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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.3.2 二次根式的运算（二）大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
2．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
3．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．361 B．360 C．316 D．315
5．下列代数式中，的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．-5
7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知 ABC的三边长分别为，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）
A．点A到直线的距离是2 B．
C． D．
10．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．比较大小： ．
12．化简 ．
13．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ．
14．一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ．
15．若，则 ．
16．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是 ．

17．数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对了 道题
18．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ．
A B
5 C
10 D
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．已知，求的值．
21．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根；
(3)若，求的值．
22．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓．
(1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
(2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
23．阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴
∴，∴
问题解决：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
24．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3：＝
特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
(3)请证明你的猜想；
(4)应用运算规律计算：．
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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.3.2 二次根式的运算（二）大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A．，故本选项计算正确，符合题意，
B．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意，
C．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意，
D．，故本选项计算错误，不符合题意，
2．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【详解】解：，
∵，，
∴，即，
∴，
3．下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，，
∴能与合并的是，
4．如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．361 B．360 C．316 D．315
【答案】B
【详解】解：小正方形的边长为：
，
∴
5．下列代数式中，的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A，，是的有理化因式，符合题意；
B，，不是的有理化因式，不合题意；
C，，不是的有理化因式，不合题意；
D，，不是的有理化因式，不合题意；
6．已知，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．-5
【答案】B
【详解】∵
∴
∴
∴
7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，且的三边长分别为，，，
，，，
∴的面积为：
，
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：
，
9．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（　　）
A．点A到直线的距离是2 B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由勾股定理，得：，，，故选项C正确；
∴，
∴为直角三角形，，故选项B正确；
∴，故选项D错误；
过点A作于点D，
则，
∴，
即点A到直线的距离是2，故选项A正确；
10．已知实数a、b，定义“△”运算如下：，计算的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵，
∴
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．比较大小： ．
【答案】
【详解】解：，，
，
故，
12．化简 ．
【答案】
【详解】
，
13．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：最简二次根式 与 是同类二次根式，
，
整理得：，
解得：，，
当时，，
．
14．一个长方形长与宽的比的，它的对角线长为，则它的面积是 ．
【答案】30
【详解】解：设长为，宽为，根据题意：
，即，
，
或（舍去），
，即长方形的长为，宽为，
它的面积是，
15．若，则 ．
【答案】
【详解】解：由题意可知，
原式
，
当时，
原式，
16．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是 ．

【答案】
【详解】解：当时，，
由，所以不能输出，
当时，，
由，
∴输出的结果是，
17．数学课上，嘉嘉做了几道计算题：①，②，③，④，⑤；请你当小老师检查一下，嘉嘉做对了 道题
【答案】2
【详解】解：①，故错误；
②与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
③，故正确；
④，故错误；
⑤，故正确；
故正确的有2题，
18．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ．
A B
5 C
10 D
【答案】
【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为，
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得，
，解得，
，解得，
，解得，
，解得，
，
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
20．已知，求的值．
【答案】
【详解】解：由题意得，
∴，
∴，
∴．
21．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根．
(1)求a，b的值；
(2)求的平方根；
(3)若，求的值．
【答案】(1)，(2)(3)6
【详解】（1）解：，由题意，得：，
∴，
∵b是27的立方根，
∴；
（2）解：当，时，
，
∴的平方根；
（3），
∴
．
22．2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓．
(1)制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
(2)当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：根据题意，需要彩纸的面积为
；
（2）解：当，时．
．
23．阅读理解：已知，求的值．小明是这样分析与解答的：
∵
∴，∴
∴，∴
问题解决：
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)2
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
．
24．小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律，
特例1：
特例2：
特例3：＝
特例4： ；（填写一个符合上述运算特征的例子）
(2)观察、归纳，得出猜想，如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ；
(3)请证明你的猜想；
(4)应用运算规律计算：．
【答案】(1)；(2)；(3)见解析；(4)．
【详解】（1）解 ：根据材料提示可得，特例4为：，
故答案为：；
（2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：，
故答案为：；
（3）解：，
等式左边等式右边；
（4）解：
．
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