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2025届高考数学一轮复习专题训练 函数概念与性质
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A.0 B.1 C.2 D.2025
2．函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3．已知是定义在R上的偶函数,且在上单调递增,则( )
A. B.
C. D.
4．对于定义域是R的任意奇函数,都有( )
A. B.
C. D.
5．已知函数（其中a，b为常数，且），若的图象如图所示，则函数的图象是( )
A. B.
C. D.
6．若函数是定义在上的偶函数,则( )
A. B. C. D.2
7．已知定义在上的函数满足对,,,都有,若,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8．已知幂函数的图象经过点,则( )
A. B.9 C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．设函数，则( )
A.的最大值为 B.
C.曲线存在对称轴 D.曲线存在对称中心
10．下列各组函数是同一个函数的是( )
A.与
B.与.
C.与
D.与
11．下列各组函数中，两个函数为同一函数的是( )
A.和 B.和
C.和 D.和
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知函数对任意两个不相等的实数,,都满足不等式,则实数a的取值范围为________________.
13．若函数的图象是一条连续不断的曲线,且,则______.
14．若幂函数图象经过点,则_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知定义域为R的函数是奇函数
(1)求实数a，b的值；
(2)判断的单调性并给出证明；
(3)若存在，使成立，求实数k的取值范围
16．已知是定义在R上的奇函数.
(1)求的解析式;
(2)若对于,恒成立，求实数a的取值范围.
17．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本万元，,假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
(1)求出利润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式;
(2)当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.
18．设函数，其图像过点
(1)求出的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明.
19．已知函数,.
（1）判断函数在上的单调性,并证明;
（2）若,求的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：因为为奇函数，所以关于点中心对称，
又为偶函数，所以关于直线对称，
所以为周期函数且周期，
，
，，.
故选:C.
2．答案：B
解析：因为,所以,
所以定义域为,
故选:B.
3．答案：C
解析：因为是定义在R上的偶函数,且在上单调递增,
所以在上单调递减,所以,
因为为偶函数,所以,则,即.
故选:C.
4．答案：C
解析：为奇函数,
,
,
又, ,
故选：C.
5．答案：A
解析：由图可得，
则有，且该函数为单调递减函数，
故B、C、D错误，A正确.
故选：A.
6．答案：D
解析：函数是定义在上的偶函数,则解得所以,所以.故选D.
7．答案：C
解析：因为,所以,不妨设,则,所以.令,则为上的增函数,因为,所以,因为,所以,所以,所以,即不等式的解集为.故选C.
8．答案：D
解析：设,因为幂函数的图象过,
则有,所以,即,
所以.
故选:D.
9．答案：ABC
解析：
作出的图像，如图示：
对于A：因为分子，
分母，
，故A正确；
对于B：考虑，故B正确；
对于C：是的对称轴，
也是的对称轴，
是的对称轴，故C正确；
对于D：不可能为常数，故D错误.
故选：ABC
10．答案：ABC
解析：对于选项A:的定义域为R,的定义域为R,
定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故A正确;
对于选项B:的定义域为,
的定义域为,
定义域相同对应关系相同,是同一个函数,故B正确;
对于选项C:的定义域,的定义域,
定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数,故C正确;
对于选项D:的定义域为R,的定义域为R,
定义域相同对应关系不同,不是同一个函数,故D错误.
故选:ABC.
11．答案：AB
解析：和的定义域均为R，值域均为，
解析式一致，A正确.
和的定义域和值域均为R，解析式一致，B正确.
和的定义域和值域均为R，但解析式不同，C错误.
的定义域为，的定义域为R，D错误.
故选:AB
12．答案：
解析：由于满足：对任意两个不相等的实数,,
都满足不等式,所以在区间上单调递增.
在上递减;
的开口向上,对称轴为,
所以,
解得,
所以a的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：或0.5
解析：由于的图象是一条连续不断的曲线,故,由于,故,
所以
故,,
故答案为:
14．答案：
解析：根据幂函数,则,
又由过点,所以,
故,所以.
故答案为:.
15．答案：(1)，
(2)函数在R上是减函数，证明见解析；
(3)
解析：(1)因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，即，所以，
又因为，
所以，
将代入，整理得，
当时，有，
即恒成立，
又因为当时，有，
所以，所以.
经检验符合题意，所以，
(2)由(1)知：函数，
函数在R上是减函数
设任意，，且，
则
由，可得，
又，
则，
则，
则函数在R上是减函数
(3)因为存在，
使成立，
又因为函数是定义在R上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在R上是减函数，
所以，所以，
令，
由题意可知：问题等价转化为，
易知当，，所以.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是定义在R上的奇函数，
,
,.
法2：是定义在R上的奇函数，，
,,
,
,,,
(2)令,
易证函数是上的减函数，
恒成立
,恒成立
恒成立
a的取值范围为.
17．答案：(1)
(2)产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元
解析：(1)由题意知，当,时，
当,时，
综上所述，
(2)当,时，
所以当时，取得最大值1625，
当,时，
当且仅当时，取得最大值1900，
综上，当，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
18．答案：(1)；
(2)在上的是减函数；证明见解析
解析：(1)因为函数，其图像过点，
将点坐标代入解析式，，得，
所以.
(2)函数在上的是减函数.
证明：，且，
则
，
，，
，即，
所以在上是减函数.
19．答案：（1）函数在上单调递增,证明见解析
（2）
解析：（1）函数在上单调递增.
证明:设,
则,
由,得,
所以,即,
所以函数在上单调递增;
（2）由（1）知函数在上单调递增,
又,
则,解得,
即实数a的取值范围为.
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