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市西中学2024学年第一学期高二年级数学期中
2024.11
一、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
1．三垂线定理：平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的________垂直．
2．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为2，则________．
3．课本必修第三册80页上介绍了“多面体的欧拉定理”：简单多面体的顶点数、棱数与面数之间具有关系：________．
4．平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的表面积为________．
5．一个圆台的两个底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为________．
6．已知斜线段的长度是斜线段在这个平面内射影的长的倍，则这条斜线和这个平面所成的角的大小为________．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为________．
8．已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为________．
9．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是________．
10．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成斜线在角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为________时，所遮阴影面面积达到最大．
11．设，分别是圆柱的上、下底面，的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体，若圆柱的体积为1，那么圆锥，的公共部分的体积为________．
12．如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点在棱上运动，点在正方体的底面内运动，则的中点的轨迹与正方体从顶点出发的三个面所围成的几何体的表面积是________．
二、选择题（本大题共4题，每题4分，满分16分）
13．设，是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
14．下列说法错误的是（ ）
A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形
C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
15．下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的个数有（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
16．在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（ ）对异面直线．
A．72 B．96 C．102 D．126
三、解答题（本大题共5题，共分）
17．（8分）如图，直线是平面的斜线，且与平面斜交于点，上异于点的一点在平面上的射影为，在平面内过点作一条直线，直线和直线不重合，设直线和直线的夹角为，求证：．
18．（本题分）已知是底面边长为1的正四棱柱，高．求：
（1）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）四面体的体积．
19．（本题分）如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面平面，平面，且．
（1）求证：直线与平面没有公共点；
（2）求点到平面的距离．
20．（本题分）有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺丝钉共重如图，每个螺丝钉都是由一个正六棱柱和一个圆柱构成，正六棱柱底边长为，高为；圆柱的底面半径为，高为．（取）
（1）求一个六角螺丝钉的表面积；
（2）问这堆螺丝钉大约有多少个？
21．（本题分）设四面体中，有条棱长为，其余条棱长为1．
（1）时，求的取值范围；
（2）时，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.射影; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．设，分别是圆柱的上、下底面，的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体，若圆柱的体积为1，那么圆锥，的公共部分的体积为________．
【答案】
【解析】如图所示,根据题意,以是以为顶点,为底面的圆锥体，
则圆锥的公共部分为同底的圆锥和,
设圆锥底面圆的半径为,高为,可得,
由,且根据几何体的对称性,可得,
即公共部分的圆锥的底面圆的半径为,
且每个小圆锥的高为,
所以公共部分的体积为.故答案为:
12．如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点在棱上运动，点在正方体的底面内运动，则的中点的轨迹与正方体从顶点出发的三个面所围成的几何体的表面积是________．
【答案】
【解析】连接,则为直角三角形,在Rt中,为的中点,连接,
则,所以点在以为球心,半径的球面上,
又因为点只能落在正方体上或其内部,所以点的轨迹的面积等于该球面面积的,
即,又点的轨迹面与正方体从顶点出发的三个面所围成部分的面积为以点为圆心,为半径的圆的面积的,即,
故所求几何体的表面积.故答案为:.
二、选择题
13.D 14.B 15.B 16.D
15．下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的个数有（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】图①可知因为分别为其所在棱的中点，如图，连接AC，
故平面，平面，故平面,
同理平面,又,故平面平面,故平面,
图①符合题意；
图④,如图,由中位线有,又四边形ABCD为平行四边形,故,故,
又平面平面，故平面，图④符合题意；
至于图②,取下底面中心O,则平面与平面MNP不平行，故②不成立.
对于图③，如图，过作是中点，ME与平面PMN相交，
与平面相交，与平面不平行，故③不成立；故选B.
16．在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（ ）对异面直线．
A．72 B．96 C．102 D．126
【答案】D
【解析】根据题意，分3种情况讨论：
(1)棱与棱异面,每条棱与4条棱异面,则此时有对异面直线；
(2)棱与面对角线异面,每条棱与4条面对角线异面,则此时有对异面直线；
(3)面对角线与面对角线异面，每条面对角线与5条面对角线异面,则此时有对异面直线;则有对异面直线,故答案为:126.
三．解答题
17.证明略
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20．（本题分）有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺丝钉共重如图，每个螺丝钉都是由一个正六棱柱和一个圆柱构成，正六棱柱底边长为，高为；圆柱的底面半径为，高为．（取）
（1）求一个六角螺丝钉的表面积；
（2）问这堆螺丝钉大约有多少个？
【答案】（1） （2）大约有1295个.
【解析】（1）正六棱柱两个底面面积为:
正六棱柱六个侧面面积为:,
圆柱侧面面积为：,
故一个六角螺丝钉的表面积
综上所述：一个六角螺丝钉的表面积是
（2）这堆六角螺丝钉的体积为:
一个六角螺丝钉的体积为:
这堆六角螺丝钉大约有:(个).因此这堆六角螺丝钉大约有1295个.
21．（本题分）设四面体中，有条棱长为，其余条棱长为1．
（1）时，求的取值范围；
（2）时，求的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设,固定,让绕转动,
当接近时，接近于0;
当与接近于共面时，接近于，
故;
（2）第一种情况，两边在一个三角形内时：
假设时，为在底面射影，
由题意得,假设中点为,连结,假设，
则,即,
解得:,则且
即,故,则,
综上,;
第二种情况，两边不在一个三角形内时：
假设,
发现当等腰三角形两腰的夹角接近时，在减小但总是存在的，故，
假设,
取中点,连接,则,
由两边之和大于第三边可知:,
解得:,故,
综上,;

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