于点
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质.
（1）根据切线的性质可推断出：，再根据于点可推断出，根据等边对等角可推断出：，利用等角的余角相等可证明结论；
（2）设的半径为，根据锐角三角函数的定义可得：，根据圆中直径所对的圆周角等于90°，再结合题目条件可证明，进而证明，再利用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，列出比例式，代入数据可求出答案.
21．（2024九下·南山开学考）综合与实践
九年级（1）班同学在数学老师的指导下，以“三角形的旋转”为主题，开展数学活动．
（1）操作探究：
如图1，为等边三角形，将绕点旋转，得到，连接，则　 　．若是的中点，连接，则与的数量关系是　 　．
（2）迁移探究：
如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系．
（3）拓展应用：
如图3，在中，，，将绕点旋转，得到，连接，是的中点，连接．当时，求的长．
【答案】（1）90；
（2）解：由旋转的性质，可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中点，
，
；
（3）解：分以下两种情况进行讨论：
①如图．当点在下方时，
根据题意，得为等腰直角三角形，
．
，
，
，是的中点，
，
；
②如图，当点在上方时，
同理，可得，．
综上所述，的长为或1．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：为等边三角形，将绕点旋转得到，
，
，，
，
，
是的中点，A是的中点，
，
故答案为：90；．
【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的特征，勾股定理．
（1）由等边三角形的性质得，由旋转的性质得，可求得，利用三角形的内角和定理可求出，利用三角形的中位线定理可推断出与的数量关系．
（2）由旋转的性质可得，，根据等边对等角可求出，利用角的运算可求出，又知F是的中点，利用等腰直角三角形性质可得：，根据等量代换可推出与的数量关系．
（3）根据等边对等角求得，分两种情况：当点E在下方时，当点E在上方时，根据等腰三角形三线合一及角所对的直角边等于斜边一半，再利用勾股定理可求出答案．
22．（2024九下·南山开学考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，连接，当时，求点的坐标；
（3）点为抛物线上的点，当时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
，
，
；
（2）解：如图1，
，
，
作轴，交于，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，，
；
（3）解：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（3）①如图，当点在轴下方时，在轴上取一点，使，延长交抛物线于点，过点作于点，过点作于点．
点，的坐标分别为，，
，
，
，
，
．
在中，，设，
则，，
，解得，
，
，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
，
，
直线的表达式为，
，
解得（舍去），，
点的坐标为．
②如图，当点在轴上方时，过点作，交于点，过点作轴于点，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
解得（舍去），，
点的坐标为．
综上可知，点的坐标为或．
【分析】（1）因为抛物线与轴交于，两点，将两点代入解析式可得到方程组，解方程组可求出抛物线的解析式；
（2）根据B和C两点的坐标可求出直线的解析式为，如图，过点作轴交于点，设（，），则（，），根据平行线分线段成比例可得：，再结合PD的长度可求出m的值，进而求出点P的坐标；
（3）分当点在轴下方和当点在轴上方两种情况讨论，利用三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，勾股定理可求出点的坐标为和点的坐标为，进而求出直线直线的表达式或直线的表达式，与二次函数的表达式进行联立可求出点M的坐标．
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