资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.3.1 二次根式的运算（一）七大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的乘除运算及其扩展题型）
【浙教版】
题型一：利用二次根式的运算法则求取值范围
【经典例题1】若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【详解】解：由题意，可得：，
解得：，
【变式训练1-1】若成立，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，得
．
解得
．
【变式训练1-2】若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴，
【变式训练1-3】若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，
【变式训练1-4】若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】解：根据题意得，，
∴由①得，；由②得，，
∴，
【变式训练1-5】能使等式成立的的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】C
【详解】
解得
题型二：二次根式的乘除混合运算
【经典例题2】计算：．
【答案】．
【详解】解：
．
【变式训练2-1】计算：
【答案】
【详解】解：
；
另一种解法：
原式
．
【变式训练2-2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2(2)(3)(4)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【变式训练2-3】计算：
(1)；
(2)，．
【答案】(1)； (2)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式训练2-4】计算：．
【答案】
【详解】解：
．
【变式训练2-5】计算：．
【答案】
【详解】解：原式
．
题型三：最简二次根式
【经典例题3】下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A. ，故原二次根式不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B. ，故原二次根式不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C. ，故原二次根式不是最简二次根式，本选项不符合题意；
D. ，是最简二次根式，本选项符合题意．
【变式训练3-1】将二次根式化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：若二次根式有意义，则，
即：，
解得：，
原式，
【变式训练3-2】二次根式、、、中是最简二次根式的有 个．
【答案】1
【详解】解：，，，都不是最简二次根式，
是最简二次根式，
则最简二次根式有1个，
【变式训练3-3】下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ．
【答案】
【详解】
解：，因此是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式；
，因此不是最简二次根式，
故答案为：．
【变式训练3-4】在，，，，中最简二次根式有 个．
【答案】
【详解】解：，
不是最简二次根式，
，
不是最简二次根式，
最简二次根式有：，，，共个，
【变式训练3-5】二次根式、、、中，最简二次根式是 ．
【答案】、
【详解】解：、是最简二次根式，
被开方数含有分母，被开方数含有能开得尽方的因式，都不是最简二次根式．
题型四：将括号内（外）的移到括号外（内）
【经典例题4】已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，
，
原式，
【变式训练4-1】式子化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵中，，
∴，
∴，
∴．
【变式训练4-2】把根式化简成最简二次根式，正确结果是（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】C
【详解】解：，
【变式训练4-3】把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
【答案】/
【详解】解：，
，
，
【变式训练4-4】已知，，化简 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，
题型五：已知最简二次根式求参数
【经典例题5】如果最简二次根式和可以合并，那么x的值为（ ）
A． B．10 C．3 D．
【答案】C
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
，
解得．
【变式训练5-1】若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，且与最简二次根式能合并，
与最简二次根式是同类二次根式，
，解得，
【变式训练5-2】如果两个最简二次根式与能合并，那么 ．
【答案】4
【详解】解：∵两个最简二次根式与能合并，
∴两个最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得．
【变式训练5-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得：，
当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意，
若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是．
【变式训练5-4】若最简二次根式和能合并，则 ．
【答案】/0.5
【详解】解：由题意得：，
解得：，
．
【变式训练5-5】最简二次根式与能合并，则 ．
【答案】2
【详解】解：由题意知，，，
解得，，，
∴，
题型六：分母有理化中定义新运算
【经典例题6】对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么
【答案】
【详解】解：，
【变式训练6-1】对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如．那么 ．
【答案】/
【详解】解∶
．
【变式训练6-2】定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则
【答案】或
【详解】解：，
，
，
当时，，
，
，
，
当时，，
，
，
综上，的值为或．
【变式训练6-3】对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么 ．
【答案】/
【详解】解：，
，
【变式训练6-4】若表示不超过的最大整数（如，等），根据定义计算下面算式： ．
【答案】2020
【详解】解：∵，
∴，
∴第n－1个式子为：，
则，
∴所求式子的结果为2020个1相加，即2020，
【变式训练6-5】对于两个实数a，b（其中a＞b），定义一种新运算：a b＝，如：9 5＝＝7，那么（﹣3） （﹣5）＝ ．
【答案】﹣4
【详解】(﹣3) (﹣5)＝，
题型七：分母有理化综合
【经典例题7】我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题
(1)计算：；
(2)比较：与的大小；
(3)化简：．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式训练7-1】阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：
请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)的有理化因式是______，______；
(2)比较大小：______（填>，<，或中的一种）
(3)计算：
(4)已知，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)(4)1
【详解】（1）解：的有理化因式是
故答案为：；．
（2）解：∵，
∴
故答案为：．
（3）解：
；
（4）∵
又∵
∴
【变式训练7-2】认识概念：
一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；
如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是；
二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
如：；
理解应用：
（1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________；
（2）化简：；
拓展应用：
（3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）， ；（2）；（3），理由见解析
【详解】解：（1）∵，
∴的有理化因式是，
∵，
∴将分母有理化得，
故答案为：，；
（2）
；
（3），理由如下：
由题意得：，，
∵，
∴．
【变式训练7-3】阅读下列解题过程
；
请解答下列问题：
(1)观察上面解题过程，计算
(2)请直接写出的结果．（）
(3)利用上面的解法，请化简：
【答案】(1)(2)(3)9
【详解】（1）解：原式；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：原式
．
【变式训练7-4】南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题：
已知，他是这样分析与解答的：
；
请你根据小亮的分析过程，解决如下问题：
(1)填空：______，______；
(2)计算：．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）解：，
；
故答案为：，；
（2）解：
．
【变式训练7-5】阅读下列解题过程：
；
．
请回答下列问题：
(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①______；②______；③的倒数是______；
(2)应用：求的值；
【答案】(1)①；②；③；
(2)
【详解】（1）解：①；
②，
③∵，
∴的倒数是；
故答案为：，，；
（2）解：原式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.3.1 二次根式的运算（一）七大题型（一课一讲）
（内容:二次根式的乘除运算及其扩展题型）
【浙教版】
题型一：利用二次根式的运算法则求取值范围
【经典例题1】若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【变式训练1-1】若成立，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】若，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】若在实数范围内成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式训练1-5】能使等式成立的的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
题型二：二次根式的乘除混合运算
【经典例题2】计算：．
【变式训练2-1】计算：
【变式训练2-2】计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式训练2-3】计算：
(1)；
(2)，．
【变式训练2-4】计算：．
【变式训练2-5】计算：．
题型三：最简二次根式
【经典例题3】下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】将二次根式化为最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】二次根式、、、中是最简二次根式的有 个．
【变式训练3-3】下列二次根式、、、中，最简二次根式是 ．
【变式训练3-4】在，，，，中最简二次根式有 个．
【变式训练3-5】二次根式、、、中，最简二次根式是 ．
题型四：将括号内（外）的移到括号外（内）
【经典例题4】已知，那么可化简为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】式子化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】把根式化简成最简二次根式，正确结果是（ ）
A． B． C．－ D．－
【变式训练4-3】把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ．
【变式训练4-4】已知，，化简 ．
题型五：已知最简二次根式求参数
【经典例题5】如果最简二次根式和可以合并，那么x的值为（ ）
A． B．10 C．3 D．
【变式训练5-1】若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】如果两个最简二次根式与能合并，那么 ．
【变式训练5-3】若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ．
【变式训练5-4】若最简二次根式和能合并，则 ．
【变式训练5-5】最简二次根式与能合并，则 ．
题型六：分母有理化中定义新运算
【经典例题6】对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么
【变式训练6-1】对于任意不相等的两个数，，定义一种运算※如下：，如．那么 ．
【变式训练6-2】定义：不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，；，，，若且，则
【变式训练6-3】对于两个实数，（其中），定义一种新运算：，如：，那么 ．
【变式训练6-4】若表示不超过的最大整数（如，等），根据定义计算下面算式： ．
【变式训练6-5】对于两个实数a，b（其中a＞b），定义一种新运算：a b＝，如：9 5＝＝7，那么（﹣3） （﹣5）＝ ．
题型七：分母有理化综合
【经典例题7】我们已经知道，因此像这样通过分子、分母同乘一个式子，把无理数的分母化成有理数的变形叫做分母有理化．请你通过分母有理化完成以下各小题
(1)计算：；
(2)比较：与的大小；
(3)化简：．
【变式训练7-1】阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如：
请你根据上述材料，解决如下问题：
(1)的有理化因式是______，______；
(2)比较大小：______（填>，<，或中的一种）
(3)计算：
(4)已知，求的值．
【变式训练7-2】认识概念：
一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式；
如：；，我们称的一个有理化因式为，的一个有理化因式是；
二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
如：；
理解应用：
（1）填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________；
（2）化简：；
拓展应用：
（3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由．
【变式训练7-3】阅读下列解题过程
；
请解答下列问题：
(1)观察上面解题过程，计算
(2)请直接写出的结果．（）
(3)利用上面的解法，请化简：
【变式训练7-4】南昌某中学八年级数学兴趣小组的小亮同学研究了这样一道在二次根式分母有理化中的问题：
已知，他是这样分析与解答的：
；
请你根据小亮的分析过程，解决如下问题：
(1)填空：______，______；
(2)计算：．
【变式训练7-5】阅读下列解题过程：
；
．
请回答下列问题：
(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①______；②______；③的倒数是______；
(2)应用：求的值；
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑