资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025届高考数学一轮复习专题训练 立体几何初步
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．如图,已知,S为平面外一点,,点S到两边,的距离分别为,,且,则点S到平面的距离为( )
A.4 B. C.2 D.
2．如图,在正方体中,E为线段的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．用斜二测画法画水平放置的的直观图,得到如图所示的等腰直角.已知是斜边的中点,且,则的边上的高为( )
A.1 B.2 C. D.
4．如图所示,矩形是水平放置的一个平面图形的直观图,其中,,则原图形的面积是________( )
A.12 B. C.6 D.
5．如图，正方体中，直线与平面所成角的正切值为( )
A.1 B. C. D.
6．已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为( )
A. B.4π C. D.8π
7．已知，，则( )
A. B. C.或 D.大小无法确定
8．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图①，在等腰梯形ABCD中，，，，，，现将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达的位置，且平面平面BCFE，连接，，如图②，则( )
A.
B.平面平面
C.多面体为三棱台
D.直线与平面BCFE所成的角为
10．如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为底面ABCD内一动点（含边界），则下列说法正确的是( )
A.过点，E，的平面截正方体所得的截面周长为
B.存在点F，使得平面
C.若平面，则动点F的轨迹长度为
D.当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
11．如图,正方体棱长为2,P是直线上的一个动点,则下列结论中正确的是( )
A.BP的最小值为
B.的最小值为
C.三棱锥的体积不变
D.以点B为球心,为半径的球面与面的交线长
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知一个球的半径为2,若用一个与球心距离为1的平面截球体,则所得的截面面积为____________.
13．已知二面角的大小为，若直线，直线，则异面直线a，b所成的角是____________.
14．如图，已知，，，，D是的中点，则与平面所成角的余弦值为_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干（如图l,底面处于水平状态）.将容器放倒（如图2,一个侧面处于水平状态）,这时水面所在的平面与各棱交点E,F,,分别为所在棱的中点,求图1中水面的高度.
16．已知正三棱台(由正三棱锥截得的三棱台)的上、下底面边长分别为和,高为,求此正三棱台的表面积.
17．正四棱台两底面边长分别为2和4.
(1)若侧棱长为,求棱台的表面积;
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高.
18．如图1，在矩形中，，，将沿着翻折到的位置，得到三棱锥，且平面，如图2所示.
(1)求证:平面平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，平面PCD内存在一条直线EF与AB平行，平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，，.
（1）证明：四边形ABCD是直角梯形.
（2）若点E满足，求二面角的正弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：由于平面,,平面,故,,
且,,
因此,故,
又,所以,
,,,,平面,故平面,
平面,故,
同理可得,
又,因此四边形为正方形,
所以,
故选:B
2．答案：C
解析：如图,连接,,
因为,,
所以四边形是平行四边形,
,因此是异面直线与所成的角或其补角,
设正方体的棱长为2,则,,
在直角三角形中,,
,即三角形是直角三角形,
,
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
3．答案：D
解析：因为直观图是等腰直角,,,所以,根据直观图中平行于y轴的长度变为原来的一半,所以的边上的高.
故选：D.
4．答案：D
解析：因为,由斜二测画法可知,
则,故为等腰直角三角形,故,
故矩形的面积为,
所以原图形的面积是,
故选：D.
5．答案：C
解析：如图所示：连接，因为平面，
故线与平面所成角，
设正方体棱长为1，则，
.
故选：C
6．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，
则由题意有，得，
所以侧面积为.
故选：B
7．答案：C
解析：已知，，，
当角的方向相同时，，
当角的方向相反时，，
故选：C
8．答案：D
解析：如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,
剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,
故选：D.
9．答案：ABD
解析：对于A，因为平面平面BCFE，平面平面，，平面BCFE，所以平面，又平面，所以，故A正确；
对于B，因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，故B正确；
对于C，因为，，则，所以多面体不是三棱台，故C错误；
对于D，延长，相交于点G，因为平面平面BCFE，平面平面，，平面，所以平面BCFE，则为直线与平面BCFE所成的角.
因为，所以，即，
解得，则，所以，
则，故D正确.故选ABD.
10．答案：ACD
解析：A选项，如图①，取AB的中点G，连接，，因为E为BC的中点，所以，，所以过点，E，的平面截正方体所得的截面为梯形，其周长为，故A选项正确；
B选项，假设存在点F，使得平面，由，得F只能在线段BD上，再由，得F只能在线段CD上，即F与D重合，不符合题意，故B选项错误；C选项，如图②，取AD的中点M，CD的中点N，连接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面，所以动点F的轨迹为线段MN，其长度为，故C选项正确；
D选项，由A，C选项可得，平面平面，所以当F在点D时，F到平面的距离最大，此时为等边三角形，连接，易证平面，所以三棱锥的外接球球心一定在直线上，以B为坐标原点，建立如图③所示的空间直角坐标系，则，，设，由得，，解得，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D选项正确.故选ACD.
11．答案：ACD
解析：对于A,在中,,即是边长为的等边三角形,的最小值为的高,,A正确;
对于B,将与矩形沿翻折到一个平面内,如图所示,
则的最小值为AC;又,,,在中,由余弦定理得:,,即,B错误;对于C,平面,平面,;四边形为正方形,,又,平面,平面;,
即三棱锥的体积不变,C正确;对于D,设点B到平面的距离为d,,,即,解得:,以点B为球心,为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆,交线长为,D正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：由球的性质可得截面为圆面,则截面圆的半径为,
故面积为,
故答案为：.
13．答案：
解析：
如图，，，
作于E，于F，
作于O，则，
所以为二面角的平面角，
则，
所以，
所以所成角为，
则异面直线a，b所成的角为.
故答案为：.
14．答案：
解析：，，，平面，
平面.连接,如图所示,则是在平面上的射影，
就是与平面所成的角.
，，，D是的中点,，，,
,
与平面所成角的余弦值为.
15．答案：
解析：设正三棱柱的底面积为S,
因为E,F,,分别为所在棱的中点.所以,即.
所以四边形BCFE的面积,
所以,
则图1中水面的高度为.
16．答案：
解析：如图所示,画出正三棱台,
其中,O为正三棱台上、下底面的中心,D,分别为,的中点,
则为正三棱台的高,为侧面梯形的高,四边形为直角梯形,
,,
所以,
所以此三棱台的表面积,
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)如图,设,O分别为上,下底面的中心,
分别取,的中点E,F,连接,,,则为正四棱台的斜高,
,
则棱台的表面积.
(2)两底面面积之和为,
正四棱台的侧面积为,解得,
正四棱台的高.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)
解析：(1)证明:因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
(2)以点A为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴，过点A且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由(1)知轴在平面内.
因为平面，平面，所以，
又，，所以，所以，
又，，，
所以，，.
设平面的法向量是，则即
令，则，，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值是.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：因为，平面，平面PCD，所以平面PCD.
因为平面ABCD，平面平面，所以.
连接AC，因为平面ABCD，所以是PC与平面ABCD所成的角，
则，解得.
因为，，所以，所以.
又，所以四边形ABCD是直角梯形.
（2）取CD的中点M，连接AM，则以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
由，得，则.
设平面PCD的法向量为，
则取，得，，即.
连接AE，由可知A，B，E，F四点共面，设平面ABE的法向量为，
则取，得，，即.
设二面角的平面角为，
则，
所以，
故二面角的正弦值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑