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九年级数学中考复习《特殊四边形综合压轴题》专题提升训练（附答案）
1．如图，在平行四边形中，，，，点E，F分别是线段和上的动点，点E以的速度从点D出发沿向点C运动，同时点F以的速度从点B出发，在上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动．连接，．设运动时间为t（s）（），请解答下列问题：

(1)当t为何值时，平分？
(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)连接并延长，交的延长线与点P，连接．设的面积为，求S与t之间的关系式．
2．定义：有一组对角互补的凸四边形称为对补四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对补线．

(1)下列三种图形中：①平行四边形，②矩形，③正方形，一定是对补四边形的有___________（填写序号）；
(2)如图，在凸四边形中，，当时，判断四边形是否为对补四边形，证明你的结论：
(3)在中，，以为斜边作等腰，连接，请直接写出的长．
3．在正方形中，是边上一点，
(1)将绕点按顺时针方向旋转，使、重合，得到，如图1所示，观察可知：与相等的线段是　　，_____；
(2)如图2，正方形中，、分别是、边上的点，且，试通过旋转的方法证明：；
(3)在（2）题中，连接分别交、于点、，求、、的数量关系．
4．定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知，，，点是边上一点，连接，四边形恰为等腰梯形．求的度数；
【性质再探】如图2，已知四边形是矩形，以为一边作等腰梯形，，连接、．求证：；
【拓展应用】如图3，的对角线、交于点，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接．若，求的长．

5．如图①，在正方形中，，M为对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接．

(1)【问题发现】在图①中小明想过点M分别作的垂线，发现和有特殊的关系，请你判断的形状，并根据小明的方法给出证明；
(2)【问题解决】直接写出图①中的取值范围：　 　；
(3)【类比探究】如图②，在矩形中，，M为对角线上一点，且，则　 　．
6．【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
在我们学过的：①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形中，属于垂美四边形的是__________；（只填序号）
【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．

7．如图，矩形中，，，动点P以的速度从点A出发沿折线向终点C运动，动点Q以的速度从点D开始沿折线向终点B运动，如果点P、Q同时出发，设点P运动的时间t秒，的面积为S．

(1)当________秒时，点Q到达点A，当________时，点Q到达点B．
(2)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(3)求出的面积S（可用含有的代数式表示）．
8．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
(1)如图，连接、，求的长；
(2)如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中，
①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
②若点、的运动路程分别为、单位：，，已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式．
9．如图①，在平行四边形中，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动．设点的运动时间为秒，点出发后，过点作的垂线，交折线于点，以为边向右作矩形，使．设矩形与重叠部分的面积为．

(1)当点落在上时，求的值；
(2)当点在线段上运动时，用含的代数式表示线段的长；
(3)当矩形与重叠部分的图形不是三角形时，求与的函数关系式；
(4)如图②，点为的中点，连接，，设矩形与的面积比为，当时，直接写出的取值范围．
10．如图，在四边形中，，，，动点、分别从A、同时出发，点以的速度由A向运动，点以的速度由向运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒．
(1)______，______，______，（分别用含有的式子表示）；
(2)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值．
(3)当为何值时，四边形为平行四边形？
(4)当为何值时，四边形为平行四边形？
11．综合与探究
如图1，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，点是线段上一动点，点的横坐标为．

(1)直接写出点A，B的坐标及直线的解析式；
(2)如图1，连接，当的面积等于的面积时，求点的坐标；
(3)如图2，过点作直线的平行线，在直线上是否存在一点，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：我们已经学行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是__________．
(2)性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：．
(3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长．
13．如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连结交对角线于点F．
(1)如图，若，，求的长度；

(2)如图，若，点G，H为边的两点，连接，，，且满足．求证：．

(3)如图，若，，将沿射线方向平移，得到，连接，，当的值最小时，请直接写出的最小值．

14．如图，已知正方形的边长为2，点是边上的一动点，平分交边于点．

(1)①当点恰好是边的中点时，求线段长；②当点恰好是边CD的中点时，求线段长．
(2)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)直接写与面积和的最大值．
15．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：正方形透明纸片，点在边上，如图1，连接，沿经过点的直线折叠，使点的对应点落在上，如图2，把纸片展平，得到折痕，如图3，折痕交于点．
根据以上操作，请直接写出图3中与的位置关系：__________，与的数量关系：__________；
(2)迁移探究
小华将正方形透明纸片换成矩形透明纸片，继续探究，过程如下：
将矩形透明纸片按照（1）中的方式操作，得到折痕，折痕交于点，如图4．若，改变点在上的位置，那么的值是否能用含的代数式表示？如果能，请推理的值，如果不能，请说明理由；
(3)拓展应用
如图5，已知正方形纸片的边长为2，动点E在AD边上由点A向终点D匀速运动，动点F在DC边上由点D向终点C匀速运动，动点E，F同时开始运动，且速度相同，连接AF，BE，交于点G，连接DG，则线段DG长度的最小值为：__________，点G的运动路径长度为：__________（直接写出答案即可）．
16．如图1，已知矩形，将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，其中点E，F分别是点B，C的对应点．

(1)如图2，当点G在对角线上时，
①若旋转角为，求的大小；
②若，，求的长．
(2)若直线交于点H，求证：H是的中点．
17．已知，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上，且，，，，点为上一点，将矩形沿翻折，使点落在边上的点处．

(1)求点的坐标．
(2)动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向右运动，连接，设 的面积为，点运动的时间为，请用含的式子表示 的面积，并直接写出的取值范围．
(3)在(2)的条件下，在点运动过程中，在平面内取一点，使、、、四个点组成的四边形为菱形，请求出满足条件的值及点坐标．
18．某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
(1)【图形认知】如图①，在正方形中，，交于点，则______（填比值）；
(2)【探究证明】如图②，在矩形中，，分别交、于点、，分别交、于点、，求证：；
(3)【结论应用】如图③，将矩形沿折叠，使得点和点重合，若，．求折痕的长；
(4)【拓展运用】如图④，将矩形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处，得到四边形，若，，，请求点P到直线的距离．

19．在四边形中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．
(1)【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论；
(2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若，．连接交于点．求的长；

图1 图2
(3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当到点、点的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．

图3 备用图
20．（1）如图，在正方形中，、分别为、边上的点且，延长至使得，延长交于点，求证：；
（2）如图，在矩形中，，，将绕点顺时针旋转至，且点落在上，求的值；
（3）如图，在四边形中，，，，，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值．

参考答案
1．解：（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；

（2）假设存在合题意的t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，则，
①当时，，
，
解得（舍）
②当时，，
，
解得
由①②可得当时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形．
（3）过点B作交于点M，作交于点N．
在中，，
∴，，
∴，
同理可得，，
，
，
∴．

2．（1）解：①平行四边形对角相等，不符合题意；
②矩形对角互补，符合题意，
③正方形对角互补，符合题意，
故答案为：②③；
（2）解：是对补四边形．
理由：如图，过点A作，且，连接，．
，
，
即，
，
，
，且
，
即
在一直线上，
，
∴四边形是否为对补四边形．

（3）解：①当点H、E在两侧时，
将绕点H顺时针旋转，得到，连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，，
∵为直角三角形，为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，即点M、G、E共线，
∴，为等腰直角三角形，
根据勾股定理可得：，
解得：；

②当点H、E在同侧时，
将绕点H顺时针旋转，得到，连接，
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，

∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴点N、E、F共线，
∴，
根据勾股定理可得：，
解得：；
综上：或．
3．解：（1）如图1，绕点按顺时针方向旋转，使、重合，得到，
，．
故答案为：，；
（2）将绕点按顺时针方向旋转，则与重合，得到，如图2，
则，
，
点、、共线，
由旋转知，，，，
，
，
，
在和中
，
，
，
而，
，
（3）
理由：如图3，
四边形为正方形，
，
如图3，将绕点按顺时针方向旋转，则与重合，得到，连接，
则，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
为直角三角形，
，
．
4．解：[性质初探]解：过点作交于，过点作交于，

，
，
，
四边形恰为等腰梯形，
，
，
，
，
；
[性质再探]证明：四边形是矩形，
，
四边形是等腰梯形，
，
由（1）可知，，
，
；
[拓展应用]解：连接，过点作交延长线于点，

四边形是平行四边形，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
5．（1）解：是等腰直角三角形．理由如下：
如图：过点M作于E，于F，则四边形为矩形，

∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
又∵，
，
，
又，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）解：∵为等腰直角三角形，
∴，
当时，有最小值，
∵，
∴最小值，
又∵M不与B重合，
∴，即，
∴．
故答案为：．
（3）解：过点M作于G，延长交于H，则，

∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
6．解：知识感知：∵菱形和正方形的对角线互相垂直，
∴属于垂美四边形的是③④；
性质探究：；
证明：，
∴，，,，
∴，
即；
性质应用：∵正方形和正方形，
∴，
∴,
∴，
∴，
又∵,
∴,
∴，
∴,
连接，
∵，，，
∴,，，
∴，
∴．

7．（1）解：四边形是矩形，，，
，，
动点以的速度从点开始沿折线向终点运动，
时，点到达点，
时，点到达点，
故答案为：3，9；
（2）四边形是矩形，
，，
由题意得： ， ，
，
为等腰直角三角形，
，
即，
解得：，
即当为时，为等腰直角三角形；
（3）分三种情况：
①当时，如图1所示：

由题意得： ， ，
，，
矩形的面积的面积的面积的面积；
②当时，如图2所示：

由题意得： ，，
，
；
③当时，如图3所示：

由题意得：，，
，，
．
综上，．
8．（1）解：四边形是矩形，
，
，，
垂直平分，垂足为，
，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，
设菱形的边长，则，
在中，，
由勾股定理得，
解得，
．
（2）显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形；
同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．
因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，
以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
，，即，
，
解得，
以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上．
分三种情况：
如图，当点在上、点在上时，，即，得；
如图，当点在上、点在上时，，即，得；
如图，当点在上、点在上时，，即，得．
综上所述，与满足的数量关系式是．
9．（1）解：如图，
，
，
，
点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线方向运动秒，
，
，
,
，
，
，即，
，
，
四边形是矩形，
，即，
，
，即，
，
，
，
解得：；
（2）解：由（1）得，，
，
，
当时，点在边上，
，
当时，点在边上，点在边上，如图，
，
过点作于点，
则，即，
，
，
，
，
当时，点在线段的延长线上，如图，
，
，，，
，
综上所述，线段的长为或或；
（3）解：如图，当时，重叠部分为梯形，
，
过点作于点，
由（2）知：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，即，
，
，
如图，当时，重叠部分为五边形，
，
过点作于点，
则，
，，
，
综上所述，与的函数关系式为：；
（4）解：如图，过点作于点，于点，
，
当时，，
点为的中点，
，
，
，
是的中点，
，
，
矩形与的面积比为，
，
，
，
解得：，
当时，如图，
，
则，
矩形与的面积比为，
，
，
，此时无解，
当时，，
矩形与的面积比为，
，
，
，
解得：，
总上所述，的取值范围为：或．
10．（1）解∵点以的速度由A向运动，
∴，
∵
∴，
∵点以的速度由向运动，，
∴，
∴；
（2）解：设点A到的距离为，
四边形的面积是四边形面积的2倍，
∴，即，
，
；
（3）解：，
当时，四边形是平行四边形，
，
；
运动时，四边形是平行四边形
（4）解：，
当时，四边形是平行四边形，
，
，
∴运动时，四边形是平行四边形；
11．解：（1）一次函数的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，
，，
点的坐标为，
直线的解析式：；
（2）解：过点作轴的垂线，垂足为，
点在线段上，横坐标为，
纵坐标为，则，
，，
，
解得，，
点的坐标为，
（3）四边形是菱形，，的坐标为
，
，
设，其中，
∴，
解得：，（不合题意舍去），
即点，
四边形是菱形，
∴点E坐标为即，
12．解：（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，
∴菱形和正方形一定是垂美四边形，
故答案为：菱形、正方形；
（2）证明：如图，连接，交于点．

四边形是垂美四边形，
，
．
由勾股定理，得，
，
．
（3）如图，连接，．

，
，即．
在和中，，，，
，
．
又，
．
又，
，
，
四边形是垂美四边形．
由（2）可知，
，，
由勾股定理，得，，，
，
．
13．（1）解：过点E作，垂足为H，
∵在平行四边形中，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
又∵，即：
∴，，
∴在中，，
∴；
（2）证明：延长、交于点M，在上取点N，使，

∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：延长到Q，使，作等边，在PQ上取一点M，使，连接、、，

∴，
由平移可知，，且，
∵，，由（1）可知，
∴是等边三角形，，，
∴在平行四边形是菱形，，
∴，
∵在等边中，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
过点Q作，垂足为H，
∵在等边中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴当，，三点共线时，取得最小值，
此时，如图，

∵当，，三点共线时，交BD于K，
∴
在和中，
，
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即：当平移将沿射线方向平移个单位时，，，三点共线，此时，值最小，
∴最小值为：．
（方法2：如图，与交于点M，连接、、、取BC的中点，连接、，作，

由方法1可知：，，
∴，，
∴，，
∴，，
由平移可知，，且，
又∵在平行四边形中，，，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵由方法1可知：平行四边形是菱形，
∴垂直平分线，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴当A、M、N三点共线时，最小，此时最小，最小值为．
14．解：（1）①如图，延长，交于点．

在正方形中，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由，解得．
∴．
②设，
∵，由①可知，
在中，由，
解得：．
∴．
如图，连结，

设，由可得：
，
解得：，
∴．
（2）．
理由如下：
如图，延长到点，使，连结．

在正方形中，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3），
∵不变，
∴当最大时面积最大，
∴当点与点重合时，最大为，面积和最大值为．
15．解：（1）如图：

根据折叠的性质得：，
点的对应点落在上，
，
在与中，
，
，
，
；
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
故答案为：，．
（2）能，；
推理如下：由折叠可知，，
∴．
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵矩形中，，
∴．
（3）如图：

动点E，F同时开始运动，且速度相同，
，
是边长为2的正方形，由（1）知，
点是在为直径的圆上，
动点在边上由点向终点匀速运动，当动点运动到点时，点的运动路径为圆，其路径长为：．
如图：作的中点，连接

点是在为直径的圆上，点的运动路径为圆，且圆心为，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，
，
．
16．（1）解：①将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
，，
是等边三角形，
，
；
②如图2，过点作于，

，，
，
，
，
，
将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
，
，
；
（2）证明：如图，连接，，，，

将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
，，，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
点，点，点三点共线，
，，
，
，
，
点是的中点．
17．（1）解：矩形，，，，，
，
由翻折可得，，
∴，
点的坐标为，；
（2）∵，
在，，
设，则，
∴，
解得，
，
动点从点出发以每秒个单位的速度沿轴向右运动，点运动的时间为，
，
当时，点在线段上，，，
∴，
当时，点在线段的延长线上，，
∴，
∴；
（3）如图，点在上时，四边形是菱形，

由可得，
，，，
四边形是菱形，
，，
，，，
∴；
如图，当点在的延长线上时，

由可得，
，，，
四边形是菱形，
，，
，，，
∴；
如图，当点在的延长线上时，点在轴下方时，
，连接，
又四边形是菱形，则，
，，三点共线，
，

由可得，
，，，
四边形是菱形，
，，，
，，，
，
当为对角线的情况，
∵，设，则
解得：
∴，
设，
解得：
∴，此时 ，．
综上所述，时，，；时，，；时，，； ， ， ．
18．（1）解：由题意知，，
又∵，
∴，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）证明：如图②，过作交于，过作交于，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形、均为平行四边形，
∴，，
同（1）可得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：由矩形的性质可得，
由勾股定理得，
由（2）可知，，即，解得，
∴的长．
（4）解：如图④，延长到，过作于，

由（2）可知，，即，解得，
∴在中，由勾股定理得，
由折叠的性质可得，，，，
设：，则，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴点到直线的距离为．
19．解：（1）∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，，
又∵绕点A旋转得到，
∴，，
又∵，，
∴，
同理，
又∵，，
∴，
∴．
（2）∵四边形是菱形，是对角线，，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，，，
又∵绕点A旋转得到，
∴，，
∴，
即是的角平分线，
又∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在中，，
即，
解得．
（3）当时，如图：

即，
令，则，
在中，，
∴，
即，
故，
∴．
当时，
∵是矩形的对角线，
∴，，
∵，，三点共线，且，，
故，即该情况不存在．
20．（1）证明：四边形是正方形，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
；
（2）解：将绕点顺时针旋转至，且点落在上，
，，
，
，
，
，
过点作于点，

四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，，
，
设，，
则，
在中，
，，
，
解得：，或舍去，
，
，
；
或．
理由如下：
以为腰的等腰三角形有两种情况：
，如图：

过点作交的延长线于点，过点作于点，
则，
，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
，
设，则，
在中，
，
，
解得：，
，
，
在中，
；
，如图：

过点作交的延长线于点，过点作于点，
由知：，，，
设，
则，
在中，
，
，
解得，
即，
，
在中，
，
综上所述，的长为或．

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