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2025届高考数学一轮复习专题训练 集合与常用逻辑用语
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．若向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
2．已知集合，，则中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4．设全集,,则( )
A. B. C. D.
5．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
6．已知集合,,且,则实数a的值为( )
A. B. C. D.1
7．设集合，，若，则( )
A. B. C. D.
8．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知集合，，则( )
A.
B.
C.
D.
10．用表示非空集合A中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数a的取值可能是( )
A. B.1 C.0 D.
11．设集合A是实数集R的子集，如果满足：，，使得，则称a为集合A的一个聚点.在下列集合中，以0为一个聚点的集合有( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．不等式的解集为_____________.
13．已知集合,,则______________.
14．已知或，（a为实数）.若的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围是________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设集合，.
(1)若且，求a的取值范围
(2)若，求a的取值范围
16．已知，或.
(1)若，求a的取值范围；
(2)若，求a的取值范围.
17．已知集合.
(1)若，求实数的值及集合；
(2)若且，求实数a和b满足的关系式.
18．已知集合，，.
（1）命题p：“，都有”，若命题p为真命题，求实数a的值；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围.
19．已知集合，n为正整数且，M为集合S的子集，记表示集合M中元素的个数.
（1）当时，，请写出满足条件的集合M；
（2）当时，对任意的（x，y，z可以相同），都有，求的最大值；
（3）若，，…，，均为S的子集，且，求证：一定存在两个不同的子集，，使得.
参考答案
1．答案：C
解析：由题可知，，
∴，
∴向量与的夹角为.
故选：C.
2．答案：C
解析：由题意，
，，
，
故中元素的个数为3，
故选：C.
3．答案：B
解析：，
，则．
故选：B.
4．答案：A
解析：因为,则,即,因为.
故选：A.
5．答案：B
解析：修改量词否定结论,可得“,”,
故选:B.
6．答案：C
解析：已知集合,,且,
所以,所以.
故选:C.
7．答案：B
解析：如图，在数轴上表示出集合A，B.由图可知，若，则.故选B.
8．答案：C
解析：,的否定是,,
故选:C.
9．答案：AB
解析：集合，，
，
因此，，AB正确；
，，
，CD错误
故选：AB
10．答案：ACD
解析：根据题意知，，则，又，故或3，即关于x的方程有1个根或3个不等根.，则必有或.若，则或.
当时，，，符合题意.
当时，关于x的方程对应的根为0和，易知0不是关于x的方程的根，所以可从以下两种情况考虑.
①关于x的方程有两个相等的根且根不为，所以，得.当时，，，符合题意；当时，，，符合题意.
②关于x的方程有两个不等的根且其中一个根为，当是关于x的方程的根时，解得.当时，，，符合题意；当时，，，符合题意.
综上，实数a的取值可能为0，，.故选ACD.
11．答案：BC
解析：对于A，集合中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大，
则当的时候，不存在满足得的x，0不是集合的聚点，A不是；
对于B，集合中的元素，对于任意的，取，当时，，
则0是集合的聚点，B是；
对于C，，，，对于任意的，由，得，
于是对于任意的，取，当时，，
则0是集合的聚点，C是；
对于D，，，，因此当时，不存在满足的x，
则0不是集合的聚点，D不是.
故选：BC.
12．答案：
解析：不等式化为：,即,
则,解得,
所以不等式的解集为.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,
所以,
故答案为：.
14．答案：
解析：由已知得，.
设，，
若是的充分不必要条件，则，，
所以集合是集合的真子集.
所以.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，且，
所以，
解得，，
综上所述，a的取值范围为.
(2)由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，解得，，满足题意；
当时，因为，
所以，
解得，或无解；
综上所述，a的取值范围为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)①当时，，∴，∴.
②当时，要使，必须满足，
解得.
综上所述，a的取值范围是.
(2)∵，，或，
∴，解得，
故所求a的取值范围为.
17．答案：(1)，
(2)
解析：(1)若，
则，
所以，解得，
所以，
综上：，；
(2)若，则，此时，
又，
所以，
即，
所以，
所以实数a和b满足的关系式为.
18．答案：（1）或
（2）或
解析：（1）由题设，，，
当时，，则，即；
当时，，显然.
综上，或.
（2）由题设，，
当时，，即；
当时，，无解；
当时，，无解；
当时，，解得；
综上，m的取值范围或.
19．答案：（1），，，，
（2）10
（3）证明见解析
解析：（1），
集合M有：，，，，.
（2）取，此时M中最小的三个元素是6，7，8且，且，
故满足对于任意的，，，
当时，集合M中的元素取从大到小对应的个数，均成立，
下证当不成立，
作三元子集，，
则，对S的任意一个11元子集，必包含某，
若，则有成立，与矛盾；
若，则元素与矛盾，
的最大值为10；
（3）假设对任意的，或，
①若，三元子集至少有个，与元素只有n个矛盾，
②若，
若，，则，
将，，…，，分成若干组，每组中的两个三元子集都有2个公共元素，不同组中无公共元素.
下证，任取一组有k个三元子集，有m个元素，则，
当时，，则，
当时，，
而三元子集有个，至少要有个元素，矛盾.
一定存在两个不同的子集，，使得.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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