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位育中学2024学年第一学期高一年级数学期中
2024.11
一、填空题（本大题共有12题,满分42分,第1-6题每题3分,第7-12题每题4分）
1．已知集合，，则________．
2．若，则________．
3．已知集合，，且，则实数的值为________．
4．已知集合，则集合可以用列举法表示为________．
5．设，，是的充分条件，则实数的取值范围是________．
6．设实数，为常数，已知等式恒成立，则________．
7．已知实数，满足，则的最大值为________．
8．若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．
9．已知全集，若，，，则集合________．
10．设，则方程的解集为________．
11．设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是________．
12．若对于任意的实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围是________．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）
13．设，下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
15．设，，则“”是“且”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
16．设，关于，的方程组，对于命题：（1）存在，使得该方程组有无数组解；（2）对任意，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）均为真命题 B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分42分）
17．（本题满分6分）
已知集合，集合，设全集为实数集，若，求实数的取值范围．
18．（本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分）
（1）已知且，且，证明：当时，；
（2）设，，用，表示．
19．（本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分）
去年某商户销售某品牌服装9000套，每套服装利润为50元．为提高销售利润，今年计划投入适当的广告费进行产品促销，据测算若投放广告费用万元，则该品牌服装的年销量将增长．
（1）若要使得今年净利润比去年净利润至少增长，求投放广告费用的范围；
（2）当投放广告费用为多少万元时，该品牌服装的净利润最大？
20．（本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分）
已知关于和的方程组．
（1）当时，求方程组的解集；
（2）设和是方程组的两组不同的解，若，求实数的取值范围．
21．（本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分）
设为实数集，若非空集合满足条件：①；②对任意，，都有且，则称集合为封闭集．
（1）判断集合，是否为封闭集，并说明理由；
（2）设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.D 14.C 15.B 16.D
16．设，关于，的方程组，对于命题：（1）存在，使得该方程组有无数组解；（2）对任意，该方程组均有一组解，下列判断正确的是（ ）
A．（1）（2）均为真命题 B．（1）（2）均为假命题
C．（1）为真命题，（2）为假命题 D．（1）为假命题，（2）为真命题
【答案】D
【解析】对于（1），假设该两直线有无穷多解，则两直线重合，由于和互为相反数,
故不存在,使得该方程组有无数组解；故（1）为假命题；
对于（2）,对任意,两直线垂直,故该方程组均有一组解,故（2）为真命题;故选D.
三．解答题
17.
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2）
20．【答案】（1） （2） （3）
21．（本题满分9分，第1小题满分4分，第2小题满分5分）
设为实数集，若非空集合满足条件：①；②对任意，，都有且，则称集合为封闭集．
（1）判断集合，是否为封闭集，并说明理由；
（2）设全集为，已知集合是封闭集，求证：不是封闭集．
【答案】（1）是,不是 （2）
【解析】（1）是封闭集,不是封闭集,理由如下：
对于集合,因为所以是封闭集;
对于集合,因为,
所以集合不是封闭集.

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