资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1 二次根式六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断是否为二次根式
【经典例题1】a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-1】在式子，，，，，，中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练1-2】下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】下列式子中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B． C． D．
【变式训练1-5】下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：二次根式求值
【经典例题2】当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式训练2-1】已知点为第二象限的一点，且点到的距离为4，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
【变式训练2-2】关于二次根式的说法中，正确的是（ ）
A．为正整数 B．为正数 C．是整数 D．是非负数
【变式训练2-3】已知，，且，则
【变式训练2-4】若，则 ．
题型三：二次根式有意义的条件
【经典例题3】要使式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【变式训练3-1】如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】x为实数，下列式子一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【变式训练3-4】函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【变式训练3-5】使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【变式训练3-6】函数中自变量的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．
题型四：利用二次根式成立的条件求值
【经典例题4】已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】已知，则的算术平方根是 ．
【变式训练4-2】若满足关系式 ，则 ．
【变式训练4-3】已知x，y为实数，且，则 ．
【变式训练4-4】已知，则 ．
【变式训练4-5】若，则的值为 ．
【变式训练4-6】（1）若都是实数，且，求的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
题型五：求二次根式中的参数
【经典例题5】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【变式训练5-1】已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
【变式训练5-2】若是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
【变式训练5-3】若是整数，则正整数n的最小值是 ．
【变式训练5-4】已知a为整数，且满足，则a的值为 ．
【变式训练5-5】若是二次根式，则a的取值范围是 ；若是正整数，则正整数a的最小值是 ．
题型六：二次根式中定义新运算
【经典例题6】我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为．
(1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______；
(2)若实数x、y满足，求的“整数区间”；
(3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值．
【变式训练6-1】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为．
(1)无理数的“行知区间”是________；
(2)若，求的“行知区间”；
(3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”．
【变式训练6-2】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为．
(1)无理数的“麓外区间”是_____；
(2)若，求的“麓外区间”．
【变式训练6-3】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为．
(1)无理数的“臻美区间”是______．
(2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”．
【变式训练6-4】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为．
(1)无理数的“美好区间”是______；
(2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数，，满足如下关系式：
，求的算术平方根的“美好区间”．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1 二次根式六大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判断是否为二次根式
【经典例题1】a是任意实数，下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】∵二次根式必须满足
∴只有②③④可以确定被开方数非负
一定是二次根式的个数是3个
故选C
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键．
【变式训练1-1】在式子，，，，，，中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：，，，，是二次根式，
，没有意义，
不是二次根式，
是整式，
即二次根式有4个，
故选：C．
【变式训练1-2】下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解．
【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意；
B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意；
C、是三次根式，该选项不符合题意；
D、 ， 是二次根式，该选项符合题意；
故选：D．
【变式训练1-3】下列式子中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解．
【详解】解：A、是二次根式，A符合题意；
B、，不是二次根式，B不符合题意；
C、不是二次根式，C不符合题意；
D、不是二次根式，D不符合题意．
故选：A．
【变式训练1-4】下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、1不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、不是二次根式，故本选项不符合题意；
D、是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D.
【变式训练1-5】下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中被开方数是负数，此式无意义，不是二次根式；
是二次根式．
故选：A．
题型二：二次根式求值
【经典例题2】当时，二次根式的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查二次根式，将已知数值代入原式并进行正确的运算是解题的关键．将代入二次根式中计算即可．
【详解】解：当时，
原式，
故选：C
【变式训练2-1】已知点为第二象限的一点，且点到的距离为4，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题目确定a，b的值，然后利用算术平方根计算即可．
【详解】∵点为第二象限的点，
∴，，
∵点A到x的距离为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标及点到坐标轴的距离，确定a，b的值是解答本题的关键．
【变式训练2-2】关于二次根式的说法中，正确的是（ ）
A．为正整数 B．为正数 C．是整数 D．是非负数
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性解答即可．
【详解】解：对于二次根式，则，
所以a是非负数，是非负数．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，属于基础题型，明确二次根式中的两个非负（）是关键．
【变式训练2-3】已知，，且，则
【答案】3
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：3．
【变式训练2-4】若，则 ．
【答案】2
【分析】将a的值代入原式，再进一步计算可得．
【详解】解：当时，
原式=
=
=
=2
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的有关运算法则和性质．
题型三：二次根式有意义的条件
【经典例题3】要使式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，一元一次不等式的求解，根据二次根式，分式有意义的条件，得到，求出结果即可．
【详解】解：式子有意义，
，
，
故选：B．
【变式训练3-1】如果二次根式有意义，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选：D．
【变式训练3-2】x为实数，下列式子一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，
根据二次根式有意义的条件判断A，B，再根据分式有意义的条件判断C，D．
【详解】因为，所以有意义，则A符合题意；
当时，，二次根式无意义，则B不符合题意；
当时，，分式无意义，则C不符合题意；
当时，，分式无意义，则D不符合题意．
故选：A．
【变式训练3-3】函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围．解答此题的关键是知道二次根式被开方数是非负数和分式分母不为0．利用二次根式和分式有意义的条件，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
解得且，
故答案为：且．
【变式训练3-4】函数中自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】A
【分析】考查了函数自变量的范围，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出的范围．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：A．
【变式训练3-5】使式子 有意义的x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解．
【详解】解：由题意可知：且，
解得且.
故选：A．
【变式训练3-6】函数中自变量的取值范围是（ ）
A．且 B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求函数自变量的取值范围，分式有意义，二次根式有意义．分式的分母不能为0，二次根式中被开方数大于等于0，由此可解．
【详解】解：由题意知，，，
即且，
因此自变量的取值范围是且，
故选A．
题型四：利用二次根式成立的条件求值
【经典例题4】已知实数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得到，则，进而得到，即可求得．
【详解】解：∵要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练4-1】已知，则的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解不等式组，求一个数的算术平方根，先根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出x的值，进而求出y的值，再根据算术平方公式的定义即可求出答案．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的算术平方根是，
故答案为:．
【变式训练4-2】若满足关系式 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
由，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-3】已知x，y为实数，且，则 ．
【答案】5或/或
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、代数式求值，先根据二次根式的被开方数是非负数求得x、y值，进而代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，即，解得，
∴，
∴或，
故答案为：5或．
【变式训练4-4】已知，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，同底数幂的乘法，积的乘方等知识，先利用二次根式有意义的条件，分式有意义的条件求出x的值，从而得出y的值，代入中，利用同底数幂的乘法公式，积的乘方公式求解即可．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-5】若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值等知识，先二次根式有意义的条件根据求出x，继而求出y，从而得解．
【详解】解：依题意得：，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式训练4-6】（1）若都是实数，且，求的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
【答案】（1）的立方根为5；（2）
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根的性质．
（1）根据二次根式有意义的条件，可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入求解即可；
（2）根据题意得到，进一步计算即可求解．
【详解】解：（1）由题意得：，解得，
所以，
所以；
（2）∵与互为相反数，
∴，
∴．
题型五：求二次根式中的参数
【经典例题5】若 是整数，则满足条件的正整数共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是整数，或或，
∴满足条件的正整数是或或．
即满足条件的正整数共有3个，
故答案为：3．
【变式训练5-1】已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【详解】解：，且开方的结果是正整数，
为某数的平方，
又，是满足题意最小的被开方数，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．
【变式训练5-2】若是整数，则整数n的所有可能的值为 ．
【答案】1，4，9，36
【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值．
【详解】解：∵是整数，
∴，且是完全平方数，
∴①，即；
②，即；
③，即；
④，即；
综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36．
故答案是：1，4，9，36．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键．
【变式训练5-3】若是整数，则正整数n的最小值是 ．
【答案】51
【分析】根据，且是整数，n是整数，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是整数，且n是整数，
∴n的最小值为：51，
故答案为：51．
【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
【变式训练5-4】已知a为整数，且满足，则a的值为 ．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质把5写成二次根式的形式，再解不等式组求出a的范围得解．
【详解】解：，
，
，
又∵为整数，
．
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和不等式组的解法是解决本题的关键．
【变式训练5-5】若是二次根式，则a的取值范围是 ；若是正整数，则正整数a的最小值是 ．
【答案】 3
【分析】根据二次根式被开方数有意义的条件求出a的取值范围，利用正整数的意义得到a的最小值．
【详解】解：∵是二次根式，
∴300a≥0，
解得a≥0；
∵是正整数，且300a=100×3a，
∴整数a的最小值是3，
故答案为，3．
【点睛】此题考查了二次根式被开方数有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
题型六：二次根式中定义新运算
【经典例题6】我们知道，任意一个无理数都介于两个连续的整数之间，定义：若无理数t，（其中m、n为两个连续的整数），则称无理数t的“整数区间”为．例如：，则的“整数区间”为；，则的“整数区间”为．
(1)无理数的“整数区间”为______，无理数的“整数区间”为______；
(2)若实数x、y满足，求的“整数区间”；
(3)若一个无理数的“整数区间”为，且满足，其中是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)17
【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的性质，二元一次方程的解：
（1）夹逼法求出无理数的范围即可；
（2）根据被开方数为非负数，求出的值，再利用夹逼法求解即可；
（3）根据题意，得到，且m，都是正整数，结合，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴的“整数区间”为；
∵，
∴，
∴的“整数区间”为；
（2）由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的“整数区间”为；
（3）∵一个无理数的“整数区间”为，
∴，
又∵是关于x，y的二元一次方程的一组正整数解，
∴m，都是正整数，
则，
当时，，，，符合，
将，代入中，得，
∴；
当时，不满足．
∴a的值为17．
【变式训练6-1】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为．
(1)无理数的“行知区间”是________；
(2)若，求的“行知区间”；
(3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
（1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果；
（2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可；
（3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即：无理数的“行知区间”是；
故答案为：；
（2）解：∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴a的“行知区间”为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
联立：，解得：，
∴的算术平方根为，
∵，
∴；
∴的算术平方根的“行知区间”为．
【变式训练6-2】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为，如，所以的麓外区间为．
(1)无理数的“麓外区间”是_____；
(2)若，求的“麓外区间”．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
（1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果；
（2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可．
【详解】（1）∵，
∴，
即：无理数的“麓外区间”是；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的“麓外区间”为．
【变式训练6-3】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为连续的整数），则称无理数的“臻美区间”为，如，所以的“臻美区间”为．
(1)无理数的“臻美区间”是______．
(2)若一个无理数的“臻美区间”为，且满足，其中是关于的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数满足如下关系式：，求的算术平方根的“臻美区间”．
【答案】(1)
(2)37
(3)
【分析】（1）先估算的大小，然后再估算的大小，然后根据无理数的“臻美区间”进行解答即可；
（2）先根据已知条件，求出满足题意的，的值，从而求出，，然后根据二元一次方程解的定义，把、、和的值分别代入，求出即可；
（3）先根据二次根式的非负性，求出，从而得到，再根据偶次方的非负性，列出关于，的两个含有字母参数的二元一次方程，从而求出的值，然后估算的算术平方根的大小，求出的“臻美区间”即可．
【详解】（1）解：，
，
，
无理数的“臻美区间”是，
故答案为：；
（2）解：、为连续的整数，是关于，的二元一次方程的一组正整数解，
是正整数，，
一个无理数的“臻美区间”为，
，
，
当，即时，不存在，舍去；
当，即时，不满足不等式，舍去；
当，即时，满足不等式，则；
当，即时，不存在，舍去；
满足题意的，的值为，
，则；
（3）解：，，，
，
，
，
，
，，
①，②，
①②得，则，即，解得，
，即，
的算术平方根的“臻美区间”为．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算和新定义，涉及二元一次方程的解、非负数的性质-算术平方根、二次根式有意义的条件、非负数的性质-偶次方、估算无理数的大小等知识，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理解新定义的含义．
【变式训练6-4】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为．
(1)无理数的“美好区间”是______；
(2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值．
(3)实数，，满足如下关系式：
，求的算术平方根的“美好区间”．
【答案】(1)
(2)37或161
(3)
【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件：
（1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”；
（2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值；
（3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．．
【详解】（1）∵，
∴，
∴
∴无理数的“美好区间”是，
故答案为：
（2）∵为“美好区间”
∴，为连续的整数
又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解
∴是一个平方数
又∵
∴满足题意的，的值为或
当时，
∴
∴，
当时，，
∴，
∴，
综上所述：的值为37或161．
（3）∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
两式相加得
∴
∴的算术平方根为
∵
的算术平方根的美好区间为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑