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专题1.3.2 二次根式的运算（二）七大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的四则混合运算及其扩展题型）
【浙教版】
题型一：同类二次根式的判断
【经典例题1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A．与不是同类二次根式，
B．与是同类二次根式，
C．与不是同类二次根式，
D．与不是同类二次根式，
【变式训练1-1】在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【详解】解：、，故和不是同类二次根式，不符合题意；
B、，故和是同类二次根式，符合题意；
C、，故和不是同类二次根式，不符合题意；
D、和不是同类二次根式，不符合题意；
【变式训练1-2】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确；
B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误；
D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误．
【变式训练1-3】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】B
【详解】解：A．，，被开方数不同，不是同类二次根式，该选项不符合题意；
B．，，被开方数相同，是同类二次根式，该选项符合题意；
C．，，被开方数不同，不是同类二次根式，该选项不符合题意；
D．，，被开方数不同，不是同类二次根式；
【变式训练1-4】在，，，中不是的同类二次根式的有 ．
【答案】，
【详解】解：，，，，
，不是的同类二次根式，
题型二：利用同类二次根式求参数
【经典例题2】若与是同类二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：，
∵与是同类二次根式，
∴可以为，
【变式训练2-1】最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】12
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，，
解得：，，
∴．
【变式训练2-2】若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
【答案】
【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
∴，
【变式训练2-3】如果与是同类二次根式，那么 ．
【答案】1
【详解】解：由已知，得，
解得或1，
当时，，不合题意，
∴．
【变式训练2-4】如果最简二次根式和是同类二次根式，那么 ．
【答案】7
【详解】解：∵最简二次根式5和 是同类二次根式，
∴，
解得，，
【变式训练2-5】最简二次根式与可以合并，则算术平方根为 ．
【答案】
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得：，
∴算术平方根为．
题型三：二次根式的混合运算
【经典例题3】计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练3-1】计算：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练3-2】计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
【变式训练3-3】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练3-4】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【变式训练3-5】计算
(1)计算：；
(2)计算：．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型四：已知字母的值，化简求值
【经典例题4】已知，，
(1)求及的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，(2)7
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：，
将代入得：
【变式训练4-1】已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)2 (2)22
【详解】（1）解：已知，
那么
（2）解：原式=
其中，
那么原式
【变式训练4-2】先化简，后求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：原式
当，时，
原式．
【变式训练4-3】已知，，求的值．
【答案】
【详解】解：
，
∵，，
∴原式．
【变式训练4-4】已知：，，求代数式的值．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
，
【变式训练4-5】已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴
．
题型五：已知条件式，化简求值
【经典例题5】已知，求的值．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴a、b同号，且a、b均为正数数，
∴
．
【变式训练5-1】若x，y为实数，且，求的值．
【答案】
【详解】解：由题意知，
解得：，
则，
∴原式．
【变式训练5-2】已知，且x，y都是正数，求的值．
【答案】
【详解】解：，且x，y都是正数，
，
当时，
原式．
【变式训练5-3】已知，为实数，且满足，求的值．
【答案】
【详解】解：∵要有意义，
∴，即，
∴，
∴，
又∵分式有意义，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【变式训练5-4】计算：已知，求的值．
【答案】 ．
【详解】解：方程x2-3x+1=0中，当x=0时，方程左边为0-0+1=1≠0，故x≠0；
将方程两边同除以x，则有：
x-3+=0，即，
∴
∴
∴
【变式训练5-5】若成立，试化简：．
【答案】5
【详解】成立，
，
，
，，
．
题型六：二次根式的实际应用
【经典例题6】有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和，
这两个正方形的边长分别为和，
原长方形木板的面积=；
（2）最多能裁出块这样的木条．理由如下：
，，
块，
块，
块．
从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条．
故答案为：．
【变式训练6-1】已知长方形的长，宽．
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【答案】(1)(2)8，长方形周长大
【详解】（1）解：长方形的周长；
（2）解：长方形的面积，
与长方形等面积的正方形的边长，
与长方形等面积的正方形的周长，
，，，
，
长方形的周长大．
【变式训练6-2】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
(1)求大正方形的边长；
(2)求留下的阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为和，
∴大正方形的边长；
（2）解：∵大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积．
【变式训练6-3】王师傅有一根长为的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成两个面积分别为，的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由．（，结果精确到）
【答案】王师傅的钢材不够用，详见解析
【详解】解：因为较小的正方形的面积是，所以它的边长是，
所以耗费的钢材是．
因为较大的正方形的面积是，所以它的边长是，
所以所耗费的钢材是，
所以所耗费的钢材的总长度是．
又因为，所以王师傅的钢材不够用
【变式训练6-4】交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，．（参考数据：）

(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【答案】(1)
(2)没有超速，理由见解析
【详解】（1）解：依题意，
（2）解：∵肇事汽车的速度为
∴肇事汽车没有超速．
【变式训练6-5】有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12和27的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
【答案】(1)45平方分米(2)3块，理由见详解
【详解】（1）∵两个正方形的面积分别为12和27，
∴这两个正方形的边长分别为和，
由图可知，矩形的长为：+，宽为，
则原矩形的面积为：（）
答：原矩形的面积为45；
（2）最多能裁出3快，理由如下：
根据（1），可知：这两个正方形的边长分别为和，
即此时阴影部分的宽为：，
长为：
∵，
∴，
∴，
∴，，
即可知，阴影部分可以最多裁剪出3块长1.5dm宽1dm的木条．
题型七：二次根式比较大小
【经典例题7】阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简：_____；
(2)的有理化因式是______，______；
(3)比较大小：______（填，，，或中的一种）；
(4)若，求的值．
【答案】(1)(2)，(3)(4)9
【详解】（1）解：．
故答案为：．
（2）解：的有理化因式是．
．
故答案为：，
（3）解：因为 ，，
而，
．
和都是大于的数，
．
故答案为：．
（4）解： ，
，
，
．
【变式训练7-1】我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．
(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；
(2)化简：；
(3)比较，的大小，说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)，理由见解析
【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是；
故答案为：，；
（2）；
（3）；；
，
．
【变式训练7-2】材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)2(2)，理由见解析
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，，且，
∴．
【变式训练7-3】阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)，，(2)
(3)(4)，理由见解析
【详解】（1）解：
；
故答案为：，，；
（2）解：
；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：，理由如下：
与
，
∵，
∴，
∴
∴．
【变式训练7-4】观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，，，
∴
．
（2）∵,,
∴,
,
∵,
∴,
∴．
【变式训练7-5】观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
……
(1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）；
(2)利用上面的规律，计算：；
(3)请利用上面的规律，比较与的大小．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：通过观察可知，，
故答案为：；
（2）解：原式
，
；
（3）解：，，
，
．
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专题1.3.2 二次根式的运算（二）七大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的四则混合运算及其扩展题型）
【浙教版】
题型一：同类二次根式的判断
【经典例题1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式训练1-2】下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式训练1-3】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【变式训练1-4】在，，，中不是的同类二次根式的有 ．
题型二：利用同类二次根式求参数
【经典例题2】若与是同类二次根式，请写出一个符合条件的最简二次根式为 ．
【变式训练2-1】最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【变式训练2-2】若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
【变式训练2-3】如果与是同类二次根式，那么 ．
【变式训练2-4】如果最简二次根式和是同类二次根式，那么 ．
【变式训练2-5】最简二次根式与可以合并，则算术平方根为 ．
题型三：二次根式的混合运算
【经典例题3】计算．
(1)；
(2)．
【变式训练3-1】计算：
(1)
(2)
【变式训练3-2】计算：．
【变式训练3-3】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练3-4】计算：
(1)；
(2)．
【变式训练3-5】计算
(1)计算：；
(2)计算：．
题型四：已知字母的值，化简求值
【经典例题4】已知，，
(1)求及的值；
(2)求的值．
【变式训练4-1】已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式训练4-2】先化简，后求值：，其中，．
【变式训练4-3】已知，，求的值．
【变式训练4-4】已知：，，求代数式的值．
【变式训练4-5】已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
题型五：已知条件式，化简求值
【经典例题5】已知，求的值．
【变式训练5-1】若x，y为实数，且，求的值．
【变式训练5-2】已知，且x，y都是正数，求的值．
【变式训练5-3】已知，为实数，且满足，求的值．
【变式训练5-4】计算：已知，求的值．
【变式训练5-5】若成立，试化简：．
题型六：二次根式的实际应用
【经典例题6】有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：)
【变式训练6-1】已知长方形的长，宽．
(1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．
【变式训练6-2】如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，
(1)求大正方形的边长；
(2)求留下的阴影部分的面积．
【变式训练6-3】王师傅有一根长为的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成两个面积分别为，的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由．（，结果精确到）
【变式训练6-4】交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示车轮划过的距离（单位：），表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得，．（参考数据：）

(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【变式训练6-5】有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12和27的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你计算说明理由．
题型七：二次根式比较大小
【经典例题7】阅读材料：像，……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)化简：_____；
(2)的有理化因式是______，______；
(3)比较大小：______（填，，，或中的一种）；
(4)若，求的值．
【变式训练7-1】我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题．
(1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________；
(2)化简：；
(3)比较，的大小，说明理由．
【变式训练7-2】材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”；
．
根据上述知识，请你解答下列问题：
(1)化简；
(2)比较与的大小，并说明理由．
【变式训练7-3】阅读下列解题过程∶
请回答下列问题∶
(1)仿照上面的解题过程化简∶ ____________________．
(2)请直接写出的化简结果∶____________．
(3)利用上面所提供的想法，求的值．
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小，并说明理由．
【变式训练7-4】观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，，，，……
(1)观察上面的规律，计算下面的式子：
(2)利用上面的规律，试比较与的大小．
【变式训练7-5】观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
……
(1)观察以上规律，请写出第个等式：___________（为正整数）；
(2)利用上面的规律，计算：；
(3)请利用上面的规律，比较与的大小．
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