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4.2.1　等差数列的概念（第二课时）（同步训练）
一、选择题
1.在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝(　　)
A.－12　 B.－13
C.12　 D.13
2.已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)
A.10　　 B.20
C.30　　 D.40
3.已知{an}是公差为2的等差数列，且a3＝3，则a6＝(　　)
A.3 B.9
C.18 D.24
4.在等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝(　　)
A.64 B.30
C.31 D.15
5.已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)
A.　　 B.±　　
C.－　　 D.－
6.《九章算术》是我国古代的数学著作，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为(　　)
A.钱　　　　B.钱　　　　C.钱　　　　D.1钱
7.(多选)下列命题中错误的是(　　)
A.若a，b，c成等差数列，则a－3，b－3，c－3成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列
8.(多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是(　　)
A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同
C.立冬的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长短
二、填空题
9.在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是________
10.若正项等差数列{an}满足a3a5＝4，则a4的最小值为________
11.如果有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满足条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，则称其为“对称”数列．例如数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，4，8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝________
12.在等差数列{an}中，若a＋2a2a8＋a6a10＝16，则a4a6＝________
三、解答题
13.已知四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
14.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2．
(1)求AB，BC，CD的长．
(2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
15.三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
参考答案及解析：
一、选择题
1.B 解析：由等差数列的性质得a7＝2a5－a3＝2×(－9)－(－5)＝－13．
2.A 解析：设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知，偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即数列的项数为10．
3.B 解析：因为{an}是公差为2的等差数列，且a3＝3，所以a6＝a3＋3×2＝9．故选B．
4.D 解析：由a6＋a9＝a4＋a11，得16＝1＋a11，解得a11＝15．
5.D　解析：在等差数列{an}中，a1＋a7＋a13＝4π，即3a7＝4π，
∴a7＝，又∵a2＋a12＝2a7．∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－．
6.D 解析：因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得a＝1，即丙所得为1钱．故选D．
7.BCD 解析：若a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，由b＝得b－3＝－3＝(a－3＋c－3)，所以a－3，b－3，c－3成等差数列，故A正确；由b＝得b2＝＝(a2＋2ac＋c2)≠(a2＋c2)，故B错误；由b＝得2b＝2≠，故C错误；由b＝得log2b＝log2(a＋c)－1≠(log2a＋log2c)，故D错误．故选BCD．
8.ABC 解析：设从冬至到夏至的晷长为等差数列{an}，公差为d，则a1＝135，a13＝15，解得d＝－10，∴相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故A正确；春分的晷长为a7＝75，由题意及等差数列的性质知，秋分的晷长为75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故B正确；立冬和立春的晷长相同，为a4＝105，即为一丈五寸，故C正确；立春的晷长为a4＝105，立秋的晷长和立夏的相等，即为a10＝45，故D不正确．
二、填空题
9.答案：15
解析：因为{an}为等差数列，所以a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝16－1＝15．
10.答案：2
解析：∵an＞0，∴a3a5≤＝a(当且仅当a3＝a5＝2时取等号)，即a≥4，解得a4≥2，即a4的最小值为2．
11.答案：19
解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19．又因为{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19．
12.答案：4
解析：∵在等差数列{an}中，a＋2a2a8＋a6a10＝16，∴a＋a2(a6＋a10)＋a6a10＝16．
∴(a2＋a6)(a2＋a10)＝16．∴2a4·2a6＝16．∴a4a6＝4．
三、解答题
13.解：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
整理得解得
故所求四数为8，5，2，－1或1，－2，－5，－8或－1，2，5，8或－8，－5，－2，1．
14.解：(1)设公差为d(d＞0)，BC＝x，则AB＝x－d，CD＝x＋d．
由题意得解得或(舍去)．
所以AB＝3 cm，BC＝7 cm，CD＝11 cm．
(2)正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{an}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39．
a＝392＝1 521(cm2)．
所求正方形的面积为1 521 cm2．
15.解：(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
则解得∴这三个数为4，3，2．
(2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，
2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
解得a＝1，d＝1或d＝－1．
又∵四个数成递增等差数列，∴d＞0．∴d＝1．
故所求的四个数为－2，0，2，4．4.2.1　等差数列的概念（第一课时）（同步训练）
一、选择题
1.－2与11的等差中项为(　　)
A.－ B.－
C. D.
2.中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 022，则该数列的首项为(　　)
A.－1 B.－2
C.1 D.2
3.如果三个数2a，3，a－6成等差数列，那么a的值为 (　　)
A.－1 B.1
C.3 D.4
4.已知数列{an}是公差为－2的等差数列，a3＝5，则a1＝(　　)
A.1 B.3
C.6 D.9
5.在等差数列{an}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式为(　　)
A.an＝n＋4 B.an＝10－n
C.an＝2n＋1 D.an＝3n－2
6.在△ABC中，内角A，B，C成等差数列，则cos B的大小为(　　)
A. B.
C.－ D.
7.(多选)已知等差数列{an}的公差为d，a3＝16，a5＝12，则(　　)
A.d＝－2 B.a1＝20
C.a4＋a6＝28 D.{2an＋3}是以－1为公差的等差数列
8.(多选)设an＝(n＋1)2，bn＝n2－n(n∈N*)，则下列命题中正确的是(　　)
A.{an＋1－an}是等差数列 B.{bn＋1－bn}是等差数列
C.{an－bn}是等差数列 D.{an＋bn}是等差数列
二、填空题
9.用火柴棒按如图的方法搭三角形．
按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为________
10.已知在等差数列{an}中，a4＝7，a8＝15，把数列{an}的所有奇数项按原顺序排列，得到一个新数列，记为{bn}，则此新数列的通项公式为bn＝________
11.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1，则a2 023＝________
12.已知等差数列{an}的各项均为正数，a1＝1，且a2＋a6＝a8．若p－q＝10，则ap－aq＝________
三、解答题
13.在正项数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an＋．
(1)数列{}是否为等差数列？说明理由．(2)求通项公式an．
14.已知数列{an}为等差数列且a3＝，a7＝－，求a15的值．
15.已知在数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．
参考答案及解析：
一、选择题
1.C 解析：－2与11的等差中项为＝．
2.B 解析：由等差中项的定义知a1＋2 022＝2×1 010，∴a1＝－2．
3.D 解析：由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4．
4.D 解析：在等差数列{an}中，公差d＝－2，a3＝5，则a1＝a3－2d＝5－2×(－2)＝9．故选D．
5.B 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝7①，a7＝a1＋6d＝3②，由①②，解得a1＝9，d＝－1，所以通项公式为an＝9－(n－1)＝10－n．故选B．
6.B　解析：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B．又∵A＋B＋C＝π，∴B＝，∴cos B＝cos＝．
7.AB 解析：因为a3＝16，a5＝12，所以 解得故选项A，B正确；由于an＝a1＋(n－1)d＝22－2n，a4＋a6＝14＋10＝24，故C错误；因为(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d＝－4，所以{2an＋3}是以－4为公差的等差数列，故D错误．故选AB．
8.ABC 解析：因为an＝(n＋1)2，所以an＋1－an＝(n＋2)2－(n＋1)2＝2n＋3，设cn＝2n＋3，所以cn＋1－cn＝2，所以{an＋1－an}是等差数列，故A正确；因为bn＝n2－n，所以bn＋1－bn＝2n，设cn＝2n，所以cn＋1－cn＝2，所以{bn＋1－bn}是等差数列，故B正确；因为an＝(n＋1)2，bn＝n2－n，所以an－bn＝(n＋1)2－(n2－n)＝3n＋1，设cn＝3n＋1，所以cn＋1－cn＝3，所以{an－bn}是等差数列，故C正确；an＋bn＝2n2＋n＋1，设cn＝an＋bn，易知cn＋1－cn＝4n＋3，不是常数，故D错误．
二、填空题
9.答案：201
解析：由图形可知，第一个图形用3根火柴棒，以后每一个比前一个多两根火柴棒，构成等差数列，数列的首项为3，公差为2，所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数为a100＝2×100＋1＝201．
10.答案：4n－3
解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a4＝7，a8＝15，可得解得则an＝2n－1．由题意得b1＝a1＝1，b2＝a3＝5，b3＝a5＝9，…，则{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列，故bn＝1＋4(n－1)＝4n－3．
11.答案：2 023
解析：因为a1＝1，且an＋1－an＝1，
所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列．
所以a2 023＝1＋(2 023－1)×1＝2 023．
12.答案：10　
解析：因为数列{an}为等差数列，且a1＝1，
又∵a2＋a6＝a8，∴(1＋d)＋(1＋5d)＝1＋7d，∴d＝1．∴ap－aq＝(p－q)×d＝10．
三、解答题
13.解：(1)因为an＋1－＝an＋，所以an＋1－an＝＋，
所以(＋)(－)＝＋．
因为{an}是正项数列，所以＋≠0，所以－＝1，
所以{}是等差数列，公差为1．
(2)由(1)知，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)×1＝n，
所以an＝n2．
14.解：设{an}的公差为d，
则解得a1＝，d＝－．
∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－．
15.(1)证明：∵an＝2－(n≥2且n∈N*)，bn＝，
∴当n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1，
又b1＝＝－．
∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．
(2)解：由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，
设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和上为减函数．
∴当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3．

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