专题1.2 二次根式的性质五大题型(一课一讲)2024-2025八年级下册数学同步讲练【浙教版】(原卷+解析版)

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专题1.2 二次根式的性质五大题型(一课一讲)2024-2025八年级下册数学同步讲练【浙教版】(原卷+解析版)

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专题1.2 二次根式的性质五大题型(一课一讲)
【浙教版】
题型一:二次根式的性质与数轴的结合
【经典例题1】实数在数轴上的对应位置如图所示,则的化简结果是( )
A.2 B. C. D.-2
【变式训练1-1】实数a在数轴上的对应位置如图所示,则的化简结果是( )

A.1 B.2 C.2a D.1﹣2a
【变式训练1-2】已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示,则 ( )
A. B. C. D.
【变式训练1-3】已知实数a,b,c对应的点在数轴上的位置如图所示,化简= .
【变式训练1-4】实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示,试化简:.
【变式训练1-5】已知实数,,在数轴上对应的点如图所示,化简
题型二:利用二次根式的性质判断等式是否正确
【经典例题2】下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练2-1】下列各式中,化简正确的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练2-2】下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练2-3】下列各式中,化简正确的是( )
A. B. C. D.
【变式训练2-4】下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【变式训练2-5】下列各式计算正确的是(  )
A. B.
C. D.
题型三:已知字母的取值范围,对代数式进行化简
【经典例题3】如果,那么的化简结果是( )
A. B. C. D.
【变式训练3-1】若,则化简的结果为( )
A. B.2 C.0 D.
【变式训练3-2】当时,化简( )
A. B. C. D.
【变式训练3-3】若,化简的正确结果是( )
A. B.1 C. D.
【变式训练3-4】若a,b为实数,,则化简式子等于(  )
A.a B. C.b D.
【变式训练3-5】已知,则化简 的结果为( )
A. B. C.2 D.
【变式训练3-6】若,且,则的值为 .
题型四:二次根式的性质中阅读题型
【经典例题4】【阅读理解】阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件,并回答下面的问题.
化简:
解:隐含条件,解得.
所以.
所以原式,
【启发应用】(1)按照上面的解法,试化简:;
【类比迁移】(2)实数在数轴上的位置如图所示,化简;
【拓展提升】(3)若,求x的取值范围.
【变式训练4-1】阅读下列解题过程
例:若代数式的值是2,求的取值范围
解:原式,
当时,原式,解得(舍去);
当时,原式,符合条件;
当时,原式,解得(舍去).
∴的取值范围是.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述理解,解答下列问题:
(1)当时,化简:______.
(2)解方程:.
【变式训练4-2】阅读下面的文字后,回答问题:
对题目“化简并求值:,其中”,甲、乙两人的解答不同:
甲的解答:原式;
乙的解答:原式.
(1)你认为 的解答是错误的;
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ;
(3)模仿上面正确的解答,化简并求值:,其中.
【变式训练4-3】阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件,并回答后面的问题:
化简:.
解:隐含条件,解得:,

原式.
【启发应用】
(1)按照上面的解法,试化简:.
【类比迁移】
(2)实数在数轴上的位置如图所示,化简:.
(3)已知为的三边长.化简:.
【变式训练4-4】阅读下列材料并解决问题.
当时,比如,则,此时a的绝对值是它本身;
当时,,此时a的绝对值是零;
当时,比如,则,此时a的绝对值是它的相反数.由此可知:一个数的绝对值要分三种情况讨论,即:

在此分析的过程中,主要渗透了数学分类讨论思想.
问题解决:
(1)请仿照上述分类讨论的方法,分析二次根式的各种可能;
(2)猜想:与的大小关系;
(3)当x满足什么条件时,.
题型五:复合二次根式阅读题型
【经典例题5】阅读材料:
小明在学习了二次根式后,发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方,如,这样就可以将进行化简,
即:.
善于思考的小明进行了以下探索:
对于,若能找到两个数和,使且,则可变形为,即,从而使得.(其中均为正数)
例如:∵,

请你参考小明的方法探索并解决下列问题:
(1)化简:;
(2)化简:;
(3)若,其中,都是整数,直接写出的值.
【变式训练5-1】先阅读材料,然后回答问题:
小张同学在研究二次根式的化简时,遇到了个问题:化简,经过思考,小张解决这个问题的过程
如下:
(1)在上述化简过程中,第 步出现了错误,化简的正确结果为 ;
(2)请根据你从上述材料中得到的启发,化简;
【变式训练5-2】先阅读再求值.
在计算的过程中,小明和小莉的计算结果不一样.
小明的计算过程如下: = = = = 小莉的计算过程如下: = = = =
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确,并说明理由;
(2)计算:.
【变式训练5-3】先阅读下列的解答过程,然后再解答:形如的化简,只要我们找到两个数a、b,使,使得,那么便有:.
例如:化简.
解:首先把化为,这里,由于即,;

由上述例题的方法化简:.
【变式训练5-4】【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如


善于思考的小明进行了探索,找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
【问题解决】
(1)按照上述两个根式化简过程的基本思想,填空______
(2)按照上述两个根式化简过程的基本思想,将化简
(3)针对上述各式反映的规律,写出中m、n与a、b之间的关系.
【变式训练5-5】阅读下列材料回答问题:
形如的化简,只要我们找到两个数a,b,使,,则,,那么便有.如,,,,.
(1)填空:______,______;
(2)化简:
①,
②;
(3)计算:.
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专题1.2 二次根式的性质五大题型(一课一讲)
【浙教版】
题型一:二次根式的性质与数轴的结合
【经典例题1】实数在数轴上的对应位置如图所示,则的化简结果是( )
A.2 B. C. D.-2
【答案】A
【详解】解∶由数轴知∶,,
∴,


【变式训练1-1】实数a在数轴上的对应位置如图所示,则的化简结果是( )

A.1 B.2 C.2a D.1﹣2a
【答案】B
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 0∴a>0, a-1<0,
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2.
【变式训练1-2】已知实数a,b,c在数轴上的对应点如图所示,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解:由数轴可知,,,
,,

【变式训练1-3】已知实数a,b,c对应的点在数轴上的位置如图所示,化简= .
【答案】
【详解】解:由数轴,得,
∴,


【变式训练1-4】实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示,试化简:.
【答案】原式;
【详解】解:由数轴得,
,,
∴原式

【变式训练1-5】已知实数,,在数轴上对应的点如图所示,化简
【答案】
【详解】解:根据实数,,在数轴上对应点的位置可得:,且,
∴,,,
∴原式.
题型二:利用二次根式的性质判断等式是否正确
【经典例题2】下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】A.,故此选项错误;
B. ,故此选项正确;
C. ,故此选项错误;
D. ,故此选项错误.
【变式训练2-1】下列各式中,化简正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】解:A、,该选项错误,不符合题意;
B、,该选项错误,不符合题意;
C、,该选项正确,符合题意;
D、,根号里面的数不能为负数,该选项错误,不符合题意.
【变式训练2-2】下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】解:A、,本选项不符合题意;
B、,本选项符合题意;
C、,本选项不符合题意;
D、,本选项不符合题意;
【变式训练2-3】下列各式中,化简正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】解:、,原选项化简正确,符合题意;
、,原选项化简错误,不符合题意;
、,原选项化简错误,不符合题意;
、,原选项化简错误,不符合题意;
【变式训练2-4】下列计算正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【详解】解:A. ,故本选项不正确,不符合题意;
B. ,故本选项不正确,不符合题意;
C. ,故本选项不正确,不符合题意;
D. ,本选项正确,符合题意;
【变式训练2-5】下列各式计算正确的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】A. ,原式计算错误,不符合题意;
B. ,原式计算错误,不符合题意;
C. 无意义,不符合题意;
D. ,原式计算正确,符合题意;
题型三:已知字母的取值范围,对代数式进行化简
【经典例题3】如果,那么的化简结果是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:,
∵,
∴,
∴,
【变式训练3-1】若,则化简的结果为( )
A. B.2 C.0 D.
【答案】B
【详解】解:∵,
∴,,


【变式训练3-2】当时,化简( )
A. B. C. D.
【答案】B
可.
【详解】解:.


【变式训练3-3】若,化简的正确结果是( )
A. B.1 C. D.
【答案】D
【详解】解:,
,,
【变式训练3-4】若a,b为实数,,则化简式子等于(  )
A.a B. C.b D.
【答案】C
【详解】解:∵,
∴,
∴.
【变式训练3-5】已知,则化简 的结果为( )
A. B. C.2 D.
【答案】C
【详解】解:∵,


【变式训练3-6】若,且,则的值为 .
【答案】
【详解】解:,


,即,
则.
题型四:二次根式的性质中阅读题型
【经典例题4】【阅读理解】阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件,并回答下面的问题.
化简:
解:隐含条件,解得.
所以.
所以原式,
【启发应用】(1)按照上面的解法,试化简:;
【类比迁移】(2)实数在数轴上的位置如图所示,化简;
【拓展提升】(3)若,求x的取值范围.
【答案】(1)1;(2);(3)
【详解】解:(1)∵有意义,
∴,即,


(2)由题意得,,
∴,


(3)∵,
∴,
当时,;
当时,;
当时,;
∴x的取值范围是.
【变式训练4-1】阅读下列解题过程
例:若代数式的值是2,求的取值范围
解:原式,
当时,原式,解得(舍去);
当时,原式,符合条件;
当时,原式,解得(舍去).
∴的取值范围是.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述理解,解答下列问题:
(1)当时,化简:______.
(2)解方程:.
【答案】(1)2
(2)的值为或7
【详解】(1)解:当时,,,
∴.
(2)解:原式,
当时,原式,解得,符合条件;
当时,原式,舍去;
当时,原式,解得,符合条件.
∴的值为或7.
【变式训练4-2】阅读下面的文字后,回答问题:
对题目“化简并求值:,其中”,甲、乙两人的解答不同:
甲的解答:原式;
乙的解答:原式.
(1)你认为 的解答是错误的;
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质 ;
(3)模仿上面正确的解答,化简并求值:,其中.
【答案】(1)甲
(2)
(3)2
【详解】(1)解:∵,
∴,


∴甲的解答是错误的;
故选:甲;
(2)解:错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质,
故答案为:;
(3)解:

∵,
∴,,
∴原式.
【变式训练4-3】阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件,并回答后面的问题:
化简:.
解:隐含条件,解得:,

原式.
【启发应用】
(1)按照上面的解法,试化简:.
【类比迁移】
(2)实数在数轴上的位置如图所示,化简:.
(3)已知为的三边长.化简:.
【答案】(1)1;(2);(3)
【详解】解:(1),
隐含条件,解得:,

原式;
(2)由数轴可知,,,


(3)解:由三角形的三边关系可知,,,
,,

【变式训练4-4】阅读下列材料并解决问题.
当时,比如,则,此时a的绝对值是它本身;
当时,,此时a的绝对值是零;
当时,比如,则,此时a的绝对值是它的相反数.由此可知:一个数的绝对值要分三种情况讨论,即:

在此分析的过程中,主要渗透了数学分类讨论思想.
问题解决:
(1)请仿照上述分类讨论的方法,分析二次根式的各种可能;
(2)猜想:与的大小关系;
(3)当x满足什么条件时,.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解:当时,;
当时,,
当时,,
即;
(2)解:由题意及(1)得,

(3)解:有意义,



即,
解得,
即当满足时,.
题型五:复合二次根式阅读题型
【经典例题5】阅读材料:
小明在学习了二次根式后,发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方,如,这样就可以将进行化简,
即:.
善于思考的小明进行了以下探索:
对于,若能找到两个数和,使且,则可变形为,即,从而使得.(其中均为正数)
例如:∵,

请你参考小明的方法探索并解决下列问题:
(1)化简:;
(2)化简:;
(3)若,其中,都是整数,直接写出的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解:

(2)解:
=

(3)解:∵,
∴,
∴,
∵,都是整数,
∴,
解得:,
∴,
解得:.
【变式训练5-1】先阅读材料,然后回答问题:
小张同学在研究二次根式的化简时,遇到了个问题:化简,经过思考,小张解决这个问题的过程
如下:
(1)在上述化简过程中,第 步出现了错误,化简的正确结果为 ;
(2)请根据你从上述材料中得到的启发,化简;
【答案】(1)④,
(2)
【详解】(1)解:①,
②,
③,
④,
在上述化简过程中,第④步出现了错误,化简的正确结果为:;
(2)解:原式

【变式训练5-2】先阅读再求值.
在计算的过程中,小明和小莉的计算结果不一样.
小明的计算过程如下: = = = = 小莉的计算过程如下: = = = =
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确,并说明理由;
(2)计算:.
【答案】(1)小莉的化简结果正确,见解析
(2)
【详解】(1)小莉的化简结果正确,理由如下:
(2)原式
【变式训练5-3】先阅读下列的解答过程,然后再解答:形如的化简,只要我们找到两个数a、b,使,使得,那么便有:.
例如:化简.
解:首先把化为,这里,由于即,;

由上述例题的方法化简:.
【答案】
【详解】解:,这里,
由于,,
∴,


【变式训练5-4】【阅读材料】小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如


善于思考的小明进行了探索,找到了一种把类似的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
【问题解决】
(1)按照上述两个根式化简过程的基本思想,填空______
(2)按照上述两个根式化简过程的基本思想,将化简
(3)针对上述各式反映的规律,写出中m、n与a、b之间的关系.
【答案】(1)
(2)
(3),
【详解】(1)解:;
故答案为:;
(2)解:

(3)解:把两边平方可得:
∴,.
【变式训练5-5】阅读下列材料回答问题:
形如的化简,只要我们找到两个数a,b,使,,则,,那么便有.如,,,,.
(1)填空:______,______;
(2)化简:
①,
②;
(3)计算:.
【答案】(1);
(2)①;②
(3)
【详解】(1)解:


故答案为:;;
(2)解:①



(3)解:

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