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2025届高考数学一轮复习专题训练 　空间向量与立体几何
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图①，在中，，，E，F分别为，上的点，
.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面的距离为( )
A. B. C. D.
2．若向量，，则( )
A. B. C.3 D.
3．如图,在棱长为1的正方体中,P为的中点,Q为上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离( )
A.等于 B.和EF的长度有关
C.等于 D.和点Q的位置有关
4．在四棱锥中,,,,则该四棱锥的高为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5．若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
6．在正方体中,平面经过点B,D,平面经过点A,,当平面,分别截正方体所得截面面积最大时,平面与平面的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7．如图,在正四棱台中,与的交点为M.设,,,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B. C. D.
8．已知向量,,,若,,共面,则( )
A.4 B.2 C.3 D.1
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，分别为两个不同的平面，的法向量，为直线l的方向向量，且，则( )
A. B. C. D.
10．已知向量，，则下列正确的是( )
A.
B.
C.
D.在方向上的投影向量为
11．已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知直线l经过点,且向量所在直线与动直线l垂直,则点到l所在平面的距离为________.
13．直三棱柱中,,,D是中点,则与CD所成角的余弦值为________.
14．在长方体中，，，点P为线段上一点（不在端点处），当时，的面积为____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图,在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,,,,,E点在AD上,且.
（1）求证:平面平面PAC;
（2）若直线PC与平面PAB所成的角为45°,求二面角的余弦值.
16．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，直线与平面所成的角为．
(1)证明：平面．
(2)求与平面所成角的正弦值．
17．已知直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，，M在侧棱上，且.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中,，,O为中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
19．如图,在四棱锥中,平面,底面为直角梯形,,,.
(1)在棱上是否存在点E,使得平面？若存在,请指出点E的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
(2)求平面与平面的夹角的大小.
参考答案
1．答案：B
解析：将沿EF折起,四棱雉的体积最大时,
此时平面BCFE,根据题意可知.
以E为原点,EB,EF,EA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
因此，，，
所以，
设平面ACF的法向量为,
所以,
所以
令,那么
设平面ACF的法向量为,
所以,
所以
令,那么,
那么点E到平面ACF的距离为
故选:B
2．答案：D
解析：向量，
故选：D
3．答案：A
解析：取中点G,连接,,,则,所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离,与的长度无关,B错.
又平面,所以点到平面的距离即点Q到平面的距离,即点Q到平面的距离,与点Q的位置无关,D错.
如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,则,,,,
,,,
设是平面的法向量,则由得
令,则,所以是平面的一个法向量.
设点Q到平面的距离为d,则,A对,C错.
故选:A.
4．答案：C
解析：设平面的一个法向量,
则,令,则,,即,
所以该四棱锥的高.
故选：C.
5．答案：C
解析：A.,所以,,是共面向量,故A错误;
B.,所以,,是共面向量,故B错误;
C.不存在实数,,使,所以,,不是共面向量,故C正确;
D.,所以,,是共面向量,故D错误.
故选:C
6．答案：C
解析：如图:因为正方体中过体对角线的截面面积最大,
所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值,
以D点为坐标原点,建立空间直角坐标系,
设正方体棱长为1,平面与平面的夹角为,
因为平面,平面,所以,
且,,,平面,
所以平面,同理平面,
所以为平面的一个法向量,为平面的一个法向量,
,,,
,,则.
故选:C.
7．答案：D
解析：
.
故选:D
8．答案：D
解析：因为,,共面,所以存在两个实数m、n,使得,
即,即,解得.
故选:D
9．答案：AB
解析：因为，
所以，所以，A正确，D错误；
因为，且，所以，B正确；
因为，所以或者,C错误
故选：AB
10．答案：ACD
解析：ABC选项，由题意得，
故且，AC正确，B错误；
D选项，在方向上的投影向量为，D正确.
故选：ACD
11．答案：BCD
解析：A选项：令，
则，解得，
即，，共面，故A选项不符合题意；
B选项：设，
则，此方程组无解，
即，，不共面，故B选项符合题意；
C选项：设，则，
此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意；
D选项：设，
则，
此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意；
故选：BCD.
12．答案：
解析：,
由点到平面的距离公式.
故答案为:.
13．答案：或
解析：设,
以A为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
,.
,
,.
设直线与CD所成角为,
则.
故与CD所成角的余弦值为.
故答案为:.
14．答案：
解析：根据题意可知，以为坐标原点，分别以,,为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，，，
设，
则，
则
因为，解得，故此时点P为线段的中点，
则.
故答案为：
15．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:平面,平面,,
,,平面,平面,
平面,平面平面.
（2）,且,,
,,
,为等腰直角三角形,
,取BC中点G,连接AG,
,即,
由（1）可得,
以A为坐标原点,AG为x轴,AD为y轴,AP为z轴建立如图所示的坐标系
由（1）可得,平面,
为直线PC与平面所成角,即
设平面的法向量为
,
,,
,令,则,,
x轴⊥平面,平面的法向量,
设为二面角的平面角,且为锐角,
.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取的中点E，连接，，
过点F作，垂足为点G，
因为是等边三角形，，则，，
且，，平面，
可得平面，
由平面，所以，
且，，平面，
所以平面，
可知为直线与平面所成的角，则，
则，，．
在中，，
即，解得．
因为，
，
所以，．
因为，，平面，
所以平面．
(2)以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
可得，
可得，
设与平面所成的角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由直四棱柱知.
平面，平面，
平面.
，平面，平面，
平面.
又，平面，
平面平面.
又平面，
平面.
（2）设，
则，，.
如图，过点C作于点E.由等腰梯形ABCD知，
.
易知，，两两垂直.
以C为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
设二面角的平面角为，
则.
二面角的余弦值为.
18．答案：(1)证明过程见答案;
(2)
解析：(1)因为，O为中点，所以，
因为侧面底面，平面底面，
，平面，所以平面；
(2)因为底面为直角梯形，
又,，,，
所以四边形是正方形，
，又平面，
以O为原点，OC所在直线为x轴，
OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，
则,,,,，
,,，
设平面PAB的法向量为，
则，
令，则,，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值，
19．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)当E为的中点时,平面.理由如下：
设F为的中点,连接,,.
在中,,.
因为,,所以,,
所以四边形为平行四边形,所以.
因为平面,所以平面.
(2)以D为坐标原点,,,所在直线分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
设,
则,,,
,.
设平面的法向量为,
则即
令,则.
设G为的中点,连接（图略）,易证得平面,
所以是平面的一个法向量.
又,,所以.
设平面与平面的夹角为,
,
所以,即平面与平面的夹角的大小为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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