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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.1 二次根式六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（）
A． B． C．3 D．
2．已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．18
3．杜阿姨准备开辟一块直角三角形空地种植花卉，现测得该直角三角形的两条直角边的长分别是米和米，则这块直角三角形空地的斜边长为（ ）
A．米 B．5米 C．6米 D．7米
4．若 ABC的三边，b，c满足，则 ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．使在实数范围内成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（ ）
A．满足的
B．代数式中的
C． ABC的三边长分别为和
D．到所表示的点的距离不大于的点所表示的
9．若代数式在实数范围内有意义，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则代数式，的值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不存在
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
12．已知m，n为实数，且，则 ．
13．若，则 ．
14．已知x，y 是实数，且，则
15．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ．
16．若整数m使得关于x的一次函数图象不经过第三象限，且使得二次根式有意义，则满足条件的所有整数m的和是 ．
17．若成立，则的取值范围是 ．
18．设，，是两两不等的实数，且，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）若，都是实数，且，求的立方根；
（2）已知的立方根是3，的算术平方根是3，是的整数部分，求的值．
20．已知．先化简，再求值：．
21．在平面直角坐标系中，有两点，且a，b满足．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若点P在x轴上，且的面积为6，求点P的坐标．
22．若实数a，b，c满足．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
23．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
24．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式，
(1)写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案）
(2)已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数的值．
(3)小明在解方程时，采用了下面的方法：
去分母，得①
可得②
①+②，可得
将两边平方可解得，经检验：是原方程的解．
∴原方程的解为：
请你学习小明的方法，解下面的方程：
方程的解是_____________；（直接写出答案）
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2024-2025八年级下册数学同步练习重难点突破【浙教版】
专题1.1 二次根式六大题型（一课一练）
[本试卷包含了常见考题，对基础知识进行巩固测试]
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，对每个选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；
B、是二次根式，故此选项符合题意；
C、是有理数，不符合二次根式的定义，故此选项不合题意；
D、时，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；
故选：B．
2．已知x，y为实数，且，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．18
【答案】B
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3．杜阿姨准备开辟一块直角三角形空地种植花卉，现测得该直角三角形的两条直角边的长分别是米和米，则这块直角三角形空地的斜边长为（ ）
A．米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的性质，正确理解题意是解题的关键．根据勾股定理列式，计算即得答案．
【详解】这块直角三角形空地的斜边长为（米）．
故选：A．
4．若 ABC的三边，b，c满足，则 ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰直角三角形，非负数性质，由非负数性质可求得，，从而可得，，即可判断三角形的形状．
【详解】解： ABC的三边，b，c满足，
∴，，
∴，，
∴ ABC是等腰直角三角形．
故选：A．
5．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：D．
6．已知，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的非负性和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，，根据非负性，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
故选C．
7．使在实数范围内成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】解：在实数范围内成立，
，
解得：，
故选：A．
8．下列四个选项中所表示的的取值范围与图中表示的的取值范围相同的是（ ）
A．满足的
B．代数式中的
C． ABC的三边长分别为和
D．到所表示的点的距离不大于的点所表示的
【答案】D
【分析】由数轴可知，解集为，然后根据解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由数轴可知，解集为，
A中的解集为，故不符合要求；
B中，，
解得，，故不符合要求；
C中第三边长的取值范围为，即，故不符合要求；
D中，
解得，，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离等知识．熟练掌握在数轴上表示解集，解一元一次不等式组，二次根式有意义的条件，三角形三边关系的应用，数轴上两点之间的距离是解题的关键．
9．若代数式在实数范围内有意义，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式有意义的条件：被开方得式子大于或等于0，一次函数图像的性质：系数大于0过一三象限，常数大于0向上平移，小于0向下平移，根据二次根式有意义的条件及一次函数图像性质直接判断即可得到答案；
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴，
解得，
∵一次函数中，，
∴，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
10．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：，则代数式，的值是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不存在
【答案】A
【分析】本题考查偶次方根有意义的条件，代数式求值．
根据六次方根的被开方数是非负数和求x、y、z是两两不等的实数，求得，代入求得，再把，代入计算即可．
【详解】解：由题意，得，
∵x、y、z是两两不等的实数，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】，且
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0，列出不等式组，计算即可．
【详解】解：根据题意得，，且，
即，且，
故答案为：，且．
12．已知m，n为实数，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．先由得且，即可得出的值，再将的值代入可得的值，最后将、的值代入即可得解．
【详解】解：由得：
且，
解得：，
将代入得：
，
∴，
故答案为：．
13．若，则 ．
【答案】2024
【分析】本题考查二次根式有意义，先根据得到，再化简绝对值计算即可．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．已知x，y 是实数，且，则
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，直接利用二次根式有意义的条件分析即可得出答案，正确把握二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：要使有意义，
则，
解得：，
∴
∴，
故答案为：1．
15．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了方程的整数解问题，由题意，令，则，可得，由m是正整数，且整数，推出时，，时，，由此即可解决问题．解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解，令从而使得用表示的代数式不含根式是解题的关键．
【详解】解：由题意，令，则，
∴，
∵m是正整数，且整数，
∴时，，
时，，
∴正整数m的所有取值的和为15，
故答案为：15．
16．若整数m使得关于x的一次函数图象不经过第三象限，且使得二次根式有意义，则满足条件的所有整数m的和是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式有意义的条件，解不等式组等知识，掌握一次函数图象经过的象限与系数的关系是关键；由整数m使得关于x的一次函数图象不经过第三象限，得，求得m的范围；由有意义，也可求得m的范围，最后可求得两个范围的公共部分，即可求得整数m的值，最后求出结果．
【详解】解：由于整数m使得关于x的一次函数图象不经过第三象限，
则有，解得：；
由于有意义，则，即；
所以同时满足上述条件的m范围为：；
则此范围内整数m为，，0，1，2，3，其和为：；
故答案为：3．
17．若成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，即可得到答案，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
18．设，，是两两不等的实数，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义，整式的加减运算，解题的关键是根据被开方数是非负数推出，．先根据二次根式有意义的条件可得，，，，推得，代入求得，根据整式的加减运算计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴，
∵，，，，是两两不等的实数，
∴，
原等式整理为，
即；
故
．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（1）若，都是实数，且，求的立方根；
（2）已知的立方根是3，的算术平方根是3，是的整数部分，求的值．
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出，进而得到，再求出的值，即可根据立方根的定义求出答案；
（2）根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，根据无理数的估算方法求出c的值，再求和即可得到答案．
【详解】解：（1）∵式子有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的立方根为3，
∴的立方根为3，；
（2）∵的立方根是3，的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．已知．先化简，再求值：．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的化简求值，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的化简．
根据已知条件求出，的值，再化简分式代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，
∴，
∴，
∴
．
21．在平面直角坐标系中，有两点，且a，b满足．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若点P在x轴上，且的面积为6，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了坐标与图形性质，二次根式有意义的条件和三角形的面积，解答（2）题，需要注意符合条件的点有两个点符合题意．
（1）由二次根式的被开方数是非负数可以求得、的值．则易求点、的坐标．
（2）设，由三角形的面积公式解答．
【详解】（1）解：依题意，得：，
解得；
则．
所以，；
（2）解：设，
由题意知，．
解得或．
所以点的坐标或．
22．若实数a，b，c满足．
(1)求a，b，c；
(2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)，，；
(2)．
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的定义．
（1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值；
（2）利用等腰三角形的定义和三角形三边长关系分析得出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：，，
解得：，
∴，
则，；
（2）解：当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：，不能构成三角形，舍去；
当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
则等腰三角形的周长为：，
综上，这个等腰三角形的周长为：
23．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
【答案】5
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可．
【详解】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义，
∴且
由得到
∴
解得，
∴，
∴
24．我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式，
(1)写出根分式中的取值范围__________（直接写出答案）
(2)已知两个根分式与．
①是否存在的值使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由；
②当是一个整数时，求无理数的值．
(3)小明在解方程时，采用了下面的方法：
去分母，得①
可得②
①+②，可得
将两边平方可解得，经检验：是原方程的解．
∴原方程的解为：
请你学习小明的方法，解下面的方程：
方程的解是_____________；（直接写出答案）
【答案】(1)且；
(2)①不存在，理由见解析；②的值为；
(3)．
【分析】本题考查二次根分式有意义的条件，无理方程的解法，求根分式的值．解题的关键是学会模仿例题解决问题，利用平方差公式把问题转化．注意：解无理方程需检验．
（1）根据平方根的被开方数不能为负数、分母不能为0，代数式才有意义即可得答案；
（2）①根据已知列出方程，解方程即得答案；
②计算，变形为，是一个整数，则的值为1或2，解出方程取无理数且即可；
（3）利用平方差公式，将无理方程转化为整式方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由且，
解得：且．
故答案为：且．
（2）解：①不存在，理由如下：
由，得：，
解得：，
经检验：是原方程的增根，
原方程无解，
不存在；
②，
是一个整数，
是整数，
或，
解得：或或或，
为无理数，且，
．
无理数的值为．
（3）解：①，
，
，
，
又可得：，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：；
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